北师大版七年级上数学第三章字母表示数学习笔记.doc

第三章字母表示数1字母能表示什么学法导引回忆以前学过的公式和运算律，加法交换律可以表示成abba，这里a、b分别表示两个数，因此数和字母是个别和一般的关系，即字母可以表示任意数课堂上动手用火柴棒摆一摆，边摆边思考，进而找到图形的数量变化与火柴棒数量变化的规律思维整合解析重点经历探索过程，体会字母表示数，形成初步符号感【例】如下图311，搭一个正方形需要4根火柴棒按上图的方式，搭2个正方形需要_根火柴棒，搭3个正方形需要_根火柴棒（1）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？（2）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？解析本题对第（1）问还可以画出火柴棒的根数；但对第（2）问，数数的方法失效，若正方形的数目再大，数火柴棒的方法更不可行若能找出正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系，问题将迎刃而解用x表示正方形的个数，用不同的方法给出火柴棒的根数的表达式第一个正方形用4根，每增加一个增加3根，若搭x个正方形，则增加3（x1）根，故火柴棒的根数可表示为：43（x1）把每一个正方形都看成4根火柴棒搭成的，然后再减去多算的根数，x个正方形所需的根数即为：4x（x1）把每一个正方形看成3根火柴棒搭成的，然后再加上最后一根，这样，x个正方形所需的根数为：3x1当搭100个正方形，即x100时，上述三种做法算得火柴棒都是301根解搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒（1）搭10个这样的正方形需要31根火柴棒（2）搭100个这样的正方形需要301根火柴棒，方法为：31001301（根）（3）搭x个这样的正方形需要（3x1）根火柴棒点拨用字母表示数，简洁明了地表示了正方形个数与火柴棒根数之间的关系剖析难点探索过程中，找不到规律或不能用字母把找到的规律正确表达出来【例2】如图315是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图；再分别连结图中间小三角形三边的中点，得到图（1）图、图、图中分别有多少个三角形？（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？因此第n个图形中三角形个数为14（n1），即4n3解（1）1，5，9；（2）4n3点击易错点不能把找到的规律用字母表示出来【例3】图中的各个图形是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个端点）有n（n1）盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断S与n的关系式是_错解S3n错解分析由于每条边上都有n盆花，共有3条边，便直接用3和n相乘，而忽略了端点处3盆花各重复了一次，应再减3正解S3n3想一想观察下列各式：想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为_能力升级平台综合能力升级用字母表示数是代数的基础，它常和以前学过的公式综合出题，它容身于代数、几何的各个角落【例4】如图317，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2cba，然后作成一个长方体盒子，用字母表示它的容积解析根据长方体的容积（体积）公式VSh欲求长方体的容积需知长方体的底面积S和长方体的高，又可根据Sab，欲求底面积需知底面的长和宽，用图中虚线部分作成长方形盒子的底面，它的长为（a2c），宽为（b2c）由作法可知，盒子高为c，故盒子容积为（a2c）（b2c）c解根据长方体的容积公式可知：此盒子的容积为：（a2c）（b2c）c创新能力升级对于方案设计及判断不同方案的优劣，用字母表示数从不同角度解决问题，培养学生创新意识【例5】用a米的竹篱笆在空地上围成一个养鸡场，有两种方案：一种围成正方形，另一种围成圆形，试比较两种方案的面积大小，并说明理由应用能力升级把学到的知识用到生活中，求某些图形的周长或面积【例6】学校决定修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米，并在草坪上修建如图318所示的两条小路，已知两条小路的宽都是x米，求（1）修建的两条小路的面积是多少平方米？（2）草坪的面积是多少平方米？解析两条小路分别为长方形和平行四边形，长方形面积为长宽ax，平行四边形的面积为xb，求两条小路的面积时不要忽略重合部分，草坪的面积就为大长方形面积减去两条小路面积2代数式学法导引明白代数式的特征：只含有加、减、乘、除、乘方等运算符号及括号，而不含“等号”、“大于号”、“小于号”注意单独一个数或字母也是代数式，思考代数式的优点，如代数式10x5y可表示什么，加深体会字母可以表示任何数，列代数式时，要正确判断各数量关系中的运算顺序，并抓住关键词语思维整合解析重点在具体情境中列出代数式【例1】一家商店某种服装成本价为a元，按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，用代数式表示这种服装的实际售价解析列代数式时抓住关键词：提高、理顺运算顺序，先说先算，分层处理，先找出标价，最后打八折解实际售价为：a（140%）80%点拨正确书写代数式，数字与字母或字母与字母相乘时乘号写作“”或省略不写，数字与数字相乘仍用“”剖析难点用代数式表示实际问题中的数量关系，理解代数式表示的实际意义【例2】甲、乙两地相距x千米，某人计划用a小时从甲地到乙地，如果必须提前2个小时到达，那么他每小时需多走_ 点击易错点本节常见易错点有： （1）对代数式的意义叙述不准确； （2）列代数式时审题不仔细，弄错运算顺序 【例3】说出下列代数式的意义 正解（1）x的平方的3倍与5的差；（2）a与b的差的立方的5倍 能力升级平台 综合能力升级代数式与数字问题的综合、代数式与简单方程的综合【例4】一个十位数字为0的三位数，它恰好等于各位数字和的m倍，交换它的百位数字与个位数字的位置，得到新的三位数是其各位数字之和的n倍，则n的值是（） A99m B101m C100mD101m 解析设原三位数为100ab，则交换百位数字与个位数字后的三位数为100ba，则由题意可得：100abm（ab），100ban（ab），两式左右两边相加，得101a101b（mn）（ab）即101（ab）（mn）（ab），mn101，即n101m 解B 应用能力升级列代数式解决实际问题，如水费，电费、稿费、出租车收费固定电话收费等分段收费问题解析此题中关系复杂，关键在于用水量是否超标，由于结算方法不同，所列代数式也不同 解分两种情况： （1）当x12时未超标，此时应交纳水费1.4x元； （2）当x12时，用水量超标，此时应交纳水费1.412（x12）2.6元创新能力升级用字母表示学过的公式并灵活运用，把求平均数的方法用到求平均速度中 【例6】某人以每小时a千米的速度上山，然后又沿原路以每小时b千米的速度下山，如果上山的路程s千米，那么此人上山、下山的平均速度是多少？ 解析首先将行程问题的基本数量路程、速度、时间三者之间的关系列述出来，然后再回到题目中来：上下山的平均速度（上山路程下山路程）（上山时间下山时间），最后用代数式将上山时间、下山时间表述出来，3代数式的求值学法导引代数式求值就是用给定的数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序，计算出结果，有些代数式的求值，在未明确给定或不能求出单个字母的取值时，要用整体代入法（如例5）思维整合 解析重点求代数式的值的方法是先代入，后按代数式指明的运算顺序进行计算剖析难点利用代数式求值推断代数式所反映的规律 【例2】当a4，b2，c1时，求abc的值 错解1当a4，b2，c1时，abc42（1）2（1）2 错解2当a4，b2，c1时，abc4212 错解分析错解1的原因是计算时弄错了运算顺序；错解2的原因是没有把“1”用括号括上 正解a4，b2，c1时，abc42（1）426 解析把n40代入，看所求的数是质数吗？如果是，再验证；如果不是，则得出结论能力升级平台 综合能力升级互为倒数的定义与整体代入法综合去求较为复杂的代数式值应用能力升级用代数式求值解决实际问题，求立方体的体积等 【例4】挖一条长为l的水渠，渠道的横断面是等腰梯形（如图331），梯形的底分别为a、b，水渠深为h，若l200米，a6米，b4米，h1.5米，求挖这条小渠的土方量 解析求水渠的土方量，即求棱柱的体积，棱柱的体积底面积高，这里即等腰梯形的面积水渠的长度为了方便，设水渠的土方量为V4合并同类项学法导引弄清几个基本概念，特别是同类项的概念，另外代数式中的项由系数（包括前面的符号）和字母（除外）两部分组成，分清哪些项是同类项，是合并同类项的关键，合并同类项的根据是乘法分配律，根据法则进行合并，对于求代数式的值这类题要会书写格式思维整合解析重点同类项的概念，合并同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项判断时，同时具备2个条件：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，缺一不可，引申为同类项与系数无关、与字母排列顺序无关；概念具有双重性 合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，即“一变二不变” 【例2】说出下列各题的两个项是不是同类项？为什么？ 解析观察所含字母是否相同，相同字母的指数是否相同解（2）、（4）不是同类项，因为（2）中相同字母的指数不同，（4）所含字母不同，（1）、（3）、（5）是同类项，因为（1）、（5）中都是常数，（3）中所含字母相同，相同字母的指数也相同点击易错点本节的易错点： 判定同类项容易出错， 合并同类项时容易出错， 确定代数式项的系数有误 【例3】下列各题合并同类项的结果对不对？不对的，指出错在哪里 错解认为都对 错解分析（1）3a与2b不是同类项，不能合并；（2）合并同类项只是系数的运算，字母不变，字母不参与运算；（3）（4）都不是同类项，不能合并；（5）保留了字母和字母的指数不变，又忘记了互为相反数的两个系数的和为0结果应为0 正解（1）不对，因为3a与2b不是同类项，不能合并；（2）不对，丢掉了字母及字母指数；（3）（4）不对，分别不是同类项，所以不能合并；（5）不对，因为330，0与xy相乘为0，而不是xy能力升级平台综合能力升级合并同类项与数字问题、数的整除性的综合【例4】随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字（不为0）对调后，得到一个新的两位数，并把两个两位数相加，所得的和一定能被11整除吗？为什么？ 解析一个数能否被11整除也就是看这个数能否写成11的倍数形式用代数式把原、新两个十位数表示出来，并求和 解设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得（10xy）（10yx）10xy10yx（10xx）（y10y）11x11y11（xy）因此，所得的和一定能被11整除应用能力升级用合并同类项知识解决日常生活中的问题，如用字母表示付费、图形周长等【例5】以物易物在农村是普遍存在的一种现象一天，王大妈用玉米换苹果，交易条件是1公斤玉米换0.8公斤苹果，当称完带口袋的玉米后，小贩要称皮（口袋）时，王大妈说话了：“不用称皮了！称玉米带皮，称苹果时也带皮，这样既省事又互不吃亏”想一想：王大妈讲的有道理吗？用学过的有关代数式的知识解答 解析本题的关键是列代数式求值比较吃亏还是不吃亏的过程 解王大妈讲的没有道理，王大妈自己吃亏设玉米重x公斤，口袋重y公斤，则应换苹果（0.8x）公斤，若不称皮，则实换苹果为0.8（xy）y0.8x0.8yy0.8x0.2y，也就是说，这样王大妈要少得苹果0.2y公斤，口袋越重吃亏越大5去括号学法导引我们第二章学过有理数减法，如7（5）7512，这就是有理数减法中遇到的去括号，根据它来学习去括号法则的第二条，需要注意本节在去括号时，若括号内多于一项时，在去括号后，括号内各项要么全变号，要么全不变号，同时还应正确运用乘法分配律，这节内容今后经常用到，一定要打好基础思维整合解析重点去括号法则，正确去括号【例1】先去括号，再合并同类项：（1）8a2b5（ab）；（2）6a2（ac） 解析这两个题都需要先利用分配律计算5与（ab），2与（ac）的积，再去括号，最后合并同类项 解（1）8a2b5（ab）8a2b（5a5b）8a2b5a5b（8a5a）（2b5b）13a3b； （2）6a2（ac） 6a（2a2c） 6a2a2c 4a2c剖析难点当括号前是“”号时的去括号 【例2】先去括号，再合并同类项 解析按去括号法则先把括号去掉，然后再合并同类项，要注意括号前面是“”号，去括号后，括号内各项的符号都改变 点击易错点尤其易犯的错误是： （1）括号前是“”号，去括号时，只改变括号里第一项的符号，而其余各项的符号均忘记改变 （2）运用分配律时，容易出现漏乘项的错误 错解分析错解1是第二步去括号时，括号里各项都应变号，但上述解法中只改变了第一项的符号 错解2是第一步应用分配律时，应用4去乘括号内的每一项，但上述解法中只与第一项相乘，造成漏乘的错误 解析去多重括号可以由内向外逐层进行，也可以由外向内进行，如果去括号法则掌握得比较熟练，也可以内外同时进行去括号 解解法之一（由内向外逐层去括号）能力升级平台 综合能力升级有理数的绝对值，有理数的乘方及去括号合并同类项的综合运用 解析由两个非负数的和为0，则每个非负数为0可求出a、b的值，代入式子AB的化简结果中，就可求出AB的值应用能力升级应用去括号合并同类项解决几何图形的边长、周长及阴影部分的面积等问题 【例5】一个四边形的周长是38厘米，已知第一条边长是a厘米，第二条边长比第一条边长的2倍长3厘米，第三条边长等于第一、二两条边长的和，写出表示第四条边长的代数式解析第一条边的边长为a厘米，第二条边的边长为（2a3）厘米，第三条边的边长为（a2a3）厘米，周长减去前三条边的边长就是第四条边的边长解根据题意得38a（2a3）（a2a3）38a2a3a2a3326a点拨列代数式时，第二条边的边长，第三条边的边长要用括号括上6探索规律学法导引要善于从具体的、实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律，合理归纳，大胆猜想，从不同事物中发现它们的相似点或相同点，并运用符号（代数式）表示规律，另外还需要通过运算，验证你所找到的规律是否正确思维整合解析重点探索规律的方法和步骤：第一，观察、探索：从实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律第二，归纳、猜想：通过观察由此及彼，合理归纳、猜想，并用字母表示规律第三，验证：观察、探索的结果，具有偶然性，可能是正确的，也可能是错误的，需要通过运算，验证规律【例1】图361，图是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图；再分别