【走向高考】高三数学一轮复习 1210离散型随机变量的均值与方差课件（北师大版）.ppt

考纲解读1 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 考向预测1 以选择题 填空题的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算 2 以实际问题为背景 考查均值与方差的应用 知识梳理1 离散型随机变量的均值与方差 1 均值设随机变量x的可能取值为a1 a2 ar 取ai的概率为pi i 1 2 r 即x的分布为p x ai pi i 1 2 r 则定义x的均值为a1p x a1 a2p x a2 arp x ar a1p1 a2p2 arpr 即随机变量x的取值ai乘上取值ai的概率p x ai 再求和 x的均值也称为x的 它是一个数 记为ex 即ex 均值ex刻画的是x取值的 数学期望 a1p1 a2p2 arpr 中心位置 2 方差一般地 设x是一个离散型随机变量 用来衡量x与ex的平均偏离程度 是 x ex 2的期望 并称之为随机变量x的方差 记为方差越小 则随机变量的取值就越在其均值周围 反之 方差越大 则随机变量的取值范围就越 2 常见分布的均值与方差 1 若x服从二点分布 则ex p dx 2 若x b n p 则ex dx 3 若x服从参数为n m n的几何分布 则ex e x ex 2 e x ex 2 dx 集中 分散 p 1 p np 1 p np 基础自测1 设随机变量x b n p 且ex 1 6 dx 1 28 则 a n 8 p 0 2b n 4 p 0 4c n 5 p 0 32d n 7 p 0 45 答案 a 答案 c 3 签盒中有编号为1 2 3 4 5 6的6支签 从中任意取3支 设x为这3支签的号码之中最大的一个 则x的均值为 a 5b 5 25c 5 8d 4 6 答案 b 4 甲 乙两个运动员射击命中环数 的分布列如下 其中射击比较稳定的运动员是 a 甲b 乙c 一样d 无法比较 答案 b 解析 e 9 2 e 9 2 e d 0 76 d 0 56 d 乙稳定 5 2009 广东理 已知离散型随机变量x的分布列如下表 若ex 0 dx 1 则a b 解析 考查离散型随机变量的分布列 均值和方差的计算 由条件及ex x1p1 x2p2 xnpn dx x1 ex 2p1 x2 ex 2p2 xn ex 2pn得 6 已知随机变量x的分布列为则ex dx 答案 31 2 解析 ex 1 0 1 2 0 2 3 0 4 4 0 2 5 0 1 0 1 0 4 1 2 0 8 0 5 3 dx 1 3 2 0 1 2 3 2 0 2 3 3 2 0 4 4 3 2 0 2 5 3 2 0 1 1 2 7 一次英语单元测验由20个选择题构成 每题有四个选项 其中有且仅有一个选项是正确答案 每题选择正确得5分 不做选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机的选择一个 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值和方差 解析 设学生甲和乙在这次测验中选择正确的题目个数分别为x y 则x b 20 0 9 y b 20 0 25 ex 20 0 9 18 dx 1 8 ey 20 0 25 5 dy 3 75 每答对一题得5分 在这次测验中甲 乙两人的成绩分别是5x 5y 他们在这次测验中的成绩的均值与方差分别是e 5x 90 d 5x 45 e 5y 25 d 5y 93 75 例1 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立地对每位大学生的创业方案进行评审 假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是 若某人获得两个 支持 则给予10万元的创业资助 若只获得一个 支持 则给予5万元的资助 若未获得 支持 则不予资助 令x表示该公司的资助总额 1 写出x的分布列 2 求数学期望ex 分析 本题主要考查概率问题以及离散型随机变量的分布列数学期望的求法 点评 解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 然后综合应用各类求概率的公式 求出概率 2010 重庆理 在甲 乙等6个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为1 2 6 求 1 甲 乙两单位的演出序号至少有一个奇数的概率 2 甲 乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望 分析 本题考查了高散型随机变量的期望 1 可通过对立事件解决 对于 2 根据古典概型逐一求出概率 从而列出分布列 求得期望 例2 2011 深圳外国语学校月考 设甲 乙两名射手在一次射击中分别射中的环数为两个相互独立的随机变量 已知甲 乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环 且甲射中10 9 8 7环的概率分别为0 5 3a a 0 1 乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 1 求 的分布列 2 求 的均值与方差 并以此比较甲 乙的射击技术 解析 1 依题意得0 5 3a a 0 1 1解得a 0 1 乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 乙射中7环的概率为1 0 3 0 3 0 2 0 2 的分布列为 的分布列为 2 由 1 可得 e 10 0 5 9 0 3 8 0 1 7 0 1 9 2 环 e 10 0 3 9 0 3 8 0 2 7 0 2 8 7 环 d 10 9 2 2 0 5 9 9 2 2 0 3 8 9 2 2 0 1 7 9 2 2 0 1 0 96 d 10 8 7 2 0 3 9 8 7 2 0 3 8 8 7 2 0 2 7 8 7 2 0 2 1 21 由于e e 说明甲平均射中的环数比乙高 又因为d d 说明甲射中的环数比乙集中 比较稳定 所以 甲比乙的射击技术好 点评 随机变量的均值与方差 都是随机变量的重要特征数 或数字特征 是对随机变量的一种简明的描述 它们所反映的随机变量的情况有着很重要的实际意义 所以 不仅需要掌握其计算公式和方法 也要学会通过这些数据分析其含义 从而为正确决策提供依据 均值仅体现了随机变量取值的平均大小 但有时仅知道均值大小还是不够的 比如 两个随机变量的均值相等了 这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化 即计算其方差 或标准差 方差大说明随机变量取值分散性大 方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中 稳定 甲 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境 且野生动物的种类和数量也大致相等 而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平 分析 解决此类问题的方法是比较两者均值和方差的大小 从而得出结论 解析 甲保护区违规次数 的均值和方差为e 0 0 3 1 0 3 2 0 2 3 0 2 1 3 d 0 1 3 2 0 3 1 1 3 2 0 3 2 1 3 2 0 2 3 1 3 2 0 2 1 21 乙保护区的违规次数 的均值和方差为 e 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 d 0 1 3 2 0 1 1 1 3 2 0 5 2 1 3 2 0 4 0 41 因为e e d d 所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同 但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动 乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定 例3 2011 苏州中学期中 有一种密码 明文是由三个字符组成 密码是由与明文对应的五个数字组成 编码规则如下表 明文由表中每一排取一个字符组成 且第一排取的字符放在第一位 第二排取的字符放在第二位 第三排取的字符放在第三位 对应的密码由与明文对应的数字按相同的次序排列组成 设随机变量 表示密码中不同数字的个数 1 求p 2 2 求随机变量 的分布列和它的均值 2011 长沙一中期中 在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中 主持人准备了a b两个相互独立的问题 并且宣布 幸运观众答对问题a可获得奖金1000元 答对问题b可获得奖金2000元 先答哪个问题由观众自由选择 但只有第一个问题答对 才能再答第二个问题 否则终止答题 若你被选为幸运观众 且假设你答对问题a b的概率分别为 1 记先回答问题a所得的奖金为随机变量 则 的取值分别是多少 2 你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金 请说明理由 解析 1 根据题意 的可能取值分别为0元 1000元 3000元 1 离散型随机变量的均值与方差是对随机变量的简明的描写 均值表示在随机试验中随机变量取得的平均值 方差表示随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度 即取值的稳定性 把握离散型随机变量的均值与方差的含义 是处理有关应用题的重要环节 2 均值与方差的常用性质 掌握下述有关性质 会给解题带来方便 1 e a b ae b e e e d a b a2d 2 若 b n p 则e np d np 1 p 3 基本方法 1 已知随机变量的分布列求它的均值与方