【优化方案】高考数学总复习 第6章§6.7数学归纳法精品课件 理 北师大版.ppt

6 7数学归纳法 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 6 7数学归纳法 双基研习 面对高考 1 数学归纳法数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法 若n0是起始值 则n0是 2 用数学归纳法证明命题的步骤 1 当n 时 验证命题成立 双基研习 面对高考 正整数 使命题成立的最小的正整数 n0 2 假设当n k k n0且k n 时命题成立 推证n 时命题也成立 从而推出命题对于所有的 成立 其中第一步是 第二步是 二者缺一不可 思考感悟数学归纳法的第一步是验证 那么对于任何命题都是验证n 1时命题成立吗 提示 不一定 要看题目中n的要求 如证当n 3时命题成立 则第一步应验证n 3时命题成立 k 1 从n0开始的所有正整数n 归纳奠基 归纳递推 1 教材习题改编 用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 2 1 n n 的过程中 在验证n 1时 左端计算所得的项为 a 1b 1 2c 1 2 22d 1 2 22 23答案 c 答案 d 答案 b 5 2011年黄山模拟 已知整数对的序列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 则第60个数对是 答案 5 7 考点探究 挑战高考 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题是数学归纳法应用的常见题型 其关键点在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 同时 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用归纳假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 思路点拨 本题是一个与正整数n有关的命题 直接证明有困难 可考虑用数学归纳法 名师点评 用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n k 1时命题成立 从n k 1的待证的目标恒等式 或不等式 的一端 拼凑 出归纳假设的恒等式 或不等式 的另一端 再运用归纳假设即可 同时 还要注意待证的目标恒等式 或不等式 的另一端的变化 即用 k 1 代替恒等式或不等式中的所有的 n 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立得n k 1成立 主要方法有 放缩法 利用基本不等式法 作差比较法 综合法 分析法等 思路点拨 本题考查利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式 合理运用归纳假设后 向目标靠拢的过程中 可以利用证明不等式的一切方法去证明 名师点评 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 再用数学归纳法证明 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 名师点评 数学归纳法是高中重要的证明方法 在高考中常与其他知识相结合 尤其与数列中的归纳 猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查 证明时要灵活应用题目中所给出的已知条件 充分考虑 假设 这一步的应用 不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法 变式训练2在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 求a2 a3 a4与b2 b3 b4的值 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 方法技巧1 利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明 如例3 2 利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题 如例1 3 利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题 如例2 4 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤 要做到 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 因此必须注意以下三点 1 验证是基础数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数 这个正整数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题 2 递推乃关键 数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程 必须把归纳假设 n k 作为条件来导出 n k 1 时的命题 在推导过程中 要把归纳假设用上一次或几次 3 寻找递推关系的方法 在第一步验证时 不妨多计算几项 并争取正确写出来 这样对发现递推关系是有帮助的 探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律 观察n处在哪个位置 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 中的最后一项 除此之外 多了哪些项 少了哪些项都要分析清楚 如例3 失误防范1 数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题 2 严格按照数学归纳法的三个步骤书写 特别是对初始值的验证不可省略 有时要取两个 或两个以上 初始值进行验证 初始值的验证是归纳假设的基础 3 注意n k 1时命题的正确性 4 在进行n k 1命题证明时 一定要用n k k n 时的命题 没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法 考向瞭望 把脉高考 数学归纳法在高考中的考查重点是证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题 其中用数学归纳法证明与数列有关的命题是高考的热点 题型为解答题 主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力 同时考查学生分析问题 解决问题的能力 难度中 高档 预测2012年高考可能以与数列有关的等式或不等式的证明为主要考点 重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力 本题满分12分 2010年高考江苏卷 已知 abc的三边长都是有理数 1 求证 cosa是有理数 2 求证 对任意正整数n cosna是有理数 当n k 1时 cos k 1 a cosa coska sina sinka 8分sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 由 和归纳假设 知cos k 1 a与sina sin k 1 a都是有理数 即当n k 1时 结论成立 10分综合 可知 对任意正整数n cosna是有理数 12分 名师点评 本题易失误的是 归纳假设使用不当致误 没有证明sina sinna或sina sina为有理数 直接应用致误 步骤不全 造成失分 已知 x 1 n a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 an x 1 n 其中n n 1 求a0及sn a1 a2 a3 an 2 试比较sn与 n 2 2n 2n2的大小 并说明理由 解 1 取x 1 则a0 2n 取x 2 则a0 a1 a2 a3 an 3n sn a1 a2 a3 an 3n 2n 2 要比较sn与 n 2 2n 2n2的大小 即比较3n与 n 1 2n 2n2的大小 当n 1时 3n n 1 2n 2n2 当n 2 3时 3n n 1 2n 2n2 猜想 当n 4时 3n n 1 2n 2n2 下面用数学归纳法证明 由上述过程可知 当n 4时结论成立 假设当n k k 4 时结论成立 即3k k 1 2k 2k2 两边同乘以3 得3k 1 3 k 1 2k 2k2 k2k 1 2 k 1 2 k 3 2k 4k2 4k 2