概率复习大纲与作业答案.doc

复习大纲一、考核目标和考核重点：考核目标是考查学生是否理解和掌握了概率论与数理统计的基本概念和理论，以及处理随机现象的基本思想和方法。重点考核概率论与数理统计的基本概念、基本定理、公式和计算方法，以及应用概率统计的基本思想和方法分析和解决实际问题的能力。重点章节内容如下：第一章：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5。基本概念：随机事件的频率与概率、条件概率、随机事件的独立性、古典概型、独立试验序列；基本公式：概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes公式。第二章：2.1，2.2，2.3，2.4，2.5。基本概念：一维随机变量的分布函数、一维离散型随机变量的分布列、一维连续型随机变量的密度，二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数、二维离散型随机变量的联合分布列和边缘分布列、二维连续型随机变量的联合密度和边缘密度，随机变量的独立性，一维连续型随机变量函数的密度，常用分布，如：二项分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；基本公式：概率计算公式、一维连续型随机变量函数的密度的计算方法和公式。第三章：3.1，3.2，3.3。基本概念：数学期望、方差与标准差、相关系数；基本公式：关于随机变量函数的数学期望的计算公式。第四章：4.3，4.4。基本概念：依概率收敛，依分布收敛； 基本定理：辛钦大数定律；Bernoulli大数定律；Levy中心极限定理、De Moivre-Laplace中心极限定理。第五章：5.1，5.2，5.3。基本概念：总体、样本、总体分布函数、样本分布函数、常用统计量及其数学期望和方差;基本定理：正态总体有关统计量的分布。第六章：6.1，6.2，6.5。基本概念：参数的矩估计与最大似然估计，估计的相合性、无偏性；区间估计。第七章：7.1，7.2，7.3。基本概念：关于正态总体均值的假设检验。二、试题类型与分数比例：参见下面的模拟试题模拟试题：注：一、 选择题（每小题3分，共15分）：1 如果样本空间只包含有限个不同的基本事件，并且每个基本事件出现的可能性相等，那么这样的概率模型称为（ ）.(A)古典概型; (B) 几何概型; (C) 伯努利概型; (D) 统计概型.答案：A2 设随机变量的分布函数为，随机变量的分布函数为。若与独立，则最大值的分布函数是（ ）。 (A); (B); (C); (D).答案：C3 设随机变量的概率函数为，则它的数学期望为（ ）。(A); (B); (C); (D) .答案：A4 设正态分布，则（ ）。(A); (B); (C); (D) .答案：D 5 设样本来自正态总体，其中未知，样本均值为，则下列随机变量不是统计量的为（ ）。(A); (B); (C) ; (D).答案：D二、 填空题（每小题3分，共15分）：1. 随机事件发生的可能性大小称为随机事件的（ ）。答案：概率.2. 如果随机变量的分布函数为，那么当时，（ ）。答案：3. 随机变量的（ ）表示随机变量的平均取值。答案：数学期望4. 有关随机变量之和的极限分布为正态分布的定理称为（ ）。答案：中心极限定理.5. 假设总体，抽取样本。则样本均值的方差等于（ ）。答案：.三、 判断题（每小题2分，共10分）：1 独立重复试验n次，当n充分大时，事件A出现的频率趋近于A的概率P(A), 因此，当n充分大时，可把事件的频率作为概率的近似值。答案：2 设二维连续随机变量的联合概率密度为，、的边缘概率密度分别为、。如果，则与独立。答案：3 设离散随机变量的概率函数为，则随机变量的数学期望为。答案：4 设随机变量与独立，且，则它们的差。答案：5 简单随机样本是指样本相互独立，并与总体同分布.答案：四、 计算题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）：1 设总体，抽取样本。试求参数的最大似然估计。解 设样本观测值为，则似然函数为 -3分 -4分 -5分 有似然方程: -8分所以的极大似然估计值为 -9分最大似然估计是 -10分2 股市中有牛市和熊市之分，它们的概率均占50%，在牛市中赚钱的概率是76，在熊市中赔钱的概率是96%。（1）问在股市中赚钱的概率是多少？（2）如果现在的股市赚钱，问现在股市是牛市的概率是多少？解 （1）令 A=“股市是牛市”, B=“股市中赚钱”， - 1分 -4分 -9分（2）根据贝叶斯公式知道，现在股市是牛市的概率为: -12分 -15分五、 应用题（第1、2小题各10分，第3小题15分，共35分）：1 假设某种股票的价格X（单位：元）服从区间10,60上的均匀分布，小张持有该股票的一张看涨权证，目前小张有两种选择，第一种选择是持有该权证到明天，得到的收益；第二种选择是现在以18元的价格将该权证卖出。试问：小张为了使自己的平均收益最大，应该采取哪种选择？（注：指; 不考虑利息）解 股票价格X的分布密度函数为： -3分如果采取第一种选择，则小张平均收益应该是 - 6分 - 7分 - 9分因为1618，所以小张应该采用第二种选择。 - 10分2 某工厂有300台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为10千瓦。由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.95?解 设事件A表示机器工作，则可把300台机器是否工作视作300重贝努利试验。设表示任一时刻正在工作的机器数，则. - 2分设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求 - 4分即有 - 7分故 ， - 9分 取，即需要供应2380千瓦的电功率. - 10分3 消费者投诉某酿造厂生产的瓶装酱油分量不足，酱油标明每瓶净重为250克，工商管理部门随机抽查了64瓶，平均净重为248.5克，标准差为4.8克。试问在显著性水平为下工商管理部门能否认为该厂酱油份量不足？解 设该厂生产的瓶装酱油平均每瓶净重为。 （1）我们要检验假设 vs -3分（2）检验统计量为 -7分 （3）在显著性水平为a =0.05时，拒绝域为： -11分（4）由 -13分可知，样本观测值落入拒绝域，故工商管理部门有充分理由认为该厂酱油份量不足。 -15分概率统计作业题参考答案1. 某工厂生产的产品以100个为一批在进行抽样检查时，只从每批中抽取3个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品不合格假定每批产品中的次品最多不超过2个，且其中恰有i（i=0，1，2）个次品的概率如下：一批产品中的次品数012概 率0.30.40.3求（1）一批产品能通过检查的概率；（2）在一批产品能通过检查的条件下，这批产品没有次品的概率解 （1）记A=产品能通过检查，Bi=产品中有i个次品 (i=0,1,2)，则 由全概率公式，得所求概率为（2）我们要求的概率是2. 发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“”及“-”。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“”及“-”；又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“”。求：（1）收报台收到信号“”的概率；（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。解 （1）记A=收报台收到信号“”，B=发报台发出信号“”，则 由全概率公式，收报台收到信号“”的概率为（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率是3. 两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起。若第一台车床与第二台车床加工的零件数比例为5 : 4，求：（1）任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率；（2）任意从这些零件中取出一个，发现恰为合格品。试问它为第二台车床加工的可能性有多大？ 解 =“所取的零件由第i台机床加工” (i=1,2), B=“取出的零件为合格品”; 则 （1）由全概率公式，任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率是：（2）由贝叶斯（Bayes）公式知，所求概率为：4. 用甲胎蛋白法普查肝癌，由过去的资料得到灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。又已知广州肝癌发病率为0.02%（1999年数据），即每一万广州人中有两人得肝癌。假设某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？解 答案是令人惊讶的，他甚至应该保持谨慎乐观的态度。为什么呢？我们来求一下他真的患有肝癌的（条件）概率。令 A=检验结果是阳性，B=他真的患病，则5. 设连续随机变量X的概率密度为：，求：（1）常数；（2）X落在区间内的概率；（3）的概率密度。解 （1）由概率密度的性质，有，故 。（2）由概率计算公式知，所求概率为；（3）随机变量函数的分布函数为故的概率密度是6. 设随机变量的分布函数为 ，。（1）求常数；(2) 求；（3）求概率密度。解 （1）由及，得 ， 解得 ；（2）；（3）随机变量的概率密度为。7. 设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到黑球为止，分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形计算取球次数的数学期望、方差与标准差.解 设与分别表示情形（1）与（2）的取球次数，则不难知道，的概率分布表为：X1230.60.30.1从而相应的数学期望为 又故，而Y的概率分布为：，即从而，8. 设随机变量，求随机变量函数的数学期望与方差.解 随机变量的密度为则函数的数学期望与方差分别为；9. 设随机变量，求：（1）；（2）；（3）确定，使得。解 （1）（2）（3）由得 ，故 10. 设随机变量，求下列概率：（1）；（2）。解 （1）（2）11. 设随机变量，求随机变量函数的概率密度、数学期望与方差。解 （1）先求的分布函数：。显然，当时，；而当时， 故的概率密度为（2）故 12. 某工厂有200台同类型的机器，每台机器工作时需要的电功率为10千瓦。由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求：（1）任一时刻有140至160台机器正在工作的概率；（2） 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.95?解 设事件A表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。设表示任一时刻正在工作的机器数，则. （1）由De Moivre -Laplace中心极限定理知（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求即有 ，故 ，取，即需要供应1610千瓦的电功率.13. 设总体，抽取样本。求：（1）样本均值的数学期望与方差；（2）样本方差的数学期望。解 因为，故。（1），；（2）。14. 设总体。（1）抽取容量为36的样本，求样本均值在38与43之间的概率；（2）抽取样本容量n多大时，才能使概率？（3）抽取样本容量n多大时，才能使？解 设样本容量为，则 。（1）此时， ，故所求概率为(2) ,，取（3），故取。15. 设总体，其中。求未知参数的矩估计与最大似然估计，并说明它们是否为无偏估计。解 因为，故，故有矩法方程：。解之得的矩估计是。设样本观测值为，则似然函数为故 ，有似然方程: ，解之得的最大似然估计值是，最大似然估计也是。 因为，所以参数的矩估计和最大似然估计都不是无偏估计。16. 设和是的两个相互独立的无偏估计，且方差。（1）试证明：对任意常数，都是的无偏估计；（2）在所有这些无偏估计中，试求方差最小的无偏估计。解（1）因为所以，对任意常数，都是的无偏估计。（2）故方差最小的无偏估计是 。17. 假设考生成绩服从正态分布。现随机抽取36人，算得平均成绩是66.5分，标准差为15分。试问在显著性水平=0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解 设考生成绩服从正态分布，依题意，要检验的假设是 因为未知，所以应选取统计量 ；在显著性水平下的拒绝域为。计算统计量t的观测值得：。因为，所以在显著性水平下，没有充