近代概率-数学05-A卷(07-7-4)上次考试的试卷及答案, 补考试卷中有几道其中的原题. 范胜君.doc

中国矿业大学20062007学年第 二 学期 近代概率论基础 试卷（A）卷考试时间：100 分钟 考试方式：闭 卷学院 班级 姓名 学号 题号一二三四五六七八九总分得分阅卷人一、填空题（每题3分，共18分）1口袋中有只黑球，只白球，它们除颜色不同之外，其它方面无差别，现把球随机地一只只摸出来，则第次摸出的球是黑球的概率为 。2两人相约6点到7点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离去，假定两人到达的时间在6点到7点之间的机会均等且互不影响，则两人能会面的概率为 。3任意从数列中不放回地取出个数并按大小排列成，则的概率为 ，这里。4若表示可列次伯努利实验中，第次成功发生时的实验次数，则对任意的整数，有 ，其中在一次实验中成功的概率为。5假定一块放射性物质在单位时间内发射出的粒子数服从参数为的泊松分布。而每个放射出的粒子被记录下来的概率均为，用表示记录下的粒子数。如果各粒子是否被记录相互独立，则对任意的整数，有 。6在取正整数值的随机变量中具有“无记忆性”的为 分布。二、名词解释（每题3分，共12分）1域2随机变量3数学期望4特征函数三、（10分）从数字中（可重复地）任取次，试求所取的个数的乘积能被10整除的概率。四、(10分) 在伯努利实验中，事件出现的概率为，分别求在次独立实验中事件出现奇数次和偶数次的概率。五、(10分) 设一个家庭中有个小孩的概率为：这里，若认为生一个小孩为男孩或女孩是等可能的，求一个家庭中有个男孩的概率。六、(10分) 设的密度函数为，求的分布函数和密度函数；进一步地，如果与相互独立且分别服从分布，求的密度函数。七、(10分) 若的密度函数为,而,这里,求的密度函数.八、(10分) 求正态分布的特征函数。九、(10分) 若为可测空间上满足的非负集合函数，证明：它具有可列可加性的充要条件为：（1）它是有限可加的；（2）它是下连续的。中国矿业大学20062007学年第 二 学期 近代概率论基础 试卷（A）卷 参考答案及评分标准一、 填空题：1 2. 3. 4. 5. 6. 几何二、名词解释1. 设是由集合的子集构成的集类，如果（1） （2）若，则（3）若，则则称为一个域。2.设为一概率空间，为定义在样本空间上的函数，如果对任意的博雷尔点集，有，则称为概率空间上的一个随机变量。3若随机变量的分布函数为，则称为随机变量的数学期望。4若随机变量的分布函数为，则称为随机变量的特征函数。三、解：个数的乘积要能被10整除，则这个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为5。 。2分因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件个。 。1分设=所取的个数的乘积能被10整除，=所取的个数中至少有一个是偶数， =所取的个数中至少有一个为5，则为所取的个数全为奇数，故所含基本事件数为；为所取的个数无5，故所含基本事件数为；为所取的个数全为奇数且不含5，故所含基本事件数为，且 。3分 所以由计算公式得： 。2分 。2分四、解：设，则 ； 。3分 。3分 故出现偶数次的概率为上面两式相加再除以2，即为：。 。2分 而出现奇数次的概率为上面两式相减再除以2，即为：。 。2分五、解：用表示“一个家庭有个小孩” ，用表示“一个家庭有个男孩” ，则根据题意，显然有 且对任意的有；对任意的有。 。2分根据全概率公式，对任意的，我们有 （） 。2分 。2分 。2分 。 。2分六、解：的分布函数为 。2分 。2分因此，的密度函数为： 。3分进一步地，如果与独立且分别服从分布，则的密度函数为， 。1分故此时的密度函数为 。2分七、解: 因为, , 。2分故 , . 。2分而. 。3分因此的密度函数为. 。3分 八、解：先讨论的场合： 。2分由于正态分布的一阶矩存在，可对上式求导，得 。3分 因此 。2分 由于，故，因此 。1分对于的场合，因为，故由特征函数的性质可