高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限.doc

第一部分 函数、极限、连续一、 函数 内容要点一、函数的概念1函数的定义2分段函数3反函数4隐函数二、复合函数与初等函数三、高等数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数(1) (2) 2用变上、下限积分表示的函数(1) 其中连续，则(2) 其中可导，连续，则四、函数的几种性质1 有界性：2 奇偶性： 3 单调性： 4 周期性： 典型例题一、定义域与值域二、求复合函数有关表达式例1 设，求解：，若，则根据数学归纳法可知，对正整数，例2 已知，且，求解：令，因此，三、有关四种性质例1 设，则下列结论正确的是 （A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数例2 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数于是例3 设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 （A）（B）（C）（D）四、函数方程例1设在上可导，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，由，得，则。例2 设满足，求解：令，则，各式相加，得， 因此，于是或（k为整数）二、极限 内容要点一、极限的概念与基本性质二、无穷小常见的等价无穷小，当时，。三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则1：单调有界数列极限一定存在准则2：夹逼定理3两个重要公式公式1：公式2：；4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式当时，6洛必达法则法则1：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）法则2：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）7利用导数定义求极限基本公式：如果存在8利用定积分定义求极限基本公式如果存在9 变量替换10其它综合方法11求极限的反问题有关方法 典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限二、用两个重要公式例1 求解：当，原式=1当时，原式=三、用夹逼定理求极限例1求解：令，则，于是由夹逼定理可知：，于是原极限为0例2 求解：而由夹逼定理可知u 例3求。 (2003)四、用定积分定义求数列的极限例1求分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑解：例2. 求解：而由夹逼定理可知，五、用洛必达法则求极限1型和型例1求解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反而增加）为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令于是（型）u 例2 ( 2003)u 例3计算：。（2004） u 例4计算：。（2005）2型和型例1 求例2 设，常数。求3“”型，“”型和“”型例1 求例2 设，常数，求六、求分段函数的极限七、用导数定义求极限例1 设曲线与在原点相切，求解：由题设可知，于是八、递推数列的极限例1 设，证明存在，并求其值。九、变量替换十、求极限的反问题例1 设，求和解：由题设可知，再由洛必达法则得例2 设在内可导，且满足，求。解：因此，由，可知则十一、用等价无穷小量例1 已知，求a,b的值。例2u 例3. 求极限。(2002)三、连续 内容要点一、函数连续的概念二、函数的间断点及其分类三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质 典型例题一、讨论函数的连续性例1 讨论函数在点处的连续性。二、间断点问题三、用介值定理讨论方程的根例1 证明五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。例2 设在上连续，且。求证：在上至少存在一点使（正整数）证：令，则于是（）如果有为0，则已经证明 ，成立。（）如果全不为0， 则不可能同号，否则相