概率论与数理统计习题详解（周概容）——习题2解.doc

习题二 随机变量及其分布(A)2.1 将随机变量X表示为随机试验E的基本事件的函数(1) 设E掷两枚硬币，是正面出现的次数(2) 设E接连对同一目标射击直到命中目标为止，是射击的次数(3) 设E从随意抽取三个元素，是和同时出现的次数 解 (1) ，其中0反面, 1正面；(2) =1,2,n,，(3) ，随机变量有1和0两个可能值：2.2 接连进行3次独立射击，假设每次射击命中目标的概率为0.6，求命中目标的次数的概率分布解 易见有0,1,2,3等4个可能值设，由条件，而且相互独立，因此于是的概率分布为2.3 自集合1,2,3中先后抽出两个数，求抽到偶数的次数的概率分布和分布函数解 易见有1,2等两个可能值设，则于是的概率分布为随机变量的分布函数为2.4 假设有7件一等品和3件二等品混放在一起，每次从其中任意抽取一件，直到取到一等品为止试分别求抽取次数的概率分布，假设，(1) 凡是取到的二等品都放回；(2) 将取到的二等品都剔除解 (1) 凡是取到的二等品都放回直到取到一等品为止，相当于还原抽样设第次取到的是一等品，则因为是还原抽样，所以事件相互独立，因此的概率分布为这时，的概率分布称做参数为的几何分布(2) 将取到的二等品都剔除直到取到一等品为止，相当于非还原抽样抽取次数显然有1,2,3,4等4个可能值设第次取到的是一等品，则于是的概率分布为2.5 已知离散型随机变量X的分布函数为，求X的概率分布，其中解 分布函数的间断点是离散型随机变量的可能值，因此X的可能值为0,1,2,3,3.5；分布函数在间断点上的跃度等于：于是X的概率分布为2.6 假设10件产品中有两件不合格品，现在一件一件地将产品取出直到查到一件合格品为止(1) 试求抽出产品件数X的概率分布；(2) 写出随机变量X的分布函数解 (1) 引进事件=第件取到的是合格品抽验产品件数的概率分布为(2) 由抽验产品件数X的概率分布容易写出其分布函数2.7 假设6名学生的考试成绩单中有一张有差错，现在随意一张一张地检查直到找出这张成绩单为止以X表示一共需要检查的张数，求X的概率分布解 对于任意k=1,2,3,4,5,6，（无论是还原还是非还原抽样）在第k次查出有错误的表的概率都等于1/6（见例1.10），因此X的概率分布为事实上，利用古典型概率的计算公式，可以得同样结果：对于任意k=1,2,3,4,5,6，有2.8 假设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地抽出产品直到抽到合格品为止，求最后抽出产品件数X的分布函数解 先求X的概率分布易见，X有1,2,3等3个可能值，且于是，X的分布函数为2.9 甲和乙二人轮流对同一目标射击，并且甲先射，直到有一人命中目标为止已知甲和乙二人的命中率相应为0.4和0.5，试求甲射击次数X的概率分布解 设显然相互独立因此，有对于任意正整数，有2.10 一条交通干线上6处设有红绿信号灯，红、绿两种信号交替开放且开放的时间为1:2假设有一辆汽车沿此街道驶过，以X表示它首次遇到红灯之前已通过绿灯的次数求X的概率分布解 随机变量X有0,1,2,6等7个可能值引进事件：=汽车在第个信号灯处首次遇到红灯（=1,2,3,4,5,6）事件显然独立，且因此，有2.11 设随机变量的分布函数为(1) 问随机变量是离散型的还是连续型的？(2) 求事件的概率解 (1) 由于区间的每一个数都是的可能值，可见不是离散型随机变量由可见也不是连续型随机变量，因为连续型随机变量等于任何给定值的概率都等于0这样，既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，我们称之为离散-连续型的(2) 现在求事件的概率2.12 已知随机变量的概率密度为其中是参数，试求，(1) 未知系数； (2) 随机变量的分布函数；(3) 随机变量在区间取值的概率解 (1) 求未知系数因此(2) 求的分布函数当时显然=0；设，则于是的分布函数为(3) 随机变量在区间取值的概率为2.13 某加油站每周的销售量（千加仑）是一随机变量，其概率密度为该加油站每周初将油库充满假如一周内油库被吸干的概率为1%，试求油库的容积V解 由题意知，容积V满足条件由此可见（千加仑），即近似2736（升）2.14 一食盐供应站的月销售量X（百吨）是随机变量其概率密度为问每月至少储备多少食盐，才能以96%的概率不至于脱销？解 假设每月至少储备a吨食盐，那么满足条件由于可见（百吨），即每月至少储备80吨食盐2.15 假设某物资站负责向15家化工企业供应硫酸，统计资料表明每家企业每周进料的概率为0.40试求该物资站每周实际供货家数的概率分布，以及每周最多有8家企业要求供货的概率解 以表示每周要求供货家数，可以视为=15 次伯努利试验“成功”（进货）的次数，每次试验成功的概率为因此服从参数为的二项分布：每周最多有8家企业要求供货的概率2.16 实力相当的二人进行某种对抗赛，假设每局都要决出胜负，问对于每个人，是“赛满五局至少三局获胜”的概率大，还是“赛满八局至少五胜获胜”的概率大？解 对于每个人，以表示“五局三胜”获胜的概率，以表示“八局五胜”获胜的概率；分别以和表示“五局三胜”获胜的次数和以“八局五胜”获胜的次数那么，服从参数为的二项分布，服从参数为的二项分布因此，由此可见赛满五局至少三局获胜的概率大2.17 假设炮击命中目标的概率为0.2现在共发射了14发炮弹试求，(1) 命中目标的次数的概率分布；(2) 摧毁目标的概率，已知至少两发炮弹命中目标即可将其摧毁解 (1) 以表示14发炮弹命中目标的次数，可以视为=14次伯努利试验，每次试验成功的概率为=0.2，则服从参数为的二项分布：(2) 摧毁目标的概率为2.18 一批共100件产品，其中10件不合格品按验收规则，从中任意取出5件进行检验；假如未发现不合格品，则接收这批产品，否则就对这批产品进行逐个检验(1) 试求任意取出的5件产品中不合格品件数X的概率分布；(2) 需要对这批产品进行逐个检验的概率解 这是一道涉及超几何分布的题：(1) 由古典型概率的计算公式可得，任意取出的5件产品中不合格品件数X的概率分布(2) 需要对这批产品进行逐个检验的概率2.19 在40名乒乓球选手中有12名种子选手，现在抽签选出9名参加某项对抗赛以表示9名参赛选手中种子选手的人数，试求随机变量的概率分布和不足5名选手的概率解 (1) 自40名乒乓球选手中随机地选出=9名有种不同情形，其中恰好选到名种子选手的情形有种，从而得的概率分布（超几何分布）：(2) 选到不足5名种子选手的概率2.20 假设某药物产生副作用的概率为2试求在1000例服该药的患者中，(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值；(2) 最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值解 设例服药者出现副作用的人数，=1000， =0.002，则服从参数为的二项分布；而根据泊松定理，近似服从参数为的泊松分布(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率相应为(2) 最少有一例出现副作用的概率2.21 一台设备有2000个同型号可靠元件,每个元件的可靠性(无故障工作的概率)为0.9995假如只要三个元件发生故障就势必引起设备的故障试求该设备发生故障的概率p解 设是2000个元件中发生故障的个数，则该设备发生故障的概率为由于n=2000充分大，故由泊松定理知近似服从的泊松分布因此，2.22 假设运载火箭在飞行中进入仪器舱的宇宙线粒子数服从参数为的泊松分布,而进入仪器舱的粒子到达仪器的要害部位的概率为试求到达要害部位的粒子数X的概率分布解 设是进入仪器舱的宇宙线粒子数，则由条件知服从参数为的泊松分布，其中到达要害部位的粒子数X关于=n的条件概率分布是参数为的二项分布：，其中，而是只有0一个可能值的退化分布由全概率公式可见，对于，有于是，X服从参数为的泊松分布2.23 假设在一定时间内通过某交叉路口的救护车的辆数服从泊松分布，而且通过该交叉路口的救护车的平均辆数与时间的长度成正比已知一小时内没有救护车通过此交叉路口的概率为0.02，试求两小时内至少有一辆救护车通过该交叉路口的概率解 以表示在t小时内通过此交叉路口的救护车的辆数由条件知，其中是比例系数于是，服从参数为t的泊松分布由条件知，两小时内至少有两辆救护车通过的概率2.24 假设一日内到过某商店的顾客数服从参数为的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为以表示一日内到过该商店的顾客中购货的人数，试求的概率分布解 设是一日内到过该商店的顾客的人个数，它服从参数为的泊松分布设是一日内到过该商店的顾客中购货的人数由全概率公式可见，对于任意自然数，于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数服从参数为的泊松分布2.25 假设某地区一年内发生有感地震的次数和无感地震的次数分别服从参数为和的泊松分布，并且相互独立：对于任意自然数和，事件和相互独立试在一年共发生了次地震的条件下，求有感地震次数的条件概率分布解 由条件知，一年共发生地震次数可以是任意自然数，有对于任意自然数，有于是，在“一年内共发生了次地震”的条件下，有感地震次数的条件概率分布是参数为(n, p)的二项分布，其中2.26 假设一生产线源源不断地加工某种可靠元件，其不合格品率为一装置自动检测陆续生产的每一只元件，并将不合格品剔除试求，(1) 剔除一件不合格品至少要加工20只元件的概率；(2) 为以概率=0.95出现一件不合格品，所加工元件的最少只数解 这是一道涉及几何分布的题源源不断地加工元件，恰好出现1只不合格品时，已经生产元件只数服从参数为的几何分布(1) 出现1只不合格品已经生产元件只数服从参数为几何分布，因此(2) 现在求满足的最小由可见，从而于是，最少生产998只元件才能使出现1件不合格品的概率不小于0.952.27 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，求未知分布参数解 由条件知，随机误差e服从正态分布，所以由，可见2.28 假设随机测量的误差，求在100次独立重复测量中，至少三次测量的绝对误差大于21.7的概率的近似值解 由条件设为100次独立重复测量中事件出现的次数，而，可见服从参数为(100 , 0.03)的二项分布；因为充分大而充分小，所以根据泊松定理近似服从参数为的泊松分布因此2.29 假设问随机变量服从什么分布？ 解 设是标准正态分布函数由标准正态分布的对称性，对任意，有对于任意，由于对于标准正态分布，可见对任意，由于对于标准正态分布，可见于是，随机变量服从标准正态分布2.30 假设随机变量服从参数为的对数正态分布：证明服从参数为对数正态分布证明 随机变量服从参数为的对数正态分布，其密度为现在证明服从对数正态分布事实上，由于只取正值，故对于，其密度=0；对于，有（设）于是，服从参数为的对数正态分布2.31 某仪器上装有三只同样电气元件，其寿命同服从参数为=1/600的指数分布已知这各元件的状态相互独立，求在安装后工作的前200个小时里，至少有一只元件损坏的概率解 以表示第k只元件的寿命，都服从同一指数分布，参数为=1/600；从而的分布函数为以表示事件“第k只元件在仪器工作的前200个小时里损坏”，则 2.32 假设一种电池的寿命服从服从参数为=1/200的指数分布有一只电池已经使用了80小时，求它至少还能再使用80小时的概率解 由条件知，这种电池的寿命服从参数为=1/200的指数分布，从而的分布函数为因此3.33 设随机变量服从区间上的均匀分布，求随机变量的概率密度，如果(1)； (2)； (3) ；(4) ； (5) 解 随机变量X的概率密度和分布函数相应为(1) 当时显然；对于，有(2) 当时显然；对于，有(3) 当时显然；对于，有(4) 当时显然；对于，有(5) 当时显然；对于，有2.34 假设一装置启动后无故障工作的时间（min）服从参数为0.5的指数分布，每次启动在无故障的情形下只需工作10 min便自行关机求该装置每次启动无故障工作的时间的分布函数；问是何种类型的随机变量？解 由条件知的分布函数为易见，设是的分布函数，则对于，=0；对于，=1；对于,有于是，的分布函数为由于，故，可见不是连续型随机变量，因为连续型随机变量取任何给定值的概率都应等于0然而，由于在区间上是单调增加的连续函数，可见不可能是离散型随机变量于是，既不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量2.35 设X是连续型随机变量，其概率密度为，求随机变量的概率密度解 对于任意，随机变量的分布函数和概率密度为于是，随机变量的概率密度是标准正态密度2.36 由于加工的误差，钢球的半径是一随机变量，其概率密度为试求钢球的体积和表面积的概率密度和解 球体积和表面积都是球的半径的函数：球体积和表面积的的分布函数分别记作和，则求导得概率密度和：（B） 2.37 设随机变量的概率密度是偶函数，而是的分布函数，则对于任意实数a，有(A) (B) (C) (D) 解 应该选（B）这是计算性的单项选择题,由于是概率密度且是偶函数，可见于是，（B）是正确选项说明 该题的一种变式为：设随机变量X的概率密度是偶函数，F(x)是其分布函数，则对于任意实数a，有(A) (B) (C) (D) 容易看到，正确的选项是(C)因为，所以，有(设)于是，选项（C）正确，而其余选项都是错误选项2.38 设随机变量服从正态分布，其分布函数记作，则对于任意，有(A) (B) (C) (D) S1S2例2.38插图解 应该选（A）直观上，显然正态分布的曲线关于直线对称；设为分布曲线、横轴和过点直线所夹区域的面积，为分布曲线、横轴和过点直线所夹区域的面积，则由对称性知，因此于是，（A）是正确选项，而其余选项都不成立说明 选项（A）的正确性，可以通过计算证明事实上，有于是，（A）是正确选项2.39 设随机变量，则随的增大，概率(A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 解 应该选（C）对于任意和，由于，可见为常数，其中是标准正态分布函数于是，（C）是正确选项2.40 设是随机变量的分布函数，是相应的概率密度，则(A) 是分布函数 (B) 是分布函数(C) 是概率密度 (D) 是概率密度 分析 应该选（B）该题宜用直选法，亦可采用排除法(1) 直选法 设只需证明具有分布函数的三条基本性质由分布函数的基本性质，可见是单调不减的右连续函数，且满足，因此本身也是一个分布函数于是（B）是正确选项(2) 排除法 容易验证（A）,（C）和（D）不成立例如，故不是分布函数因此选项（A）错误；由于，可见不是概率密度，因此选项（C）错误；最后，设是标准正态密度，而是区间上的均匀分布密度，则，因此不是概率密度于是，只有（B）是正确选项2.41 设随机变量X服从正态分布，对给定的，数满足若，则x等于(A) (B) (C) (D) 分析 应该选（C）这是一道计算性的选择题由标准正态分布密度的对称性，知；因此，由数的定义，可见于是，选项（C）正确说明 由关系式定义的数，称做标准正态分布水平上侧分位数注意，附表2中的是标准正态分布水平双侧分位数2.42 随机变量与随机变量服从同一名称分布，如果服从(A) 二项分布 (B) 泊松分布(C) 正态分布 (D) 指数分布分析 应该选（C）该题宜用直选法，因为正态分布随机变量的线性函数仍然服从正态分布，应该是熟知的事实(1) 直选法设随机变量服从正态分布，其概率密度记作，以表示随机变量的概率密度因为，所以函数由惟一反函数将代入公式，得的概率密度由此可见于是选项（C）正确(2) 排除法对于（A）和（B），由于一般不取自然数为值，所以一般不服从二项分布和泊松分布对于（D），假设服从参数为的指数分布，其概率密度为的概率密度为概率密度为的分布称做二参数指数分布或移位指数分布，不是选项（D）中的分布于是（A），（B）和（D）都是错误选项，只有（C）是正确选项2.43 连续型随机变量与有不同的概率密度，如果的概率密度(A) (B) (C) (D) 分析 应该选（C）如果的概率密度是偶函数，则随机变量与有相同的概率密度事实上，假设是偶函数，即，则随机变量的分布函数其中是随机变量的分布函数，因此则随机变量与有相同的概率分布选项（A），（B）和（D）中的显然是偶函数，只有选项（D）中的不是偶函数，因此只有（D）是正确选项2.44 假设随机变量X的绝对值不大于1，；在条件下，X在任意区间取值的概率与成正比求X的分布函数问X是离散型还是连续型随机变量？解 以表示X的分布函数由条件知，当时=0； ；随机变量在上取值的概率为对于，其中；于是，X的分布函数为易见，X既不是离散型也不是连续型随机变量，我们称之为离散-连续混合型随机