高三数学第一轮复习 第10编 7随机变量的数字特征 正态分布课件 新人教B版.ppt

考点1 考点2 考点3 考纲解读 返回目录 考向预测 求随机变量的期望与方差 这部分知识综合性强 涉及排列 组合和概率 仍会以解答题出现 以应用题为背景命题是近几年高考的一个热点 返回目录 1 离散型随机变量的均值一般地 若离散型随机变量x的分布列为 返回目录 则称ex x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量 1 e ax b 2 若x服从两点分布 则ex 3 若x b n p 则ex 2 离散型随机变量的方差设离散型随机变量x的分布列为 取值的 平均水平 aex b p np 返回目录 则 xi ex 2描述了xi i 1 2 n 相对于均值ex的偏离程度 而dx 为这些偏离程度的加权平均 刻画了随机变量x与其均值ex的平均偏离程度 我们称dx为随机变量x的方差 其算术平方根为随机变量x的标准差 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 方差或标准差越小 则随机变量偏离于均值的平均程度 1 d ax b 2 若x服从两点分布 则dx 3 若x b n p 则dx 取值偏离于均值的平均程度 越小 a2dx p 1 p np 1 p 返回目录 3 正态分布函数 x x 其中实数 和 0 为参数的图象为正态分布密度曲线 简称正态曲线 如果对于任何实数a b 随机变量x满足p a x b x dx 则称x的分布为正态分布 正态分布完全由参数 和 确定 因此正态分布常记作 如果随机变量x服从正态分布 则记为x 正态曲线有以下特点 n 2 n 2 返回目录 1 曲线位于x轴上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于对称 3 曲线在处达到峰值 4 曲线与x轴之间的面积为 5 当 一定时 曲线随着 的变化而沿平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 越 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 大 直线x x x轴 1 小 返回目录 考点1求期望与方差 2010年高考北京卷 某同学参加3门课程的考试 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 第二 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p q p q 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 返回目录 1 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率 2 求p q的值 3 求数学期望e 返回目录 分析 第 1 问考查对立事件 第 2 问可通过列方程组求出 第 3 问由公式e x1p1 x2p2 xnpn求出期望 解析 事件ai表示 该生第i门课程取得优秀成绩 i 1 2 3 由题意知p a1 p a2 p p a3 q 1 由于事件 该生至少有1门课程取得优秀成绩 与事件 0 是对立的 所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1 p 0 1 2 由题意知p 0 p a1a2a3 1 p 1 q 返回目录 p 3 p a1a2a3 pq 整理得pq p q 1 由p q 可得p q 3 由题意知a p 1 p a1a2a3 p a1a2a3 p a1a2a3 1 p 1 q p 1 q 1 p q b p 2 1 p 0 p 1 p 3 所以e 0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3 返回目录 求期望的关键是写出分布列 返回目录 2010年高考山东卷 某学校举行知识竞赛 第一轮选拔共设有a b c d四个问题 规则如下 每位参加者计分器的初始分均为10分 答对问题a b c d分别加1分 2分 3分 6分 答错任一题减2分 每回答一题 计分器显示累计分数 当累计分数小于8分时 答题结束 淘汰出局 当累计分数大于或等于14分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足14分时 答题结束 淘汰出局 每位参加者按问题a b c d顺序作答 直至答题结束 返回目录 假设甲同学对问题a b c d回答正确的概率依次为 且各题回答正确与否相互之间没有影响 1 求甲同学能进入下一轮的概率 2 用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数 求 的分布列和数学期望e 解析 设a b c d分别表示甲同学正确回答第一 二 三 四个问题 a b c d分别表示甲同学第一 二 三 四个问题回答错误 它们是对立事件 由题意得 返回目录 p a p b p c p d p a p b p c p d 1 记 甲同学能进入下一轮 为事件q 则q abc abcd abcd abcd abcd 每题结果相互独立 p q p abc abcd abcd abcd abcd p a p b p c p a p b p c p d p a p b p c p d p a p b p c p d p a p b p c p d 返回目录 2 由题意知 随机变量 的可能取值为 2 3 4 则p 2 p ab p 3 p abc abc p 4 1 p 2 p 3 1 因此 的分布列为 返回目录 考点2期望和方差的应用 甲 乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 与 且 的分布列为 计算 的期望与方差 并以此分析甲 乙的技术优劣 返回目录 解析 依题意 有e 10 0 5 9 0 2 8 0 1 7 0 1 6 0 05 5 0 05 0 0 8 85 环 e 10 0 1 9 0 1 8 0 1 7 0 1 6 0 2 5 0 2 0 0 2 5 6 环 d 10 8 85 2 0 5 9 8 85 2 0 2 8 8 85 2 0 1 5 8 85 2 0 05 0 8 85 2 0 2 2275 d 10 5 6 2 0 1 9 5 6 2 0 1 8 5 6 2 0 1 5 5 6 2 0 2 0 5 6 2 0 2 10 24 分析 利用 的分布列 用期望 方差公式计算出它们的值 再根据期望 方差的实际意义作出分析 返回目录 所以e e 说明甲的平均水平比乙高 又因为d d 说明甲射中的环数比较集中 比较稳定 而乙射中的环数分散较大 技术波动较大 不稳定 所以甲比乙的技术好 期望反映运动员的平均水平 方差反映运动员的稳定程度 在实际问题中 应结合实际意义 作出合理的判断 返回目录 2010年高考大纲全国卷 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0 5 复审的稿件能通过评审的概率为0 3 各专家独立评审 1 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率 2 记x表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数 求x的分布列及期望 返回目录 解析 1 记a表示事件 稿件能通过两位初审专家的评审 b表示事件 稿件恰能通过一位初审专家的评审 c表示事件 稿件能通过复审专家的评审 d表示事件 稿件被录用 则d a b c p a 0 5 0 5 0 25 p b 0 5 0 5 0 5 p c 0 3 p d p a b c p a p b 5c p a p b p c 0 25 0 5 0 3 0 40 返回目录 2 x b 4 0 4 x的可能值为0 1 2 3 4 且p x 0 1 0 4 4 0 1296 p x 1 0 4 1 0 4 3 0 3456 p x 2 0 42 1 0 4 2 0 3456 p x 3 0 43 1 0 4 0 1536 p x 4 0 44 0 0256 故其分布列为 返回目录 返回目录 考点3正态分布 某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命 使用时间 小时 为随机变量x 已知x n 1000 302 要使灯管的平均寿命为1000小时的概率为99 7 问灯管的最低寿命应控制在多少小时以上 分析 因为x n 1000 302 即x服从正态分布 设灯管最低寿命为1000 a a 0 由于灯管平均寿命为1000 依题意 则应p 1000 a x 1000 a 99 7 求得a 即可得出最低寿命1000 a 小时 返回目录 解析 因为灯管的使用寿命x n 1000 302 为了查表方便 先化为标准正态分布n 0 1 令y 即x 1000 30y 故y n 0 1 设灯管总体寿命最低为1000 a 则依题意 p 1000 a x 1000 a 0 997 又x 1000 30y 所以p 1000 a x 1000 a p y p y 1 p y 2p y 1 返回目录 所以2p y 1 0 997 所以p y 0 9985 即 0 9985 由查表知 2 97 0 9985 所以 2 97 所以a 90 所以x在 910 1090 内取值的概率为0 997 所以 灯管的总体最低寿命应控制在910小时以上 返回目录 记住正态分布的3 原则是解题关键 返回目录 2010年高考山东卷 已知随机变量 服从正态分布n 0 2 若p 2 0 023 则p 2 2 a 0 477b 0 628c 0 954d 0 977 答案 c 解析 由 n 0 2 且p 2 0 023