高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法讲义.docx

1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法学习目标：1.理解实数大小与实数运算性质间的关系，掌握比较两个实数大小的方法.2.理解不等式的性质，能够运用不等式的性质比较大小.3.掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法教材整理1不等式的性质1对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：abab0；ababbbb，bcac.(3)加(减)：abacbc.(4)乘(除)：ab，c0acbc；ab，c0acb0anbn，其中n为正整数，且n2.(6)开方(取算术根)：ab0，其中n为正整数，且n2.(7)可加性：ab，cdacbd.(8)可乘性：ab0，cd0acbd.若a，b是任意实数，且ab，则()Aa2b2B.0 D.b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立又abab0，但不能保证ab1，从而不能保证C成立显然D成立事实上，指数函数y是减函数，所以abb，(1)当a0时，该不等式的解集为；(2)当a0时，该不等式的解集为；(3)当a0时，若b0(a0)的解法：b24ac000)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不等的实根x1，x2且x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc 0) 的解集x|x1x0的解集是()Ax|2x3Bx|x3Cx|1x6Dx|x6解析原不等式可化为x25x60，即(x2)(x3)0，所以原不等式的解集为x|2x3，比较x33与3x2x的大小；(2)若m0，试比较mm与2m的大小精彩点拨(1)只需考查两者的差同0的大小关系；(2)注意到2m0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质自主解答(1)x333x2xx2(x3)(x3)(x3)(x1)(x1)x3，(x3)(x1)(x1)0，x333x2x.(2)，当m2时，1，此时mm2m；当0m2时，01，1，mm2时，1，1，mm2m.1利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为差的符号问题作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要2在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断作差法变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等3利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步1已知A，B，其中x，y为正数，试比较A与B的大小解AB.x，y均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20，AB0，即AB.利用不等式的性质求范围【例2】设f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，在求f(2)的取值范围时有如下解法：由得3f(2)4a2b12.上述解法是否正确？为什么？精彩点拨本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(2)的范围扩大因此需要将f(2)用ab与ab整体表示自主解答给出的解法不正确设f(2)mf(1)nf(1)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(mn)b.于是解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.因此，f(2)的取值范围是5,101求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础2先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径2已知6a8,2b3，分别求ab，的取值范围解6a8,2b3.3b2，9ab6，则ab的取值范围是(9,6)又，(1)当0a8时，04；(2)当6a0时，30.由(1)(2)得30；(2)9x26x10；(3)x24x50.精彩点拨先由不等式确定对应的一元二次方程ax2bxc0的根，再根据二次函数yax2bxc的图象确定不等式的解集自主解答(1)方程3x25x20的两根为x12，x2，函数y3x25x2的图象开口向上，与x轴交于两个点 (2,0)，观察图象可得不等式3x25x20的解集为x或x0的解集为.(3)方程x24x50可化为(x2)210，故方程x24x50没有实数根，函数yx24x5的图象开口向上并且与x轴没有交点，由图象可得，不等式x24x50的解集为R.当a0时，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(aR)解原不等式可化为(xa)(xa2)0，当a0时，aa2，解集为x|xa2；当a0时，a2a，解集为x|x0；当0a1时，a2a，解集为x|xa；当a1时，a2a，解集为x|x1；当a1时，aa2，解集为x|xa2综上所述：当a1时，解集为x|xa2；当0a1时，解集为x|xa；当a0时，解集为x|x0；当a1时，解集为x|x1一元二次不等式的应用【例5】设aR，关于x的一元二次方程7x2(a13)xa2a20有两个实数根x1，x2且0x11x20，f(1)0，所以只需解关于a的不等式组，即可求出a的取值范围自主解答设f(x)7x2(a13)xa2a2.x1，x2是方程f(x)0的两个实根，且0x11,1x22，有即有有有2a1或3a4.a的取值范围是a|2a1或3abb0b，ab00对一切xR都成立的充要条件是什么？提示或【例7】若不等式x2ax10对一切xR都成立，求实数a的取值范围精彩点拨设f(x)x2ax1，只要f(x)的图象全部位于x轴上方，只要顶点在x轴上或x轴上方即可自主解答a240，2a2，实数a的取值范围是2,27把上述例题中“xR”改为x，求a的取值范围解法一：x2ax10，x可化为ax，设f(x)x，x，af(x)min.f(x)在上是减函数，f(x)minf，a，a，a的取值范围是.法二：设f(x)x2ax1，则对称轴为x.当，即a1时，f(x)在上是减函数，应有f0a1；当0，即a0时，f(x)在上是增函数，应有f(0)10恒成立，故a0；当0，即1a0时，应有f110恒成立，故1aNBM0，故MN.答案A2已知函数f(x)xx3，x1，x2，x3R，x1x20，x2x30，x3x10，那么f(x1)f(x2)f(x3)的值()A一定大于0B一定小于0C等于0 D正负都有可能解析x1x20x1x2.又f(x)xx3为奇函数，且在R上递增，f(x1)f(x2)f(x2)，即f(x1)f(x2)0.同理：f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3