高考数学 26对数函数复习课件 理.ppt

第六节对数函数 结合对数的换底公式探究logab与logba logambn与logab之间的关系 提示 logab logambn logab 若mn 0 运算性质 还成立吗 提示 不一定 如 log2 2 3 log2 2 log2 3 1 2log510 log50 25 a 0 b 1 c 2 d 4 解析 选c 2log510 log50 25 log5100 log5 log525 2 故选c 2 已知函数f x lg 若f a b 则f a 等于 a b b b c d 解析 选b f x lg lg lg f x 则f x 为奇函数 故f a f a b 3 已知函数f x loga x b a 0且a 1 的图象过两点 1 0 和 0 1 则 a a 2 b 2 b a b 2 c a 2 b 1 d a b 解析 选a 函数f x 的图象过点 1 0 和 0 1 4 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的图象恒过一定点是 解析 依题意 当x 2时 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的值为2 所以其图象恒过定点 2 2 答案 2 2 5 若函数f x 2x 1 log2x 则f 4 解析 f 4 24 1 log24 16 1 2 17 答案 17 1 对数值取正 负值的规律当a 1且b 1或00 当a 1且01时 logab 0 2 画对数函数图象的几个关键点共有三个关键点 a 1 1 0 1 3 解决与对数函数有关的问题时需注意两点 1 务必先研究函数的定义域 2 注意对数底数的取值范围 4 比较对数式的大小 1 当底数相同时 可直接利用对数函数的单调性比较 2 当底数不同 真数相同时 可转化为同底 利用换底公式 或利用函数的图象 数形结合解决 3 当不同底 不同真数时 则可利用中间量进行比较 对数式的化简与求值 例1 1 计算 lg2 2 lg2 lg50 lg25 2 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 3 已知 lgx lgy 2lg 2x 3y 求 审题指导 1 本题是对对数式化简 求值 实际上是利用对数的运算法则及运算律进行运算与化简 注意公式成立的条件 2 本题已知对数值 而求指数值 实际上是指数式与对数式的互化 注意互化的公式 3 本题求对数值 实际上只要求出的值即可 自主解答 1 lg2 2 lg2 lg50 lg25 lg2 2 lg2 lg2 lg52 2lg5 2 lg2 2 2lg2 lg5 2lg5 2lg2 lg2 lg5 2lg5 2lg2 2lg5 2lg10 2 2 loga2 m am 2 又 loga3 n an 3 a2m n a2m an am 2 an 22 3 12 3 依题意可得 lg xy lg 2x 3y 2 即xy 2x 3y 2 整理得 4 2 13 9 0 解得 1或 x 0 y 0 2x 3y 0 规律方法 对数式化简求值的基本思路 1 利用换底公式及尽量地转化为同底的和 差 积 商的运算 2 利用对数的运算法则 将对数的和 差 倍数运算 转化为对数真数的积 商 幂再运算 3 利用约分 合并同类项 尽量的求出具体值 提醒 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成立 变式训练 1 若xlog32 1 则4x 4 x 2 计算 解析 1 由已知得 4x 4 x 4log23 4 log23 2log23 2 2log23 2 32 3 2 答案 对数函数的图象与性质 例2 已知f x loga ax 1 a 0 a 1 1 求f x 的定义域 2 讨论函数f x 的单调性 审题指导 1 本题求f x 的定义域 但由于在条件中已知函数的解析式 所以 在求解方法上 可以考虑函数的真数大于零 解不等式 2 本题求f x 的单调性 但由于在条件中已知函数为复合函数 所以在解题方法上 可用复合函数求其单调性 自主解答 1 使f x loga ax 1 有意义 则ax 1 0 即ax 1 当a 1时 x 0 当01时 函数的定义域为 x x 0 当0 a 1时 函数的定义域为 x x 0 2 当a 1时 设01时 函数f x 在 0 上为增函数 当0ax2 1 ax1 1 ax2 1 0 loga ax1 1 loga ax2 1 f x1 f x2 当0 a 1时 函数f x 在 0 上为增函数 综上可知 函数f x loga ax 1 在其定义域上为增函数 规律方法 利用复合函数 只限由两个函数复合而成的 判断函数单调性的方法 1 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的 2 当外函数为对数函数时 找出内函数的定义域 3 分别求出两函数的单调区间 4 按照 同增异减 确定函数的单调区间 提醒 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行 互动探究 在本例中若已知函数在 1 4 上的最大值为2 求实数a的值 解析 由例题知只有当a 1时 函数在 1 4 才有意义 又 函数f x 在 0 上为增函数且在 1 4 上的最大值为2 loga a4 1 2即a4 1 a2 解得或 舍去 a 变式训练 2011 金华模拟 已知函数f x k r且k 0 1 求函数f x 的定义域 2 若函数f x 在 10 上单调递增 求k的取值范围 解析 1 使函数f x k r且k 0 有意义 则 0 当0此时函数的定义域为 1 当k 1时 解得x r且x 1 此时函数的定义域为 1 1 当k 1时 解得 x 1或x1时 定义域为 1 2 设g x f x 在 10 上单调递增 g x 在 10 上也是单调递增的 设x1 x2 10 则有g x1 g x2 x1 x2 10 k 1 又当x 10 时 因此k 1 对数函数性质的综合应用 例3 已知函数f x x 1 求f f 的值 2 当x a a 其中a 0 1 a是常数时 函数f x 是否存在最小值 若存在 求出f x 的最小值 若不存在 请说明理由 审题指导 1 本题是求函数值 而解析式中的两个变量互为相反数 所以 在解题方法上 应考虑函数的奇偶性 2 本题探求f x 的最值是否存在 由于已知函数的解析式 在解题方法上应考虑函数的单调性 自主解答 1 由f x x 有意义得 解得 1 x 1 即该函数的定义域为 1 1 又 f x x x f x 函数f x 为奇函数 即f x f x 0 f f 0 2 任取x1 x2 1 1 且设x1 x2则f x1 f x2 易知f x 在 1 1 上是减函数 又x a a 且a 0 1 f x min f a 规律方法 1 求f a f a 的值 常常联想到函数的奇偶性 因此 解此类问题一般先判断奇偶性 再求值 2 求形如f 2012 f 2011 的值往往与函数的周期性有关 求此类函数值一般先研究函数的周期性 3 已知函数的最值或求函数的最值 往往探究函数的单调性 变式训练 已知函数f x a 0 b 0 a 1 1 求f x 的定义域 2 讨论f x 的奇偶性 解析 1 使f x 有意义 则 b 0 x b或xb或x b 2 由 1 知f x 的定义域关于原点对称 f x 为奇函数 例 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 如果存在 求出a的取值范围 如果不存在 请说明理由 审题指导 本题探究符合题设条件的实数a值是否存在 由于本题已知函数的单调性 所以在解题方法上 可从单调性入手 由单调性所满足的条件得出关于a的不等式 解不等式 规范解答 假设符合条件的实数a存在 设g x ax2 x 当a 1时 为使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 需g x ax2 x在区间 2 4 上是增函数 故应满足解得a 又 a 1 a 1 当01时 函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 规律方法 解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质 还是利用函数的性质 1 要分清函数的底数a 0 1 还是a 1 2 确定函数的定义域 无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质 都要在其定义域上进行 3 如果需将函数解析式变形 一定要保证其等价性 否则结论错误 提醒 在处理与对数函数有关的问题时 应注意底数的取值范围对解决问题的影响 以及真数为正的限制条件 变式备选 设函数f x 为奇函数 a为常数 1 求实数a的值 2 证明 f x 在 1 上单调递增 3 若对于 3 4 上的每一个x的值 不等式f x x m恒成立 求m的取值范围 解析 1 f x 为奇函数 f x f x 即即整理得 1 a2x2 1 x2 a2 1 故a 1 舍 或a 1 即a 1 2 设g x 由 0 得x 1或x 1 则g x 设x1 x2 1 则g x1 g x2 x1 x2 1 x2 x10 即g x1 g x2 即g x 在 1 上单调递减 f x 在 1 上单调递增 3 依题意知 m f x x在 3 4 上恒成立 由 2 知f x 在 3 4 上为增函数 x在 3 4 也为增函数 y f x x在 3 4 上单调递增 ymin f 3 3 m ymin m的取值范围为 m 分段函数的解题误区 典例 2010 新课标全国卷 已知函数f x 若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是 a 1 10 b 5 6 c 10 12 d 20 24 审题指导 本题求abc的取值范围 由于题设中已知f a f b f c 因此解题方法上应从去绝对值符号入手 知道对数值的和 才能出现真数的乘积 规范解答 选c 设a b c 因为a b c互不相等 且f a f b f c 由函数的图象可知10 c 12 且 lga lgb 因为a b 所以lga lgb 可得ab 1 所以abc c 10 12 故选c 误区警示 解决本题易产生以下误区 一是由f a f b f c 得出 lga lgb lgc 误认为010 二是忽视函数的整体性 直接得出lgx x 6和 lgx x 6 从而得出错误的结论 除此之外 解决此类问题还会出现以下误区 1 忽视应用数形结合的方法 使求解复杂化 2 作图时不注意分段函数的取值限制 出现错误结论 变式训练 已知函数f x log2x 正实数m n满足m n 且f m f n 若f x 在区间 m n 的最大值为2 则m n 解析 由题意得 log2m log2n 又m n log2m log2n mn 1 f x 在区间 m n 的最大值为2 log2m 2且log2n 2 m n 4即m n 答案 1 2010 浙江高考 已知函数f x log2 x 1 若f a 1 则a a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选b f x log2 x 1 且f a 1 f a log2 a 1 1 a 1 2 a 1 2 2010 山东高考 函数f x log2 3x 1 的值域为 a 0 b 0 c 1 d 1 解题提示 先求3x 1的范围 再求f x 的值域 解析 选a 因为3x 1 1 函数y log2x在 0 上单调递增 所以f x log21 0 故选a 3 2010 辽宁高考 设2a 5b m 且 则m a b 10 c 20 d 100 解题提示 先用m把a b表示出来 再代入化简 求解 解析 选a 由2a 5b m得 a log2m b log5m logm2 logm5 logm10 又 2 logm10 2 m 4 2011 汕头模拟 已知函数若f a 则a a 1 b c 1或 d 1或 解析 选d f a 当a 0时 有log2a 当a 0时 有2a a 1 一 选择题 每小题4分 共20分 1 函数y log2 x 的图象大致为 解析 选c 显然函数y log2 x 为偶函数 且当x 0时单调递增 与c选项相符 2 若f x 则f log23 a 23 b 11 c 19 d 24 解析 选d 1 log23 2 f log23 f log23 1 f log23 2 f log23 3 2log23 3 2log23 23 3 8 24 3 设f x 是定义在r上以2为周期的偶函数 已知当x 0 1 时 f x 则函数f x 在 1 2 上 a 是增函数 且f x 0 c 是减函数 且f x 0 解析 选d f x 是定义在r上以2为周期的偶函数 由x 0 1 时 f x 是增函数且f x 0 得函数f x 在 2 3 上也为增函数且f x 0 而直线x 2为函数的对称轴 则函数f x 在 1 2 上是减函数 且f x 0 故选d 4 2010 天津高考 设a log54 b log53 2 c log45 则 a a1 b a c 方法技巧 对数函数值比较大小比较对数函数值的大小问题 要特别注意分清底数是否相同 如果底数相同 直接利用函数的单调性即可比较大小 如果底数不同 不仅要利用函数的单调性 还要借助中间量比较大小 5 2010 浙江高考 设函数的集合p f x log2 x a b a 0 1 b 1 0 1 平面上点的集合q x y x 0 1 y 1 0 1 则在同一直角坐标系中 p中函数f x 的图象恰好经过q中两个点的函数的个数是 a 4 b 6 c 8 d 10 解题提示 令a 0 1 逐个确定f x 恰好经过q中两个点的函数个数 解析 选b 当a 时 f x log2 x b x 此时至多经过q中的一个点 当a 0时 f x log2x经过 1 1 0 f x log2x 1 经过 0 1 1 f x log2x 1经过 1 1 当a 1时 f x log2 x 1 经过 1 0 0 1 1 f x log2 x 1 1经过 0 1 1 0 f x log2 x 1 1经过 0 0 1 当a 时 f x log2 x 经过 0 1 0 f x log2 x 1经过 0 0 1 f x log2 x 1经过 1 满足条件的函数共有6个 二 填空题 每小题4分 共12分 6 作为对数运算法则 lg a b lga lgb a 0 b 0 是不正确的 但对一些特殊值是成立的 例如 lg 2 2 lg2 lg2 那么 对于所有使lg a b lga lgb a 0 b 0 成立的a b应满足函数a f b 表达式为 解析 lg a b lga lgb lgab a b ab 又 a 0 b 0 b 1 b 1 答案 b 1 7 已知且f 2 1 则f 1 解析 f 2 loga 22 1 loga3 又 f 2 1 loga3 1 即a 3 f 1 2 32 18 答案 18 8 2011 南京模拟 设f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x log2x 已知a f 4 b f c f 则a b c的大小关系为 用 0时 f x log2x a f 4 log24 2 c f log2 log232 因此 c a b 答案 c a b 三 解答题 每小题9分 共18分 9 已知函数f x lg 1 求证 对于f x 的定义域内的任意两个实数a b 都有f a f b f 2 判断f x 的单调性 并予以证明 解析 1 函数定义域为 x 1 x 1 1 1 对于f x 的定义域内的任意两个实数a b 都有f a f b 所以f a f b 2 f x 在其定义域上为增函数 证明如下 f x lg lg 设g x 对于任意的 10 1 x2 0 即g x1 g x2 所以f x1 f x2 因此函数f x 在其定义域上为增函数 10 2011 绵阳模拟 已知函数f x 1 求函数的定义域 并证明f x 在定义域上是奇函数 2 对于x 2 6 恒成立 求实数m的取值范围 解题提示 1 用定义证明 2 分离参数法求解 解析 1 由 0 解得x