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中国人民大学附属中学 5 3等比数列 1 等比数列定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 2 等比数列通项公式 说明 1 由等比数列的通项公式可以知道 当公比q 1时 该数列既是等比数列也是等差数列 2 由等比数列的通项公式知 若 an 为等比数列 则 3 等比中项 如果在a b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 注意 a b有两个等比中项 4 等比数列前n项和公式 当q 1时 sn na1 例1 设 an 是等比数列 前项和为sn 1 已知a6 6 a9 9 求a3 2 已知s1 2s2 3s3成等差数列 求 an 的公比 3 已知a3 4 a4 6 求s5 4 已知a6 192 a8 768 求s10 4 6138或2046 例2若等比数列 an 的公比q 0 前n项和为sn 则s8a9与s9a8的大小关系是 a s8a9 s9a8 b s8a9 s9a8 c s8a9 s9a8 d 不确定 a 例3 已知四个命题 公差为0的等差数列是等比数列 公比为的等比数列一定是递减数列 a b c三数成等比数列的充要条件是b2 ac a b c三数成等差数列的充要条件是2b a c 以上命题中 正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 a 例4 命题1 若数列 an 的前n项和sn an b a 1 则数列 an 是等比数列 命题2 若数列 an 的前n项和sn an2 bn c a 0 则数列 an 是等差数列 命题3 若数列 an 的前n项和sn na n 则数列 an 既是等差数列 又是等比数列 上述三个命题中 真命题有 a 0个b 1个c 2个d 3个 a 例5 已知等比数列 an 中 a2 1 则其前3项的和s3的取值范围是 a b c d d 例6 已知数列 an 满足a1 1 an 1 qan m n n q m r且mq 0 当q 2 m 1时 是否存在实数x 使得数列 an x 是等比数列 对于q m r且mq 0 试讨论是否存在实数x 使得数列 an x 是等比数列 x 1 例7 已知 an 是等比数列 a1 2 a3 18 bn 是等差数列 b1 2 b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 20 1 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前n项和sn的公式 3 设pn b1 b4 b7 b3n 2 qn b10 b12 b14 b2n 8 其中n 1 2 试比较pn与qn的大小 并证明你的结论 例8 已知函数f x x 1 2 数列 an 是公差为d的等差数列 数列 bn 是公比为q的等比数列 q 1 若a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 1 求数列
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