极坐标与参数方程.doc

XXXX教育学科教师辅导讲义讲义编号 学员编号： 年 级： 高二 课时数： 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 学科组长签名及日期学员家长签名及日期课 题极坐标与参数方程授课时间： 备课时间： 教学目标 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.重点、难点 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 考点及考试要求一、 讲解新课： 一、基础知识归纳总结：1伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3点M的极坐标：设M是平面内一点，极点与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴x为始边，射线OM为终边的XOM叫做点M的极角，记为。有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点。极点O的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。 5极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ； 在极坐标系中，以 (a0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ；在极坐标系中，以 (a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 ；7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.8参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9圆的参数方程可表示为. 椭圆(ab0)的参数方程可表示为. 抛物线的参数方程可表示为.经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）。10在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.二、典例解析：例1(2007海南宁夏)O1和O2的极坐标方程分别为，(I)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程例2(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此 椭圆的直角坐标方程是_. 类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是,则它的直角坐标方程是_. 2(1998年全国)曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为 (A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4 (C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4 3(2002北京)已知某曲线的参数方程是(为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是(A) (B) (C) (D) 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性: 1、直线的极坐标方程(a0) (1)过极点,并且与极轴成角的直线的极坐标方程:=; (2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a; (3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a; (4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程:sin(-)=a.2、圆的极坐标方程(a0) (1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: =a; (2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos; (3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =; (4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =2asin; (5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =; (6)圆心在(a, 0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos(-0).3、极坐标系中的旋转不变性: 曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转|角(时,按顺时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.例3(1990年全国)极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线类题: 1(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 2(2003北京)极坐标方程表示的曲线是(A) 圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 3极坐标方程表示的曲线为（ ） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆三、求曲线的交点坐标 例7(2008年广东)已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为 例8（2010东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆和直线。（1） 求圆和直线的直角坐标方程；（2） 当时，求直线于圆公共点的极坐标。 类型：1.曲线与的交点坐标是 。 4、 根据条件求直线和圆的极坐标方程例9(2009辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。例10（江苏南通）在极坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径，求圆的极坐标方程。 类题: 1(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_. 2(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 (A)=1 (B)=cos (C)= (D)= 3(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1) 六、求距离例12(2007广东文)在极坐标系中，直线的方程为sin=3，则点(2,)到直线的距离为_.例13(1992年全国、1996年上海)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) (C) 1 (D) 例14(1997年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_.类题:1(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线= 4cos于A、B两点，则|AB|=_. 2(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=_. 八、求三角形面积例16(2009上海)在极坐标系中，由三条直线，围成图形的面积是_.三、基础训练：1在同一平面直角坐标系中，使曲线变为曲线的伸缩变换是_.2在极坐标系中，过点，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是_.3在极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是_.4. 直角坐标方程 化为极坐标方程是_.5. 极坐标方程化为直角坐标方程是_.6. 在极坐标系中，极点到直线的距离是_.7极坐标系内，曲线上的动点P与定点的最近距离等于_.8柱坐标对应的点的直角坐标是_.9. 球坐标对应的点的直角坐标是_.10.参数方程化为普通方程是_.11.椭圆的焦点坐标是_.12双曲线的离心率是_.13.曲线上的点与定点A（-1，-1）距离的最小值是_.14. 已知，则的最小值是_.15点M（x,y）在椭圆上，则点M到直线的最大距离为_,此时，点M的坐标是_.四、全国历届高考中的坐标系与参数方程试题选编：1（2005福建理）设的最小值是（ ）A B C3 D2.（2004春招北京理）在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ）A. B. C. D.3.（2002广东、河南、江苏）极坐标方程cos与cos 的图形是( )0xA.B.C.D.0x0x0x4.（2001广东）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A两条相交直线B圆 C椭圆 D双曲线5( 2007广东文)在极坐标系中，直线l的方程为sin=3，则点(2，/6)到直线l的距离为 6（2002全国理）点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（ ）（A）0（B）1（C）（D）27. (2007广东理)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .8(2007海南、宁夏文、理) O1和O2的极坐标方程分别为()把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；()求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程五、广东省各地市2007年模拟考试中的坐标系与参数方程试题选编：1（2007深圳一模理）在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是 2(2007韶关二模文、理) 将极坐标方程化为直角坐标方程是_. 3.（2007深圳一模文）在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 4.（2007广州一模文、理）在极坐标系中，圆上的点到直线 的距离的最小值是 _ 5（2007汕头二模理）在极坐标系中，圆=cos与直线cos=1的位置关系是 6（2007汕头二模文）椭圆的离心率是_参考答案三、基础训练：1.； 2. ； 3.； 4.； 5. 6.； 7.； 8.；9.； 10.； 11.； 12.13.； 14.； 15.； 16.； 17.四、全国历届高考中的坐标系与参数方程试题选编：1.C ； 2.B； 3.B； 4.D； 5. 2； 6.B； 7.（0，2），8. ()O1和O2的直角坐标方程分别为和；()经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程是x+y=0五、广东省各地市2007年模拟考试中的坐标系与参数方程试题选编：1.; 2.; 3.; 4.1; 5.; 6.相切六、几何证明选讲：DCBAEF15题 图1. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形中，, 的面积为6,则的面积为 .【答案】18【解析】由题意可得,且相似比为，由的面积为6，得的面积为54,又=,所以。2（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）（几何证明选做题）如图，已知是外一点，为的切线，为切点，割线PEF经过圆心，若,则的度数为 【答案】【解析】由切割线定理得,.3（2010年广东省揭阳市高考一模试题文科）（几何证明选做题）如图，已知是外一点，为的切线，为切点，割线PEF经过圆心，若，,则圆的半径长为 、的度数为 【答案】【解析】由切割线定理得,.4（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）以知圆的直径是圆周上一点（不同于点）， . 5. （广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）（几何证明选讲选做题）如图，是的直径，是延长线上的一点。过作的切线，切点为，若，则的直径_4_.6（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）（几何证明选讲选做题）如图5,是半圆的直径,点在半圆上,，垂足为，且,设,则的值为