高三数学第一轮复习 平面向量的数量积课件 新人教B版.ppt

考点1 考点2 考点3 考点4 返回目录 考纲解读 考向预测 这一部分是向量的核心内容 高考的一个命题点 填空题 选择题重在考查数量积的概念 运算律 性质 向量平行 垂直 向量的夹角 距离等 解答题重在与几何 三角 代数等结合的综合题 返回目录 返回目录 1 平面向量的数量积的概念 1 已知两个非零向量a与b 我们把数量叫做向量a和b的数量积 或内积 记作a b 即a b 其中 是a与b的夹角 叫做向量a在b方向上 b在a方向上 的投影 规定 零向量与任一向量的数量积都为0 a b cos a b cos a cos b cos 返回目录 2 数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与上的投影 b cos 的乘积 2 平面向量数量积的性质 1 如果e是单位向量 则a e e a 2 a b a b 0且a b 0 a b 3 a a a 2或 4 cos 5 a b a b b在a方向 a cos 返回目录 3 平面向量数量积的运算律 1 交换律 2 分配律 3 数乘向量结合律 4 向量的长度 距离和夹角公式 1 设a a1 a2 则 a 2 若a x1 y1 b x2 y2 则 ab 3 设a a1 b1 b a2 b2 则cos a b b a a b c a c b c a a 返回目录 5 平面向量数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 2 若a x y 则 a 2 a a a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 x1x2 y1y2 x2 y2 已知向量a b满足 a 1 b 2 a与b的夹角为60 则 a b 分析 求 a b 可先求 a b 2 考点1数量积的计算 返回目录 解析 a b 返回目录 求平面向量数量积的步骤 首先求a与b的夹角为 0 180 再分别求 a b 然后再求数量积即a b a b cos 若知道向量的坐标a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 返回目录 已知向量a cosx sinx b cos sin 且x 1 求a b及 a b 2 若f x a b a b 求f x 的最大值和最小值 返回目录 解析 1 a b cosxcos sinxsin cos2x a b cosx cos sinx sin x cosx 0 a b 2cosx 返回目录 2 由 1 可得f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 2 cosx 2 x cosx 1 当cosx 时 f x 取得最小值为 当cosx 1时 f x 取得最大值为 1 返回目录 设向量a b c满足a b c 0 a b c a b 若 a 1 则 a 2 b 2 c 2的值是 分析 由垂直的充要条件 寻找 a b c 之间的关系 考点2利用向量解决垂直问题 解析 a b b a c a b a a c a 2 a c 0 a c a 2 1 又 a b c a b c 0 a c b c 1 a b c a 2 b 2 c 2 2b c b 2 c 2 a 2 2b c 3 a 2 b 2 c 2 4 返回目录 垂直问题是一个重要的知识点 在高考题中常常出现 常与向量的模 向量的坐标表示等联系在一起 要特别注意垂直与平行的区别 若a a1 a2 b b1 b2 则a b a1a2 b1b2 0 a b a1b2 a2b1 0 返回目录 已知a cos sin b cos sin 0 1 求证 a b与a b互相垂直 2 若ka b与a kb的模相等 求 其中k为非零实数 返回目录 1 证明 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 0 a b与a b互相垂直 2 ka b kcos cos ksin sin a kb cos kcos sin ksin ka b a kb ka b a kb 2kcos 2kcos 又k 0 cos 0 而0 返回目录 已知 a 1 a b a b a b 求 1 a与b的夹角 2 a b与a b的夹角的余弦值 分析 1 由 a b 和 a b 的数量积可得出 a b 的关系 2 计算a b和a b的模 考点3利用向量解决夹角问题 返回目录 解析 1 a b a b a 2 b 2 又 a 1 b 设a与b的夹角为 则cos 又 0 返回目录 2 a b 2 a2 2a b b2 1 2 a b a b 2 a2 2a b b2 1 2 a b 设a b与a b的夹角为 则cos 返回目录 公式cos 可求a b的夹角及夹角取值的范围 应用时 要注意y cosx在x 0 上的单调性 返回目录 已知 a b 1 a与b的夹角为45 求使向量 2a b 与 a 3b 的夹角是锐角的 的取值范围 由 a b 1 a与b的夹角为45 得a b a b cos45 1 1 2a b a 3b 2 a2 6a b 2a b 3 b2 2 6 设向量 2a b 与 a 3b 的夹角为 则且cos 1 返回目录 由 2a b a 3b 0得 2 6 0 2或 0 2 k 3k 故使向量2a b和 a 3b夹角为0的 不存在 当 2或 3时 向量 2a b 与 a 3b 的夹角是锐角 解得k2 返回目录 已知向量m cos sin 和n sin cos 2 且 m n 求cos 的值 分析 从向量的模入手 求出 满足的条件 考点4以向量为载体的综合问题 返回目录 解析 解法一 由题意知m n cos sin cos sin m n 由已知 m n 得cos 又 cos 2cos2 1 cos2 2 cos 0 cos 返回目录 解法二 m n 2 m n 2 m2 2m n n2 m 2 n 2 2m n 2 cos sin sin cos 4 2 cos sin 4 1 cos 8cos2 由已知 m n 得cos 2 cos 0 cos 返回目录 本题主要以向量作为载体 实质上是考查三角中的求值问题 注意倍角公式的运用 返回目录 已知向量a cos sin b cos sin c 1 0 1 求向量b c的长度的最大值 2 设 且a b c 求cos 的值 返回目录 解析 1 解法一 由已知得b c cos 1 sin 则 b c 2 cos 1 2 sin2 2 1 cos 1 cos 1 0 b c 2 4 即0 b c 2 当cos 1时 有 b c max 2 向量b c的长度的最大值为2 返回目录 解法二 b 1 c 1 b c b c 2 当cos 1时 有b c 2 0 即 b c 2 向量b c的长度的最大值为2 2 解法一 由已知可得b c cos 1 sin a b c cos cos sin sin cos cos cos a b c a b c 0 即cos cos 返回目录 由 得cos cos 即 2k k z 2k 或 2k k z 于是cos 0或cos 1 解法二 若 则a 又由b cos sin c 1 0 得a b c cos 1 sin cos sin 返回目录 a b c a b c 0 即cos sin 1 sin 1 cos 平方后化简得cos cos 1 0 解得cos 0或cos 1 经检验 cos 0或cos 1即为所求 返回目录 1 数量积a b中间的符号 不能省略 也不能用 来替代 2 要熟练类似 a b sa tb sa2 t s a b tb2的运算律 s t r 3 求向量模的常用方法 利用公式 a 2 a2 将模的运算转化为向量的数量积的运算 返回目录 4 一般地 a b c b c a即乘法的结合律不成立 因为a b是一个数量 所以 a b c表示一个与c共线的向量 同理右边 b c a表示一个与a共线的向量 而a与c不一定共线 故一般情况下 a b c b c a 5 零向量 1 0与实数0的区别 不可写错 0a 0