高中数学复习专题讲座 关于求空间的角的问题.doc

高中数学复习专题讲座关于求空间的角的问题高考要求 空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳 空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 090方法 平移法；补形法 2 直线与平面所成的角 范围 090方法 关键是作垂线，找射影 3 二面角方法 定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算 注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4三种空间角的向量法计算公式：异面直线所成的角：；直线与平面(法向量)所成的角：；锐二面角：，其中为两个面的法向量。典型题例示范讲解 例1在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求证 四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角 命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、E、D、F四点共面 技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)证明 如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形 BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形 AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形 (2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos 另法（向量法） 如图建立坐标系，则故AC与DE所成角为arccos (3)解 ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos 另法（向量法） ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，如图建立坐标系，则，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (4)解 如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心 作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin 另法（向量法） 如图建立坐标系，则，所以面ABCD的法向量为 下面求面BEDF的法向量 设，由 故面BEDF与面ABCD所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120 求 (1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值 命题意图 本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题 知识依托 向量的加、减及向量的数量积 错解分析 注意=,=120而不是60,=90 技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用 BD1与AC所成角的余弦值为 例3如图，为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角 (1)求证 MN分别与、所成角相等；(2)求MN与所成角 (1)证明 作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA 在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA 在RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)结论成立 (2)解 设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=