对数学素质教育的认识与实践.doc

对数学素质教育的认识与实践高志国 1第五项修炼之五 系统思考 系统的观点告诉我们，要了解重要的问题，我们的眼界必须高于个别事件，个别疏失。必须深入了解影响个别行动背后的结构。数学素质的基础是数学的知识与数学思维能力，数学素质的核心是数学思维能力与数学价值观。高品位的数学思维能力产生于准确系统的数学知识，又反过来促进对数学知识的准确把握。能力体现在解决数学问题的思维活动中，是素质的外显形式。能力越强素质越高。因而，如何引导学生学习和掌握数学知识，怎样指导学生把知识升华为数学能力，就成为搞好数学素质教育的关键。本文想就此谈一下笔者的做法，以期抛砖引玉。一、数学知识与数学能力的再认识既然数学素质的基础是数学知识与数学能力，那么我们应该怎样来正确理解数学的知识与能力呢？为此，让我们先看一下加涅的信息加工心理学对知识与技能的分类。学习结果分类 信息加工心理学知识分类言语信息 陈述性知识智慧技能 程序性知识认知策略 策略性知识动作技能 程序性知识态度 由上表可知，R加涅的言语信息也就是信息加工心理学中的陈述性知识。实际上，我们平常所用的知识概念就是指的陈述性知识。在此，笔者想把数学的基础知识概念仅仅界定为数学的定义、定理、公式、公理、推论、法则等教材上用重黑字给出的文字表述部分。加涅认为，认知策略这种特殊的智慧技能则是运用概念和规则对内调控的能力。而且，智慧技能并不是单一的形式，由简单到复杂，智慧技能包括四个层次。最简单的智慧技能是辨别，即区分物体的差异的能力。较高一级的智慧技能是概念，即对同类事物的共同本质特征的认识。因此而有对事物做出分类的能力。再上去是规则。当规则支配人的行为时，我们便说，人在按规则办事。这就是技能的本质。最高级的智慧技能是高级规则，它是由许多简单规则构成的。高级规则的学习以简单规则的学习为前提，简单规则的学习又以概念学习为前提，概念学习以辨别学习为前提。这就是加涅提出的著名的智慧技能学习的层次论。根据上述观点，笔者把数学思维能力界定为：运用数学基础知识对内调控的能力。根据上述对数学基础知识与数学思维能力的界定，下面笔者谈一下，在推行数学素质教育过程中的做法。二、推行数学素质教育的做法1、指导学生学习概念的尝试加涅的智慧技能的层次论指出，概念学习以辨别学习为前提。根据这一观点，在指导学生学习概念的过程中，将着重点放在如何辨别一个概念与和它相关、相似的概念的区别上。这样做，既利于看到数学知识发展的来龙去脉，又利于把知识网络化，更利于学生把新知识纳入原有的认知结构中，从而培养出学生获取新知识的能力。例如，在指导学生学习棱台的概念时，棱台的定义（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台）给出了棱台的概念是由棱锥的概念发展而来的，体现了新旧知识间的联系；特征是两个底面平行且两平行平面间的棱不平行，而且这些不平行的棱延长后是相交于一点的。在此基础上提出：“怎样判断一个几何体是否是棱台呢？”学生将会很容易给出答案：将两平行平面间的棱延长以后，看是否交于一点就可以了。然后再继续启发学生思考：“这个答案中蕴含了一种什么数学思想？”“是不是把棱台化归成了棱锥？”“是化归思想。”这样指导学生学习数学概念，不但可以培养出学生获取新知识的能力，而且可以使学生获取隐藏在知识深处的数学思想，从而使学生的数学素质得到提高。2、培养学生数学思维能力的尝试加涅认为，一般的智慧技能是运用概念和规则对外办事的能力，认知策略这种特殊的智慧技能则是运用概念和规则对内调控的能力。根据加涅的这一观点，笔者在培养学生的数学思维能力方面做了如下尝试。在学生掌握好概念与规则的基础上，如何引导启发学生去探索捕捉概念与规则内在的趋动思维变化的动力，才能发展成为对内调控的能力呢？例如，在指导学生学习直线与平面所成的角的概念时，让学生回答它的取值范围时，学生往往认为是（0，90）这样一个开区间。有素养的数学教师对学生出现这样的错误，都会认为这是使学生掌握好概念并把概念升华为能力的最佳契机。至此，笔者马上发问：“直线在平面内或与平面平行，直线与平面有没有夹角？如果有，规定为多少度？”学生马上说：“有，是0”。又问：“直线与平面垂直时，直线与平面有没有夹角？如果有，是多少度？”学生马上回答说：“有，是90。”“那么，这样说，直线与平面所成角的概念应该分几种情况给出？”学生很自然地回答应该分三种情况给出。于是，水到渠成，学生就会清楚地认识到直线与平面所成角的概念是一个分类定义的概念，即（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角（直线与平面斜交）；（2）一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角（直线与平面垂直）；（3）一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0 的角（直线在平面内或与平面平行）。然后，我又接着问：“直线与平面所成的角的范围还是0到90度这个开区间吗？”学生高兴而确切地回答：“不是。是闭区间。”然后，紧接着启发学生，如果以后我们遇到直线与平面所成的角这个名词，我们就应当分几种情况进行思考？分三类。这种思维方式该叫什么思维？叫分类思维。分类思维是我们头脑里固有的吗？不是。是由哪里产生出来的？是由概念里产生出来的。接着，就让学生做了课本33页的习题9。学生分三种情况做得很好。至此，学生既深刻地掌握了直线与平面所成角的定义，又牢固地掌握了它的取值范围，同时，学生捕捉到了隐藏在此概念内趋动数学思维的动力，从而把数学的概念升华成了数学思维能力，也就是使学生把数学知识转化成了对内调控的能力。需要说明的是，对于立体几何第33页的习题9，在教学参考书的第43页到第44页所作的答案仅仅给出了直线与平面4斜交时的一种情况，没有体现出分类思维这一精髓，是不全面的。3、培养学生创新能力的尝试在指导学生把数学知识转化为对内调控的能力过程中，笔者发现，数学知识内在的推动数学思维发展变化的动力，具有鲜明的创新特征。为此，笔者把这种能力界定为数学的创新能力。经过反复地探索与实践，笔者认为，只有指导学生通过具体的探索、发现数学基础知识内蕴含的创新规律性，才能真正培养出学生求真（真：事物发展变化的规律性）的品质与创新能力。例如，最近在指导学生学习平均不等式时，当给出了定理（ n个非负实数的算术平均数不小于它们的几何平均数）以后，指出这是平均不等式的一般表达式，由一般我们应该想到什么？学生马上回答：特殊。那么就请同学们把n=2，n=3，n=4，n=5时的表达式写出来吧。当学生顺利写出这些结果后，引导学生思考：是什么样的思维规律推着我们推出了这些结果呢？是由一般到特殊的思维规律。很明显，这一思维规律推动了数学知识的发展与创新，是一种创新规律。这样就具体地体现了如何求真与创新的具体操作过程，使学生体验到了求真与创新的快乐。另外，在指导学生学习数学的过程中，还结合相应内容强调了以下几种推动数学知识发展变化的规律：分类思维规律；由特殊到一般的规律；类比猜想与证明的规律；相对思维规律；互逆思维规律；两面神思维规律；举一反三规律；综合推陈出新规律等等。在顺义一中给学生上课不到一周，在创新规律对内调控的作用下，就产生了创新的荫芽在指导学生学习不等式的性质3时，有两位女生根据互逆思维规律提出了这样的问题：“aba+mb+m是成立的，那么，由右边能不能推出左边？”我反问：“你说能么？如果能，用什么样的方法推出结果来呢？”她们沉思了一会儿又用眼睛望着我，我说：“用最基本的比较法行不行？”她们马上高兴地说：“行。谢谢老师”。“你们可以把它写成一篇小论文投出去。”她们满怀喜悦地跑走了。这一问题虽然并不高深，但我国的教科书上历来都是给出由左边推出右边的充分条件，但从来没有指出过这是一个充要条件。而这个问题却被两个高中生提出来了，难道这不是很了