高考数学总复习 第6单元第1节 数列的概念与简单表示法课件 文 苏教版.ppt

第六单元数列 第一节数列的概念与简单表示法 基础梳理 1 数列的概念 1 按照一定 排列的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 2 数列的一般形式可以写成 简记为 其中a1称为数列的第1项 或称为首项 a2称为第2项 an称为第n项 次序 项 2 数列的分类 1 根据数列的项数可以将数列分为两类 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 a1 a2 a3 an an 有限 无限 2 按照数列的每一项随序号变化的情况分类 递增数列 从第二项起 每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第二项起 每一项都 它的前一项的数列 常数列 各项 的数列 摆动数列 从第2项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 3 数列与函数的关系从函数观点看 数列可以看成以n 或它的有限子集 1 2 k 为定义域的函数an f n 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值 反过来 对于函数y f x 如果f i i 1 2 3 n 有意义 那么我们可以得到一个数列 大于 小于 相等 f 1 f 2 f 3 f n 4 数列的通项公式如果数列 an 的 可以用一个 来表示 那么这个公式叫做这个数列的 5 递推公式如果已知数列 an 的首项 或前n项 且 的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做数列的递推公式 6 数列的简单表示法 第n项与序号n之间的关系 公式 通项公式 的前一项an 1 或前几项 间 任一项an与它 列举法 列表法 解析法 图象法 基础达标 解析 根据数列的定义与集合定义的不同 可知 不正确 对于 2n 中的n n 故不正确 中an ak 1 正确 解析 由a1 0和an 1 可以计算a2 a3 a4 0 a5 以此类推 a20 a2 解析 an sn 9 n 99 5 函数f x 定义如下表 数列 xn 满足x0 5 且对任意的自然数均有xn 1 f xn 则x2011 解析 x0 5 x1 f x0 f 5 2 x2 f x1 f 2 1 x3 f x2 f 1 5 x4 f x3 f 5 2 xn的值周期t 3 则x2011 x670 3 1 x1 2 经典例题 4 1 0 1 0 题型一数列的概念及通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式 1 3 5 9 17 33 2 2 8 分析分析各项的特点 找出规律 归纳出结论 然后再进行验算 从而得出答案 解 1 中3可看作21 1 5可看作22 1 9可看作23 1 17可看作24 1 33可看作25 1 所以an 2n 1 2 每一项的分母都是2 分子是相应项数的平方 所以an 3 偶数项为负而奇数项为正 故通项公式必含因式 1 n 1 观察各项绝对值组成的数列 第2项 1 从第1项到第6项可知 分母分别由奇数3 5 7 9 11 13组成 而分子则是12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 按照这样的规律 此数列可改写为所以an 1 n 1 4 数列中的1可看成 而0可看成即an 5 数列中偶数项均为0 奇数项的符号正负相隔 则想到用正弦 余弦函数来调整 若数列为1 0 1 0 1 0 则可用an sin来表示 所以数列1 0 0 0 的通项公式为an 变式1 1 解 1 令 0 98 解得n 7 n 故0 98是此数列的项 2 an 1 an an 1 an 此数列是递增数列 题型二由递推公式求通项公式 例2 根据数列 an 的首项和递推公式 写出数列的前5项 并归纳出通项公式 1 a1 0 an 1 an 2n 1 n n 2 a1 1 an 0 n n 且 n 1 an 12 nan2 an 1 an 0 n n 分析由首项和递推公式计算出前5项 分析各项特点 找出规律 归纳出通项公式 解 1 a1 0 a2 a1 2 1 1 1 a3 a2 2 2 1 4 a4 a3 2 3 1 9 a5 a4 2 4 1 16 由a1 1 1 2 a2 2 1 2 a3 3 1 2 a4 4 1 2 a5 5 1 2可归纳出an n 1 2 2 a1 1 an 0 n n 1 1 a2a1 0 a2 1 0 a2 2 1 2 a3a2 0 3 a3 0 6 a3 1 0 a3 3 1 3 a4a3 0 4 a4 0 12 a4 10 a4 4 1 4 a5a4 0 5 a5 0 20 a5 1 0 a5 由上面的结果可归纳出an 2011 南通调研 已知数列 an 满足 a1 2 an 1 n 2 3 4 若数列 an 有一个形如an asin n b的通项公式 其中a b 均为实数 且a 0 0 题型三利用数列的前n项和公式求通项 例3 已知下面数列 an 的前n项和sn 求 an 的通项公式 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n b 分析当n 2时 由an sn sn 1求出an 再验证当n 1时 a1 s1是否适合上式 解 1 a1 s1 2 3 1 当n 2时 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此等式 故an 4n 5 2 a1 s1 3 b 当n 2时 an sn sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 所以当b 1时 an 2 3n 1 当b 1时 题型四数列与函数综合 例4 2011 扬州中学高三上学期期中考试 已知函数f x 5 数列 an 满足 a1 a an 1 f an n n 1 若对于任意n n 都有an 1 an成立 求实数a的值 2 若对于任意n n 都有an 1 an成立 求实数a的取值范围 分析 1 由an 1 an可推出an 1 an a1 a 再结合an 1 f an 可列出关于a的方程 2 结合an 1 f an 列出不等式求解 解 1 由题意得an 1 an a a 得a 2或3 检验符合 2 设an 1 an 即 an 解得ana1成立 则a1 0或2 a1 3 当a1an