试验5-特征值、特征向量和二次型.ppt

1 方阵的特征值 特征向量和二次型 实验目的熟悉利用MATLAB中有关方阵的迹方阵的特征值 特征向量二次型的操作方法 2 1 方阵的迹 矩阵A的迹是指矩阵的对角线上元素的和 也等于矩阵的特征值的和 命令格式为 trace A 例1 设 计算A的迹t 程序设计 A 111 2 10 101 t trace A t 1 3 例2 设 计算A的迹t 程序设计 A 8652 3221 4231 3511 t trace A t 14 4 2 方阵的特征值与特征向量 手工计算方阵的特征值与特征向量并不是一件容易的事 而用MATLAB来计算方阵的特征值与特征向量只需要一个简单的命令 这里需注意两个英文单词 eigenvalues 特征值 和eigenvectors 特征向量 理解这两个单词 对以下命令的使用是有好处的 计算方阵的特征值与特征向量的命令格式为 eig A 给出方阵A的所有特征值 5 V D eig A 给出由方阵A的所有特征值组成的对角矩阵D和特征向量矩阵V 满足A V V D 或者A V D V 1 第k个特征值对应的特征向量是V的第k个列向量 poly A 当A是n阶方阵时 给出的是A的特征多项式的n 1个按降幂排列的系数 即特征多项式 E A DET lambda EYE SIZE A A 的系数 6 例3 设 计算A的特征值和特征向量 程序设计 A 8652 3221 4231 3511 A 8652322142313511 7 eig A A的特征值ans 13 58910 94550 1191 0 6537 8 V D eig A A的特征值与特征向量V A的特征向量 列向量 0 7985 0 0957 0 65470 1876 0 30380 12300 2322 0 3533 0 3913 0 37770 7118 0 2531 0 34200 91270 10380 8809D 对角元素是A的特征值13 589100000 945500000 11910000 0 6537 9 V D inv V 验证A V D V 1ans 8 00006 00005 00002 00003 00002 00002 00001 00004 00002 00003 00001 00003 00005 00001 00001 0000 a1 V 1 特征值 1 13 5891对应的特征向量a1 0 7985 0 3038 0 3913 0 3420 10 a2 V 2 特征值 2 0 9455对应的特征向量a2 0 09570 1230 0 37770 9127 a3 V 3 特征值 3 0 1191对应的特征向量a3 0 65470 23220 71180 1038 11 a4 V 4 特征值 4 0 6537对应的特征向量a4 0 1876 0 3533 0 25310 8809 12 c poly A A的特征多项式的n 1个按降幂排列的系数c Columns1through51 1458 1 f poly2sym c 将多项式向量c表示为符号形式f x 4 14 x 3 5 x 2 8 x 9007199254740961 9007199254740992 f即为A的特征多项式 E A 4 14 3 5 2 8 1 13 例4 设 计算A的特征值与特征向量 程序设计 A 1111 11 1 1 1 11 1 1 1 11 eig A A的特征值ans 2 00002 00002 00002 0000 14 V D eig A A的特征值与特征向量V A的特征向量 列向量 0 50000 21130 28870 78870 50000 7887 0 28870 21130 5000 0 5774 0 28870 57740 500000 86600D 对角线元素是A的特征值 2 000000002 000000002 000000002 0000 15 c poly A A的特征多项式的n 1个按降幂排列的系数c Columns1through51 4016 16 f poly2sym c 将多项式向量c表示为符号形式f x 4 4 x 3 3 1125899906842624 x 2 16 x 16 f即为A的特征多项式 E A 4 4 3 16 16 16 例5 设 计算正交矩阵 使得为对角矩阵 程序设计 A 011 1 10 11 1 101 1110 isequal A A 判断A和A 是否相等 即A是否是对称矩阵ans 1 A是对称矩阵 17 Q D eig A A的特征值与特征向量满足A Q Q DQ 0 50000 28870 78870 21130 5000 0 28870 21130 78870 5000 0 28870 5774 0 5774 0 5000 0 866000D 3000010000100001 18 Q ans 0 50000 50000 5000 0 50000 2887 0 2887 0 2887 0 86600 78870 21130 577400 21130 7887 0 57740 inv Q ans 0 50000 50000 5000 0 50000 2887 0 2887 0 2887 0 86600 78870 21130 577400 21130 7887 0 57740 Q现在是正交矩阵 因为Q inv Q 19 Q A Q 得到结果Q A Q D或者A Q D Q ans 3000010000100001程序说明 当矩阵A为实对称矩阵时 V D eig A 给出由方阵A的所有特征值组成的对角矩阵D和特征向量矩阵V 这时的V已经是一个正交矩阵 20 3 二次型通过正交变换化为标准型 对任意的实二次型 其中是阶实对称矩阵 一定可以经过正交的变量替换变成标准形其中 系数是实对称矩阵的全部特征值 在MATLAB中 可以运用eig命令 计算系数矩阵的特征值矩阵和特征向量矩阵 即可得到正交变换以及二次型的标准型 21 例6 计算正交的变量替换 化二次型为标准型 程序设计 A 110 1 11 10 0 111 1011 二次型的系数矩阵 AA 110 111 100 111 1011 22 symsx1x2x3x4 变量声明 X x1x2x3x4 X conj x1 conj x2 conj x3 conj x4 f X A X 二次型f x1 x2 x4 conj x1 x1 x2 x3 conj x2 x2 x3 x4 conj x3 x1 x3 x4 conj x4 对于一个复数X CONJ X REAL X I IMAG X 即X的复共轭 23 P D eig A 计算系数矩阵A的特征值矩阵D和特征向量矩阵PP 特征向量矩阵P 0 50000 70710 00000 50000 50000 00000 70710 50000 50000 70710 0000 0 5000 0 500000 7071 0 5000D 特征值矩阵D 1 000000001 000000001 000000003 0000 24 symsy1y2y3y4 变量声明 Y y1 y2 y3 y4 Y y1 y2 y3 y4 25 X P Y 正交变换X PYX 1 2 y1 1 2 2 1 2 y2 29 144115188075855872 y3 1 2 y4 1 2 y1 5822673418478107 40564819207303340847894502572032 y2 1 2 2 1 2 y3 1 2 y4 1 2 y1 1 2 2 1 2 y2 3 144115188075855872 y3 1 2 y4 1 2 y1 1 2 2 1 2 y3 1 2 y4 f Y D Y 二次型的标准型f conj y1 y1 conj y2 y2 conj y3 y3 3 conj y4 y4 26 例7 计算正交的变量替换 化二次型为标准型 程序设计 A 422 242 224 二次型的系数矩阵A 422242224 formatshort 27 P D eig A 计算系数矩阵A的特征值矩阵D和特征向量矩阵PP 0 40820 70710 57740 4082 0 70710 5774 0 816500 5774D 2 00000002 00000008 0000 28 symsx1x2x3y1y2y3 变量声明 X x1 x2 x3 Y y1 y2 y3 X P Y 正交变换X PYX 1 6 6 1 2 y1 1 2 2 1 2 y2 1 3 3 1 2 y3 1 6 6 1 2 y1 1 2 2 1 2 y2 1 3 3 1 2 y3 1 3 6 1 2 y1 1 3 3 1 2 y3 f Y D Y 二次型的标准型f 2 y1 conj y1 2 y2 conj y2 8 y3 conj y3 29 4 二次型的正定性判定 实二次型称为正定二次型 如果对任何 都有 正定二次型的矩阵称为正定矩阵 判定二次型为正定的充分必要条件是 它的系数矩阵A的特征值全部为正 或者A的各阶主子为正 在MATLAB中 可以运用eig命令计算系数矩阵A的特征值矩阵D或者计算A的各阶主子式来进行判定 30 例8 判定二次型的正定性 程序设计 example8 mclearall 清除各种变量A 22 2 25 4 2 45 D eig A ifall D 0 fprintf 二次型正定 elsefprintf 二次型非正定 end 31 运行结果 A 22 225 4 2 45D 1 00001 000010 0000二次型正定 32 例9 利用主子式法判定二次型的正定性 程序设计 example9 mclearallA 1 121 130 3 209 6 1 3 619 c 1 33 fori 1 4fprintf 第 d阶主子式为 i B A 1 i 1 i fprintf 第 d阶主子式的值为 i det B if det B 0 c 1 breakendendif c 1 fprintf 判定的结论 二次型非正定 elsefprintf 判定的结论 二次型正定 end 34 执行的结果 A 1 121 130 3209 61 3 619第1阶主子式为B 1第1阶主子式的值为ans 1 35 第2阶主子式为B 1 1 13第2阶主子式的值为ans 2第3阶主子式为B 1 12 130209 36 第3阶主子式的值为ans 6第4阶主子式为B 1 121 130 3209 61 3 619第4阶主子式的值为ans 24判定的结论 二次型正定 37 例10 判定二次型的正定性 程序设计 example10 mclearallA 10412 42 14 12 141 c 1 fori 1 3fprintf 第 d阶主子式为 i B A 1 i 1 i fprintf 第