实验三 一元函数积分学.ppt

实验三一元函数积分学 实验目的 加深理解定积分的概念 深入理解积分理论中分割 近似 求和 取极限的思想方法 初步了解定积分的近似计算方法 定积分的概念 由定义计算定积分在定积分的定义中 划分积分区间的方法与在每个小区间上取的点都是任意的 如果当分划的每个小区间长度的最大值趋于0时 它的黎曼和存在极限 此极限值即为我们所定义的一个函数在一个指定区间上的定积分 实验1利用定义计算积分 下面的程序在区间 0 1 中插入n 1个分点 可以均匀的产生 也可以借助随机数产生 在一定意义下取得了任意分点与任意的计算即可求得的近似值提高精度的方法是增加分点 近似生成随机区间分点 实验1利用定义计算积分 Clear f x f x x 2 a 0 b 1 n 20 Array x 641 x 0 a For k 1 k 6 k x n b s 0 Do x i i Random b a n i 1 n 1 For i 0 i n i delxi x i 1 x i c x i delxi Random s s f c delxi Print n n s s n n 2 指定区间 a b 及初始区间数 预先生成能保存最多区间分点的数组 每个小区间的长度 每个小区间内随机取值 累加求和 注意保存和的变量要进行初始化 分点加密 再计算 分划细分k次 实验1利用定义计算积分 由于分割的任意性及的任意性 即使n固定 每次运行所得的结果也可能不同相同的n计算多次时数据都不完全相同 但它们之间的差异不大 练习1利用定义计算 从图形观察积分和与定积分的关系 定积分在几何上表示由曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积积分和在几何上表示n个小矩形的面积和 其中第i个小矩形的高为 宽为实验2从图形上观察的积分和与定积分的关系 从图形观察积分和与定积分的关系 解设曲边梯形由y sinx y 0 x Pi 2为界 采用分划的方法 用小区间上矩形的面积来逼近曲边梯形的面积 当分划越来越细时 得到的小矩形面积之和与曲边梯形的面积S之间的差越来越小 当每个小区间缩向一点时 误差的极限为0 Clear i n a b Clear f c d x s regularpartition a b n P Block i Table N a b a i n i 0 n randompartition a b n P Union Table Random Real N a N b n 1 N a N b s f c d x choice If cIdentity two Block i x Plot Release Table s f Union N P i Union N P i 1 x choice i Length P 1 x Min N P 0 1 Max N P 0 1 PlotRange All PlotPoints 50 DisplayFunction Identity Block x Show two one PlotLabel ToString Length P 1 分划最大分划 ToString N Norm P If Chop ear f P choice 0 无误差 误差 ToString ear f P choice PlotRange All DisplayFunction DisplayFunction Do viewapprox Sin regularpartition 0 Pi 2 n 0 5 n 2 6 viewapprox Sin randompartition 0 Pi 16 1 Do viewapprox ArcTan randompartition 0 Pi 2 n 1 n 2 6 Clear i n a b Clear f c d x s regularpartition a b n P Block i Table N a b a i n i 0 n randompartition a b n P Union Table Random Real N a N b n 1 N a N b s f c d x choice If c x d f 1 choice c choice d 0 riemann f a b n choice N b a Sum f 1 choice a i 1 b a n choice a i b a n i 1 n n arbitraryriemann f P choice Block i Sum Union N P i 1 Union N P i f 1 choice Union N P i choice Union N P i 1 i 1 Length P 1 生成均匀的区间分划 生成非均匀分划 计算f在小区间的取样点上的值 计算均匀分划的黎曼和 计算非均匀分划的黎曼和 er f a b n choice Abs NIntegrate f x x a b riemann f a b b choice ear f P choice Block x Abs NIntegrate f x x Min N P Max N P arbitraryriemann f P choice viewapprox f P choice one Block x Plot f x x Min N P 0 1 Max N P 0 1 DisplayFunction Identity two Block i x Plot Release Table s f Union N P i Union N P i 1 x choice i Length P 1 x Min N P 0 1 Max N P 0 1 PlotRange All PlotPoints 50 DisplayFunction Identity 均匀分划下黎曼和与定积分值之误差 非均匀分划下黎曼和与定积分值之误差 图形显示 Do viewapprox Sin regularpartition 0 Pi 2 n 0 5 n 2 6 viewapprox Sin randompartition 0 Pi 16 1 Do viewapprox ArcTan randompartition 0 Pi 2 n 1 n 2 6 在区间 0 Pi 上图示均匀分划下Sinx的黎曼和 从4个区间细分到64个区间在区间 0 Pi 上图示非均匀分划下Sinx的黎曼和 16个子区间在区间 0 Pi 上图示非均匀分划下ArcTanx的黎曼和 从4个区间细分到64个区间 3 1 2从图形观察积分和与定积分的关系 N 4 N 16 N 8 N 64 N 32 3 1 2从图形观察积分和与定积分的关系 练习2从图形上观察 3 1 3用定义计算定积分的简化 设函数f x 在每个小区间 xi 1 xi 上有最值 分别记为Mi 最大值 和mi 最小值 则有定义上积分下积分若用积分和近似积分值 其产生的误差不超过上 下积分和之差 当时 和的极限存在且相等 则S的极限即定积分也存在 且等于上积分或下积分的极限 3 1 3用定义计算定积分的简化 实验3利用上积分和 下积分和计算函数f x 3x 2在区间 0 1 上是单调增加的 故在每个小区间 xi 1 xi 上 最大值Mi f xi 最小值mi f xi 1 于是实验结果表明 只要分割点充分多 上和与下和的差可任意小 Clear f x a b f x 3x 2 a 0 b 1 n 0 g1 Plot f x x a b PlotStyle RGBColor 1 0 0 For j 3 jToString N supper slower a1 approximationis ToString supper slower 2 aa a0a1 g2 Graphics Text aa 0 5 3 1 Show g1 g2 tt1 tt2 DisplayFunction DisplayFunction Clear f x a b f x 3 x 2 a 0 b 1 n 500 For j 10 j 1000 j 2 n j supper 0 slower 0 For i 0 i n i x1 a b a i n x2 x1 b a n supper supper f x2 n slower slower f x1 n Print whenthenumberofsub intervalis n approximationis supper slower 2 supper slower N supper slower 3 1 3用定义计算定积分的简化 当定积分存在时 所有任取的积分和当 0时的极限都相同 此时可以选择较简单的划分与简单的一般地 将区间等分 且让小区间的某端点作为这样积分和便成为或 3 1 3用定义计算定积分的简化 实验4用上两式计算定积分因为被积函数f x x在 0 M 上单调增加 故上两式确定的分别是积分的下积分和与上积分和 3 1 3用定义计算定积分的简化 Clear f x n 3 k 50000 a 0 f x x n For M 1 M 11 M b M s Sum f a b a i k b a k i 1 k s1 Sum f a b a i 1 k b a k i 1 k e Abs s s1 Print M s s1 e s s1 2 3 1 3用定义计算定积分的简化 M上和下和 上和 下和 上和 下和 210 500010 499990 000020 522 000041 999960 000082 34 500094 499910 000184 548 000167 999840 000328 512 500312 49980 000512 5618 000417 99960 0007218 724 500524 49950 0009824 5832 000631 99940 0012832 940 500840 49920 0016240 51050 00149 9990 00250 3 1 3用定义计算定积分的简化 从计算的结果可得 若用上积分和与下积分和的均值作为定积分的近似值 结果会更合理将第一列的M值平方 将得到1 4 16 64 100 这些值刚好是最后一列相应数的两倍 也即最后一列数与第一列数之间近似满足 3 1 3用定义计算定积分的简化 练习3当M为一般实数时 近似计算定积分并验证近似值与M之间是否满足函数关系练习4用积分和近似计算定积分 其中n为自然数 将结果填入下表中 并寻找近似值与参数M n之间的函数关系 练习5用积分和计算定积分 将结果填入下表 并寻找积分值与n之间的关系 实验5画出变上限函数及函数的图形f1 x Integrate t Exp t 2 t 0 x f2 x x Exp x 2 g1 Plot f1 x x 0 3 PlotStyle RGBColor 1 0 0 g2 Plot f2 x x 0 3 PlotStyle RGBColor 0 0 1 Show g1 g2 Integrate Integrate f x 计算不定积分Integrate f x min max 计算定积分NIntegrate f x a b 求数值积分 3 2定积分近似计算的梯形法 在数值计算中 用前面的两个公式近似定积分的方法称为矩形法 这是因为这两个式子在几何上表示一些矩形面积的和 或者说在小区间上用常数近似函数 可不可以将小区间上的函数近似认为是线性函数呢最简单的方法是用连接函数在小区间两个端点处的值的线段构成的梯形的面积来近似曲边梯形的面积 3 2定积分近似计算的梯形法 在近似计算中常用下式来计算定积分它是与的和 3 2定积分近似计算的梯形法 实验6用梯形法近似计算定积分 3 2定积分近似计算的梯形法 f x Exp x a 0 b 1 s0 1 s1 0 n 20 m 6 While Abs s0 s1 10 m s1 s0 s0 N Sum f a i b a n b a n i 0 n 1 Sum f a i b a n b a n i 1 n 2 n n 2 Print s0 s0 思考一下这里的While循环的循环条件的含义 3 2定积分近似计算的梯形法 练习6提高计算精度 加密分点 根据结果归纳分析与e之间的关系练习7用梯形法近似计算定积分 分析结果与Pi的关系 3 3定积分的应用 实验7平面曲线所围成图形的面积设和计算区间 0 4 上两曲线所围成的平面图形的面积 实验8平面曲线所围成图形的面积 Clear f g f x Exp x 2 2Cos Pix g x 4Cos x 2 Plot f x g x x 0 4 PlotStyle RGBColor 1 0 0 RGBColor 0 0 1 FindRoot f x g x x 1 06 FindRoot f x g x x 2 93 NIntegrate g x f x x 1