2025年军队文职统一考试《专业科目》数学1试卷真题答案解析

年军队文职统一考试《专业科目》数学1试卷一、判断题。判断下列说法的正误。1。（

）2若函数和在点均不连续，则在点一定不连续。（

）3函数和在上线性相关。（

）4设函数在上可积，则在上一定可导。（

）5对任意实二次型，一定存在正交变换，使化为标准形。（

）6若n阶可逆矩阵为正定矩阵，则也是正定矩阵。（

）7任意矩阵均可经过矩阵的初等行变换化为标准形。（

）8若两事件相互独立，则这两事件一定互斥。（

）9直角坐标系中，任意两个正态分布的概率密度曲线都会相交。（

）10统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量。（

）二、单项选择题。每小题后的四个备选答案中只有一个最符合题意的答案。11下列选项中，属于二阶微分方程的是（

）。A、B、C、D、12过点和轴的平面是（

）。A、B、C、D、13下列选项中，收敛的常数项级数是（

）。A、B、C、D、14向量场在点处的散度为（

）。A、3B、0C、D、15若行列式，则（

）。A、5或B、或1C、5或1D、或16向量空间的维数是（

）。A、0B、1C、2D、317设，为5阶矩阵，且，，，则（

）。A、30B、15C、10D、618设向量在基，下的坐标是，则在另一个基，下的坐标是（

）。A、B、C、D、19任意一个连续型随机变量的概率密度一定满足（

）。A、在定义域内单调B、C、D、20数据集的箱线图是基于以下5个数的图形概括：最小值，最大值，第一四分位数，第三四分位数和（

）。A、平均数B、中位数C、众数D、四分位数间距21当时，是（

）的高阶无穷小。A、B、C、D、22极限（

）。A、1B、2C、3D、523方程在内（

）。A、无实根B、有唯一实根C、有两个实根D、有三个实根24函数，在处（

）。A、不连续也不可导B、不连续但可导C、连续且可导D、连续但不可导25若是由参数方程所确定的函数，则（

）。A、B、C、3D、26极限（

）。A、1B、EC、D、27关于曲线的渐近线，下列结论正确的是（

）。A、仅有水平渐近线B、仅有铅直渐近线C、既有水平渐近线，也有铅直渐近线D、无渐近线28若函数在上连续，且，（

）。A、B、C、D、29设，，，则（

）。A、B、C、D、30若，，为两两垂直的单位向量，（

）。A、B、C、2D、31点（2，3，1）在直线上的投影点是（

）。A、B、C、D、32曲面上平行于平面的切平面是（

）。A、B、C、D、33极限（

）。A、B、C、1D、034设函数，则（

）。A、，都不存在B、不存在，存在C、存在，不存在D、，都存在35函数在点（0，1）处方向导数的最大值是（

）。A、10B、6C、5D、436设函数的全微分，则点（0，1）（

）。A、不是的连续点B、不是的极值点C、是的极大值点D、是的极小值点37二次积分（

）。A、B、C、D、38设闭区域，则（

）。A、B、C、D、39设是右半平面内的有向分段光滑曲线，起点为（1，2），终点为（3，4），则曲线积分（

）。A、0B、C、D、40幂函数的收敛半径是（

）。A、B、1C、2D、341设行列式，为元素的余子式，则（

）。A、6B、4C、2D、42设矩阵，矩阵满足，其中为3阶可逆矩阵，则（

）。A、B、C、D、43设3阶矩阵的特征值为1，，5，是的伴随矩阵，是3阶单位矩阵，则（

）。A、B、0C、5D、1044设矩阵，，则这两个矩阵（

）。A、相似但不合同B、既相似又合同C、不相似但合同D、既不相似又不合同45下列矩阵中，不能相似对角化的是（

）。A、B、C、D、46下列矩阵中，与矩阵等价的是（

）。A、B、C、

D、47下列选项中，与不是同解方程组的是（

）。A、B、C、D、48设为4阶矩阵，且，是的伴随矩阵。若交换的第1列与第3列得到矩阵，则（

）。A、64B、C、128D、49设矩阵，则实二次型的矩阵为（

）。A、B、C、D、50实二次型的秩为（

）。A、0B、1C、2D、351设，为两随机事件，已知，，，则（

）。A、0.7B、0.5C、0.4D、0.352某保险公司有两类保单，A类保单持有人发生理赔的概率为0.1，B类保单持有人发生理赔的概率为0.05。该公司60%的客户只持有A类保单，40%的客户只持有B类保单。现随机抽取一名客户，发现其发生了理赔，则该客户持有的是A类保单的概率为（

）。A、B、C、D、53设随机变量，若，则（

）。A、B、C、D、54设随机变量的概率密度为，现对进行9次独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则（

）。A、2B、6C、12D、3855设随机变量与相互独立，且，，则（

）。A、6B、36C、76D、8456设随机变量，，···，，···相互独立，且同服从概率密度为的指数分布，则当时，依概率收敛于（

）。A、3B、9C、18D、2757设，为随机变量，则下列命题中与等价的是（

）。（1）与不相关；（2）；（3）；（4）与相互独立。A、（1）（2）B、（1）（2）（3）C、（2）（3）（4）D、（1）（2）（3）（4）58设有一组容量为14的样本值如下（已排序）：1，5，11，14，18，24，25，34，46，53，55，58，60，64，则样本分位数是（

）。A、11B、12.5C、14D、3459设样本，，，，来自总体，若统计量服从t分布，则常数（

）。A、B、C、D、60设总体服从上的均匀分布，现从中抽取容量为1的样本，则的一个无偏差估计量是（

）。A、B、C、D、61由曲线，过上点（1,1）处的切线和轴所围成的平面图形记为，则绕轴旋转一周所得的旋转体的体积是（

）。A、B、C、D、62是由曲面与所围成立体的表面外侧，则曲面积分（

）。A、0B、C、D、63如果级数收敛，则级数（

）。A、绝对收敛B、条件收敛C、无法确定其敛散性D、发散64n阶行列式（

）。A、B、C、D、65设矩阵，为可逆矩阵。若，则（

）。A、B、C、D、66设中的两个基Ⅰ和Ⅱ分别为Ⅰ：，，，；Ⅱ：，，，；则由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵为（

）。A、B、C、D、67元实二次型正定的充分必要条件是（

）。A、存在一个，使得B、负惯性指数为C、D、存在阶可逆矩阵，68设连续型随机变量的概率密度满足，是的分布函数，则对于任意实数，有（

）。A、B、C、D、69设样本，，···，来自总体，为样本均值，为样本方差，则下列结论正确的是（

）。A、B、C、D、70某复杂系统由100个相互独立起作用的部件组成，系统正常运转至少需要85个部件工作正常：若系统运行期间每个部件损杯的概率为，则系统正常运转的概率约为（

）。参考数据：；A、0.9525B、0.7123C、0.8517D、0.56582025年军队文职统一考试《专业科目》数学1试卷（解析）1根据洛必达法则，当分子分母同时趋近于或无穷时，对分子分母分别求导来计算极限。，而，当时，分母趋近于0，分子趋近于2，该极限不存在，所以两者不相等。故表述错误。2例如，，和在处均不连续，但在处连续。故表述错误。3若两个函数线性相关，则存在不全为0的常数，，使得对任意恒成立。假设，则，即，对于很多值，该等式不成立，所以它们线性无关。故表述错误。4函数在上可积，只能说明定积分存在，但不能保证在上一定可导。例如狄利克雷函数在上可积，但变上限积分不可导。故表述错误。5对于实对称二次型，根据实对称矩阵的性质，一定存在正交变换，将其化为标准形。故表述正确。6若n阶可逆矩阵为正定矩阵，则的特征值全为正，的特征值为的特征值的倒数，也全为正，所以也是正定矩阵。故表述正确。7只有可逆矩阵才能经过初等行变换化为标准形（单位矩阵），并不是任意矩阵都可以。故表述错误。8相互独立的事件不一定互斥，例如掷一枚骰子，事件“点数为奇数”和“点数小于4”是相互独立的，但不是互斥的。故表述错误。9正态分布的概率密度函数曲线是以均值为对称轴的钟形曲线，不同参数的正态分布曲线不会相交。故表述错误。10统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量，例如样本容量是一个确定的常数，不是随机变量。故表述正确。11二阶微分方程是指方程中出现的未知函数的最高阶导数是二阶导数。选项A：，其中最高阶导数是，是二阶导数，所以该方程是二阶微分方程。选项B：，方程中最高阶导数是，是一阶导数，所以该方程是一阶微分方程。选项C：，方程中最高阶导数是，是三阶导数，所以该方程是三阶微分方程。选项D：，方程中最高阶导数是，是一阶导数，所以该方程是一阶微分方程。故正确答案为A。12过轴的平面方程可设为（因为平面过轴，所以方程中不含项），将点代入可得，即，不妨令，则，所以平面方程为，即。故正确答案为B。13选项A：是调和级数，调和级数是发散的。选项B：，根据p—级数的性质，当时，该级数发散。选项C：是一个等比级数，公比为，等比级数当公比大于1时发散。选项D：，这是一个裂项相消的级数，其前项和，当时，，所以该级数收敛。故正确答案为D。14向量场的散度为。对于本题，，；，；，。在点处，。故正确答案为A。15按三阶行列式的展开法则，原行列式可展开为：解得或。故正确答案为D。16由可得，则向量空间中的向量可表示为。可见向量空间的一组基为，所以维数是2。故正确答案为C。17因为，所以。又因为，，所以。故正确答案为A。18已知向量在基，下的坐标是，则。设在基，下的坐标为，则有。所以可得方程组，解得，即坐标为。故正确答案为A。19对于连续型随机变量的概率密度函数，根据其性质，有，它表示随机变量在整个取值区间上的概率总和为1。选项A，概率密度函数不一定在定义域内单调。选项B，不一定等于1。选项C，的值可以大于1，只是在某区间上的积分值表示概率，概率值在之间。故正确答案为D。20箱线图是基于五个关键数值来绘制的，分别是最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值。中位数将数据集分为上下两部分，能更好地反映数据的集中趋势，是箱线图的重要组成部分。故正确答案为B。21当时，利用等价无穷小替换，，而。选项A，，与相比，是的低阶无穷小。选项B，，是同阶无穷小。选项C，，与相比，是的低阶无穷小。选项D，，与相比，是的低阶无穷小。故正确答案为B。22当时，是三个项中增长速度最快的，所以。因为当时，，，所以，则原式极限为5。故正确答案为D。23设，，。函数在闭区间上连续，根据零点存在定理，在内至少存在一个实根。又因为，当时，，即函数在上单调递减。所以函数在内有且仅有一个实根。故正确答案为B。24连续性：（因为有界，，有界函数乘以无穷小量为无穷小量），且，所以函数在处连续。可导性：（理由同上），所以函数在处可导。故正确答案为C。25先求一阶导数：。再求二阶导数：。将代入可得：。故正确答案为B。26，则。当时，（洛必达法则）。所以，即。故正确答案为D。27铅直渐近线：当分母为0时，即，，所以是铅直渐近线。水平渐近线：因为当时，，所以是水平渐近线。故正确答案为C。28设（为常数），则。那么。。所以，解得。故正确答案为A。29对于，因为被积函数是奇函数（是奇函数，和是偶函数，奇函数乘偶函数为奇函数），且积分区间关于原点对称，所以。对于，将其拆分为两项：，对于，因为是奇函数，是偶函数，所以是奇函数，根据上述定积分性质，。对于，令，则，当时，；当时，，则。由定积分基本运算，所以，即。对于，（奇函数在对称区间上积分为0），，所以。故正确答案为C。30根据向量模的计算公式，。因为，，为两两垂直的单位向量，所以，。则，所以。故正确答案为B。31设，则直线上的点坐标为。已知点（2，3，1），设投影点坐标为。那么向量。直线的方向向量。因为，根据向量垂直的性质。即，解得。当时，投影点坐标为。故正确答案为C。32首先设切点坐标为。已知曲面，令。则，，。所以曲面在点处的法向量。然后，因为切平面平行于平面，平面的法向量为。由于两平面平行，则它们的法向量平行，所以。由可得；由可得。因为，把，代入可得。切平面的法向量为，且过点。根据点法式方程，可得，化简得。故正确答案为D。33令，当，时，。则原式可化为，这是一个重要极限，其值为。故正确答案为B。34先求，根据偏导数定义：，当和时极限不相等，所以不存在。再，，当和时极限不相等，所以不存在。故正确答案为A。35首先求函数的梯度，，其中，。在点（0，1）处，梯度为。方向导数的最大值为梯度的模，。故正确答案为D。36由全微分，可知，。分别求二阶偏导数，，，。在点（0，1）处，，，。计算，且，所以点（0，1）是的极小值点。故正确答案为D。37先交换积分次序，原积分区域为，，交换后为，。则积分变为。而。故正确答案为C。38利用对称性，对于，由于区域关于面对称，被积函数是关于的奇函数，所以。对于，由于区域关于面对称，被积函数是关于的奇函数，所以。则，球体的体积为（半径），所以。故正确答案为D。39设，。计算。计算。因为，所以曲线积分与路径无关，选取从（1，2）到（3，2）再到（3，4）的折线进行积分。从（1，2）到（3，2），，，。从（3，2）到（3，4），，，。。故正确答案为B。40令，则原幂级数变为。对于幂级数，其收敛半径，这里，。则，即的收敛半径为2，而，所以的收敛半径为。故正确答案为A。41。。所以。故正确答案为D。42由可得。那么，以此类推。计算（单位矩阵）。所以，则。所以。故正确答案为D。43已知3阶矩阵的特征值为1，，5，根据伴随矩阵的性质，的特征值为（为的特征值）。先求，则的特征值为，，。那么的特征值为，，。所以。故正确答案为B。44相似矩阵的定义：若存在可逆矩阵，使得，则与相似。合同矩阵的定义：若存在可逆矩阵，使得，则与合同。先求矩阵的特征值，，特征值为，，。矩阵的特征值为，4，2。因为与的特征值不同，所以与不相似。又因为与都是实对称矩阵，且正负惯性指数相同（的正惯性指数为2，负惯性指数为1；的正惯性指数为2，负惯性指数为1），所以与合同。故正确答案为C。45选项A：该矩阵是上三角矩阵，特征值为1，4，0。对于，代入特征方程，可得，通过求解可得基础解系只有1个向量，而矩阵是3阶的，所以该矩阵不能相似对角化。选项B：计算其特征多项式，可得特征值为，，，对于每个特征值，代入特征方程都能求出相应的线性无关的特征向量，且特征向量的个数等于矩阵的阶数，所以该矩阵可以相似对角化。选项C：这是一个上三角矩阵，特征值为1，1，5，对于（二重特征值），代入特征方程，可得，通过求解可得基础解系有2个线性无关的向量，再加上对应的特征向量，一共有3个线性无关的特征向量，所以该矩阵可以相似对角化。选项D：计算其特征多项式，可得特征值为，，，对于每个特征值，代入特征方程都能求出相应的线性无关的特征向量，且特征向量的个数等于矩阵的阶数3，所以该矩阵可以相似对角化。故正确答案为A。46原矩阵，通过初等行变换可得其秩为3。选项A：，其秩为1，与原矩阵秩不同，不等价。选项B：，其秩为2，与原矩阵秩不同，不等价。选项C：，其秩为3，且可以通过初等变换得到原矩阵（例如先将第二行乘以2，再将第一行乘以加到第二行等一系列初等变换），所以该矩阵与原矩阵等价。选项D：，其秩为3，但无法通过初等变换得到原矩阵，不等价。故正确答案为C。47原方程组为。选项A：由原方程组的前三个方程可得，所以该选项与原方程组同解。选项B：将原方程组的第一个方程两边同时乘以2得，再与原方程组的第二个方相减可得，而该选项中的无法由原方程组变形得到，所以该选项与原方程组不同解。选项C：由原方程组的第二个方程移项可得，再结合原方程组的第一个方程，即，代入可得，化简得，即，所以该选项与原方程组同解。选项D：由原方程组的第二个方程移项可得，再结合原方程组的第三个方程，即，代入可得，化简得，所以该选项与原方程组同解。故正确答案为B。48已知为4阶矩阵，，则。交换的第1列与第3列得到矩阵，则。所以。故正确答案为B。49将展开，可得，所以实二次型的矩阵为。故正确答案为C。50将展开得：，其矩阵为，通过初等行变换可得该矩阵的秩为3，所以二次型的秩为3。故正确答案为D。51由，根据条件概率公式可得：。已知，，代入上式可得：，解得。故正确答案为D。52，，，。由全概率公式可得：。再由贝叶斯公式可得：。故正确答案为B。53，，则，，所以。故正确答案为D。54求取值大于1的概率，根据概率密度函数求概率，。对进行积分，（C为常数）。则。确定的分布并求和，因为表示观测值大于1的观测次数，进行了9次独立观测，所以。对于二项分布，期望，方差。这里，，所以，。计算，根据方差公式，可得。将，代入，。故正确答案为D。55因为与相互独立，所以。，，则，。。所以。故正确答案为C。56对于指数分布，，，所以依概率收敛于18。故正确答案为C。57等价于与不相关，即。，所以。，当时，。但是不能推出与相互独立，相互独立能推出，但反之不成立。故正确答案为B。58，，向上取整为4，所以为第4个数，即14。故正确答案为C。59已知，，，，来自总体，则，。要使服从t分布，则。故正确答案为A。60已知总体服从上的均匀分布，则。对于选项A，；对于选项B，；对于选项C，；对于选项D，。但选项C不是统计量（因为含有未知参数），所以的一个无偏估计量是。故正确答案为B。61首先对求导，，在点（1,1）处的切线斜率为2，切线方程为，即。所求旋转体体积为曲线与轴围成的图形绕轴旋转一周的体积减去切线与轴围成的图形绕轴旋转一周的体积。曲线与轴围成的图形绕轴旋转一周的体积为；切线与轴围成的图形绕轴旋转一周的体积为。所以绕轴旋转一周所得的旋转体的体积是。故正确答案为A。62设是由所围成的闭区域，根据