【绿色通道】高考数学总复习 75直线 平面垂直的判定与性质课件 新人教A版.ppt

1 直线与平面垂直 1 判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理 一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则该直线和此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于一个平面 那么另一条直线也这个平面 相交 垂直 2 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线 垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一直线的两平面 任意 平行 平行 2 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫斜线和平面所成的角 3 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质两平面垂直 则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面 一条垂线 交线 4 二面角的平面角从二面角棱上的一点 在两个半平面内分别作与棱的射线 则两射线所成的角叫做二面角的平面角 垂直 1 给出下列四个命题 若直线垂直于平面内的两条直线 则这条直线与平面垂直 若直线与平面内的任意一条直线都垂直 则这条直线与平面垂直 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线 则这条直线垂直于两底边所在的直线 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线 则这条直线垂直于两腰所在的直线 a 1个b 2个c 3个d 4个解析 与线面垂直的定义及判定定理相对照 为真 中两线可能不相交 中两线不相交 故不正确 应选b 答案 b 2 如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面 则这两个二面角的大小关系是 a 相等b 互补c 相等或互补d 大小不确定 解析 如右图所示 l 为直二面角 a 为另一个二面角 且 把 平面固定不动 使 平面绕a转动时 满足条件 但 a 的度数不能确定 应选d 答案 d 3 已知直线m n和平面 满足m n m 则 a n b n 或n c n d n 或n 解析 n与 的位置关系各种可能性都有 a b都不对 当n 时 作n n 且n m o 则n 与m确定平面 设 l 则有m l 又m n 所以l n l n n 当n 时 显然成立 故c不对 d正确 答案 d 4 已知a b是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 给出下列四个命题 若a a 则 若 则 a b 则a b 若 a b 则a b 其中正确命题的序号是 a b c d 解析 根据线面 面面平行与垂直的判定与性质可知 正确 答案 d 证明 1 由题意知 c o 平面abd c o 平面abc 平面abc 平面abd 又 ad ab 平面abc 平面abd ab ad 平面abc ad bc 2 bc c d bc ad bc 平面adc 又 bc 平面dbc 平面dbc 平面adc 例1 直角三角形 abc所在平面外一点s 且sa sb sc d为斜边ac中点 1 求证 sd 面abc 2 若ab bc 求证 bd 面sac 证明 1 如右图 取ab中点e 连结se de 在rt abc中 d e分别为ac ab的中点 故de bc 且de ab sa sb sab为等腰三角形 se ab se ab de ab se de e ab 面sde 而sd 面sde ab sd 在 sac中 sa sc d为ac中点 sd ac sd ac sd ab ac ab a sd 面abc 2 若ab bc 则bd ac 由 1 可知 sd 面abc 而bd 面abc sd bd sd bd bd ac sd ac d bd 面sac 线面垂直的定义 拓展了线线垂直的范围 线垂直于面 线就垂直于面内所有直线 这也是线面垂直的必备条件 利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化 就完成了空间问题与平面问题的转化 变式迁移1如右图所示 p为 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae pb于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc ef 证明 1 pa 平面abc bc 平面abc pa bc ab bc ab pa a bc 平面pab 2 bc 平面pab ae 平面pab bc ae pb ae bc pb b ae 平面pbc 3 ae 平面pbc pc 平面pbc ae pc af pc ae af a pc 平面aef 而ef 面aef pc ef 思路分析 1 因为两平面垂直与m点位置无关 所以在平面mbd内一定有一定直线垂直于平面pad 考虑证明bd 平面pad 2 四棱锥底面为一梯形 高为p到面abcd的距离 解 1 在 abd中 ad 4 bd 8 ab ad2 bd2 ab2 ad bd 又 面pad 面abcd 面pad 面abcd ad bd 面abcd bd 面pad 又bd 面bdm 面mbd 面pad 2 过p作po ad 面pad 面abcd po 面abcd 即po为四棱锥p abcd的高 又 pad是边长为4的等边三角形 po 在底面四边形abcd中 ab dc ab 2dc 四边形abcd为梯形 当两个平面垂直时 常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 进而可以证明线线垂直 构造二面角的平面角或得到点到面的距离等 变式迁移2 2009 浙江高考 如下图 在长方形abcd中 ab 2 bc 1 e为dc的中点 f为线段ec 端点除外 上一动点 现将 afd沿af折起 使平面abd 平面abc 在平面abd内过点d作dk ab k为垂足 设ak t 则t的取值范围是 例3 三棱锥p abc中 pc ac bc两两垂直 bc pc 1 ac 2 e f g分别是ab ac ap的中点 1 证明 平面gfe 平面pcb 2 求二面角b ap c的正切值 3 求直线pf与平面pab所成角的正弦值 思路分析 1 利用三角形的中位线性质 2 利用定义作出二面角b ap c的平面角 3 利用线面垂直构造直线与平面所成角 解 1 因为e f g分别是ab ac ap的中点 所以ef bc gf cp 因为ef gf 平面pcb 而bc cp 平面pcb 所以ef 平面pcb gf 平面pcb 又ef gf f 所以平面gfe 平面pcb 2 过点c在平面pac内作ch pa 垂足为h 连接hb 因为bc pc bc ac 且pc ac c 所以bc 平面pac 所以hb pa 所以 bhc是二面角b ap c的平面角 3 如右图 设pb的中点为k 连接kc ak 因为 pcb为等腰直角三角形 所以kc pb 又ac pc ac bc 且pc bc c 所以ac 平面pcb 所以ak pb 又因为ak kc k 所以pb 平面akc 又pb 平面pab 所以平面akc 平面pab 变式迁移3如右图 四面体abcs中 sa sb sc两两垂直 sba 45 sbc 60 m为ab的中点 求 1 bc与平面sab所成的角 2 sc与平面abc所成的角的正切值 解 1 sc sb sc sa sb sa s sc 平面sab bc在平面sab上的射影为sb sbc为bc与平面sab所成的角 又 sbc 60 故bc与平面sab所成的角为60 2 连接mc 在rt asb中 sba 45 asb为等腰直角三角形 sm ab 又ab sc ab 平面smc 平面smc 平面abc 过点s作so mc于点o so 平面abc scm为sc与平面abc所成的角 由 1 知sc 平面sab 例4 如右图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解 如右图 1 取ad的中点g 连结pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad ad 平面pbg ad pb 2 连结cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连结df fh 平面abcd 平面dhf 平面abcd h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 近年来开放型问题不断在高考试题中出现 这说明高考对学生的能力要求越来越高 这也符合新课标的理念 因而在复习过程中要善于对问题进行探究 立体几何中结合垂直关系 设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向 变式迁移4如下图 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧棱是底面边长的2倍 p是侧棱cc1上的一点 1 求证 不论p在侧棱cc1上的任何位置 总有bd ap 2 当p点在侧棱cc1上何处时 ap在平面b1ac上的射影是 b1ac的平分线 解 1 依题意 不论p在侧棱cc1上的什么位置 ap在底面abcd内的射影都是ac 因为bd ac bd cc1 又ac cc1 c 所以bd 平面acc1 又ap 平面acc1 所以bd ap 1 垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线