数学奥林匹克高中训练题(165).pdf

中 等 数 学 数令奥称吸轰高宁诚稼题 l 6 5 中圈分类号 G 4 2 4 7 9文献标识码 A文章编号 l X 5 一 6 4 盆 6 20曰 0 5 一 仪 月 O 一 肠 第 一 试 一 填空题 每小题 8 分 共 6 4分 1 数列 la b 满足 a l l b一二2 l a a bn b 3 在 v AB C 中 已知 O 为外心 三条 高 线 AD B E CF 交于点 H 直线 E 刀与 AB 交于 点M F D与Ac 交于点 N 则丽 耐 4 若随机投掷 大小不 同的三枚般子 则 其中有两枚或三枚般子上显示的数字之和是 7 的概率为 b 一 l b a obn a n 则 aZ 3 的值为 1 x 表示不超 过实数 x 的最大整数 5 计算 瓷 一 1 人 一 l 上 二 局 0C l 6 设 l 2万 3万 0 2 设 0 感a 刀 2二 a 兀 5兀 一 口 产下 二 万 且 JJ Zsi n a 一 万 Z eos a 一1 弊今 卓 co s P一 l 涯 万 J 万 其中 a b e d 任 N 0 则 eot众 月 d 则 hm 二 口 n 7 若O 口的圆心 O 到0 0 所在平面内的 劝 A E Z A B A C 由 AD 是0 0 的切线得 A D Z A C A B 由式 知AE 二 A D 三 l 易知方程两根为 63 x l 二 丽石 介 不 二丁 由题意得 m l m一l 1 2 3 6 1 3 故 m 二 2 2 由题设 知a b均是方程 xZ 一4x 2 0 的根 i a尹6 二 2万 由a 6 a b 一 2 a b 16 一 4 12 知 二 9 0 且 sv B 合 a 1 1 a 二 6二 2 一 涯 2万 由2 2 一 涯 2万 知能构成三角形 且 sv 月 二 合 2 万 了 2 万 一 万 确 1 2 万 综 上 vABc 的 面 积 为l或摊 而泛 万 邹守 文安 徽 省 南 陵 县 春 谷 中 学 24 13 X 2013 年第 5期 直线 l 的距离为 d 圆的半径为 r d r 0 则0 0 绕直线 l 旋转一周所得到 的环体 轮 胎 的体积是 8 在 v AB C 中 A B B C C A s l n 万 s l n万 m 百 s l n万 S m百 s 1 n万 sin A sin B s i n C 的最大值为 二 解答题 共 5 6分 16 分 设 a b e 0 且 a 6 c 3 求 6 6 e a abe 的最大值 1 0 2 0 分 已知抛物线尹 加 p 0 的弦 A B的长为 l l 0 求弦 AB 的中点到 y 轴距离的最小值 11 加分 已知 万几 n 任N 其中 卜 二 x 一1 x 8 x 8表示不超过实数 x 的最大整数 若数列lx 满足 四 50 设 f x a xn a x 一 a x a 是整系数多项式 其中 n e N n 为奇数 a 笋0 证明 存在正整数 m 使得f m 不是 完全平方数 参 考 答 案 第 一 试 一 1 4 用数学归纳法易证 卫一一 共 与 N a lb 16 一 二 于是 a a 且 a 4 则 aZ 3 4 m一 一 合 任 N 詹单 今李二 cos P一l 对一切不相等的正整数 m n 成立 求 p 的取 值集合 的 几 何 意 义 是 椭圆 琴 峥 1 上 的 点 一一 2艺 3 加试 一 4 0分 已知 O H 分别为 v AB C 的 外心 垂心 M 为 BC 的中点 O 为 AM的中 点 以 沌 材 为直径的0 0 与 v AB C 的外接圆 0 0 交于异于点 A 的另一点 尸 Ap 与 B C 交 于点 N 证 明 O H 土 通 材 的充分必要条件是 0 H N 三点共线 喜 l与 椭 圆 上 的 点 Ze 万 s 一 2 0 一 川一 一 一 N 2 c o s 吞 万s i n 川连线的斜率互为相反数 而直线 材浑的斜率为 嫂 应 醉二 一 夸 c ot旦 牛 卫 Z Co sa 一co s 岁夕艺 于 是 c 华 一 巩 为 定 值 乙J 又此定值 无 二1 在 点 扣宁 二 4 D 分 已 知 0 求 为椭圆冬 件二 艺 1一 j l eo s l a l 一 si n a c o s 4月 l一 51矿a 51矿 月 sin Za si n 竿 的最小值 三 50 求 n 的最大值 使得平面上有 n 个点 其 中任 意三点 中必存 在两点 间的距离 为 1 P 处 的 切 线 的 斜 率 冬 2万1 二一 二一X 二 e e 3Z 万 3 0 易知 丽 丽 灵 丽 则丽 耐 成 丽 茄 耐 中 等 数 学 二 戚 耐 苑 丽 菇 耐 丽 虎 耐 丽 二 丽 丽卜 耐 成 灵卜威 因为口是vA B c的 外心 所以 丽 丽 成 灵分别过 线段A B Ac 的 中 点 故式 的值为0 35 毛万 记A 二1三枚般子均不出现 i二1 2 6 由容斥原理得 I A I门A o l 二IA 一 U A o l 二6 一 IA I A6 一IA n A6I 二 63 一 5 5 一 4 30 同理 A n A 51二IA 3n 通 41二 30 于是 恰有两枚般子上显示的数字之和 是 7 的总数为 IA I 门A 6 I IA Z 门A sl IA 3 n A I 二9 又 7 l 2 4 二l l 5 l 3 3 2 2 3 故三枚般子上显示的数字之和是 7 的总数为 A 3e 二 15 万 6 华 一 6 令孟 二 l 2万 3万 人二 l一 2万 3万 凡二 1 2万 一 3万 人二 1一 2涯 一 3万 则 又 11 人 l 凡l I 人日 几 乎 故 竺 孔访 0 2 3 4 又片二 a b 万 e 万 d 派 弋二 a 一 b 万 e 万 一 万 弋二 b 万 一 c 万 一 d 万 弋 a 一 b 涯 一 c 万 d 万 一气解 鲜 心 心 心 六 凭 一 不不一 去 凭 专 二 少巴4 r 玉 鱼 鲜 弋一 弋一 心 l i m 丛 弋 所以 7 2矛 a几 产 d 于是 所求的概率为 5 0 15 9 35 6 3一72 记 一刁 一 0 之 而丝 1 2竺 土 工 丝土 1 呈 生 二 些 幼 0 C数C公 止 C魏 片一 c之 一 一 a 名 一 Z n 一k C 2 盖 1 2几 构造一个底面半径为 r 高知 耐的回柱 取四分之一圆柱 且将其倒下来 再取环 体的一半 然后用一个到底面的距离为 h 的 平面截这两个几何体 其环体的截面面积为 s 二 二 r 一 片 4耐石乏 万平 其中 几 d 石叮石 丁 r d一丫 于 r平 四分之一圆柱的截面面积为 s二 4耐价 一 矿 利用祖啦原理得环体的体积为 作求和指标变换 l二 2 n一 k 一1 则 20 一l 又 一 几 J 一工 去二0 二 习 一 l 一k 盖一 一 a r 二 合 阶扮 4 二 2 r z d 万 0 二 6 在 v A B C 中有恒等式 互心 一讨住 j一C 故 a 二 二 A ta ll 二 一Z t an Z 0 一一 上味 一 川公 20一 3 年第 5 期 其中 艺 0 表 示轮 换对 称和 二 七 一 勿 一 恤 知 枷一 即 加 B 一 2 n A 一 2 n 名 则 二 又 s t o 二 s in二 土 立瓜 工丽 I 二丫2 一 2 一 2 一 2 丫一 2 一 2 才召 们f注刃 山 了哪 刘 叭画 了吻 刘 故 一 分彩输 尹 l l 2却 则 一 分百又兴 万 一 2 灿 一 2 翻 自甲 1 尺 二 二7了 乙八 sl n A sln 廿 一yZ 尸 2 矿 之 补 s 尹 p 2 二 厘亘 二 如 勺jo一 丑 2 于是 又下 A B n 了 n 万 习s inA 返 一6当且仅当 y 二 士 柯翻 上 式 等 当 且 仅 当 二 二 二 晋 时 等号成立 二 不妨设 a b鉴 或 c b a 则 b 一a b 一e 0 幼 bZe eZa 蛋ab c eZb 劝 aZb bZe 矛a ab c aZb 矛b Zab c 二b a e 2 3 一 6 2 号成立 故 x 一 互 望 2 0 l 夺 则 二 二 杀 蔡一 冬 二 尹 2二 pZ 却 一 8t2 一 易知 此函数在 矿 a o 上是递增函 数 二 风 即 0 X 二 爵 1 IZ b 3 一b 3 一b 3 蛋 二 l二4 Z JI 综上 知当 l 2知 时 上卫 当 0 l 尸 六 爪 neN m n 假 设 汤一 簇 六 若0 汤一 众 则 n 汤 n 二 六 n 0 引2衬一 n l I 二 兴 弃 刃味一J 刀蕊 二9m2镬l 6 l 6涯谕 2 二今 爪二 但 万 一 l 万 一 奇 与 假 设 矛 盾 若 0 一 万 爪 六 则 2 万 二 n 汤二 六 2涯 m 一 m0 命 瞥 二 令爪 二1 同理 与假设矛盾 综 上 万 一 共 任 N m 成立 故I 二 一 x l 二一 万 一 无 一 万卜 无 万 l l 环不面 于 是 m一 一 合 又 珑 一 阅 0 进而 当 x 一a o 时 f x 一a o 故存 在负整数 r 使得f r 0 令 g x f x r 则 g 0 f r 0 记 g 二 a x b 一x 0一 b x bo 其中 g x e z x b 一 r g m f m r 是一个完全平方数 下面证明 b 是完全平方数 否则 存在正奇数 a 及质数p 使得 尸 a b 令 m 尸 十 l lrl 则 g m 是一