【名师一号】高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

1 4 2 2圆与圆的位置关系 2 自学导引 学生用书p90 3 1 知道两圆间的位置关系有 外离 外切 相交 内切 内含5种 2 会根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆的位置关系 3 初步体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性 4 课前热身 学生用书p90 5 一般地 设圆c1和c2的方程分别为 x x1 2 y y1 2 r21 x x2 2 y y2 2 r22 圆心分别为c1 x1 y1 c2 x2 y2 半径分别为r1 r2 两圆圆心距d c1c2 那么 当d r1 r2时 两圆 当d r1 r2时 两圆 当 r1 r2 d r1 r2时 两圆 当d r1 r2 时 两圆 当0 d r1 r2 时 两圆 外离 外切 相交 内切 内含 6 名师讲解 学生用书p91 7 1 判断圆与圆的位置关系的方法与步骤 1 判断两圆c1 x a1 2 y b1 2 r c2 x a2 2 y b2 2 r位置关系的常用方法 两圆c1 c2外离 c1c2 r1 r2 两圆c1 c2外切 c1c2 r1 r2 两圆c1 c2相交 r1 r2 c1c2 r1 r2 两圆c1 c2内切 c1c2 r1 r2 圆c1内含于圆c2 0 c1c2 r2 r1 其中 c1c2 0时 两圆同心 8 2 判断两圆的位置关系时的一般步骤 第一步 将两圆的方程化为标准方程 第二步 依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1 r2及圆心距d 即 c1c2 第三步 根据d与r1 r2之间的关系 判断两圆的位置关系 9 2 判断两圆的位置关系为什么不用代数法跟判断直线与圆的位置关系一样 判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数 但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大 较为麻烦 而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论 不如直接运用几何法简便 10 典例剖析 学生用书p91 11 题型一圆与圆的位置关系例1 a为何值时 两圆x2 y2 2ax 4y a2 5 0和x2 y2 2x 2ay a2 3 0 1 外切 2 内切 分析 把圆的方程化成标准方程 求出两圆半径及圆心距 再作比较 12 解 将两圆方程写成标准方程 x a 2 y 2 2 9 x 1 2 y a 2 4 设两圆的圆心距为d 则d2 a 1 2 2 a 2 2a2 6a 5 1 当d 5 即2a2 6a 5 25时 两圆外切 此时a 5或2 2 当d 1即2a2 6a 5 1时 两圆内切 解得a 1或a 2 规律技巧 解决两圆的位置关系 运用几何方法 圆心距与半径的关系 比代数方法 方程组解的情况 简单 13 变式训练1 a的方程为x2 y2 2x 2y 7 0 b的方程为x2 y2 2x 2y 2 0 判断 a和 b是否相交 若相交 求过两交点的直线的方程 若不相交 说明理由 分析 判定两圆是否相交 只需判定两圆的半径和 差与圆心距间关系即可 14 解 a的方程可写为 x 1 2 y 1 2 9 b的方程可写为 x 1 2 y 1 2 4 两圆心之间的距离满足3 2 ab 即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差 两圆相交 a的方程与 b的方程左 右两边分别相减得 4x 4y 5 0 即4x 4y 5 0为过两圆交点的直线的方程 15 题型二与两圆相切有关的问题例2 求与圆x2 y2 2x 0外切且与直线相切于点的圆的方程 分析 先设出圆的方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 利用题设条件 得到关于a b r的三个方程 解方程组求得a b r即可 16 解 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 将x2 y2 2x 0化为标准形式 x 1 2 y2 1 由题意可得 17 18 规律技巧 本题利用了待定系数法 设出所求圆的方程 根据圆与圆相切 圆与直线相切的条件列出关于a b r的方程组求解 19 变式训练2 以 3 4 为圆心 且与圆x2 y2 64内切的圆的方程 解 设所求圆的半径为r 则 r 3或r 13 故所求圆的方程为 x 3 2 y 4 2 9或 x 3 2 y 4 2 169 20 题型三与两圆公共弦有关的问题例3 已知圆c1 x2 y2 2x 6y 1 0 圆c2 x2 y2 4x 2y 11 0 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 分析 因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程 联立方程组消去x2项 y2项 即得两圆的两个交点所在的直线方程 利用勾股定理可求出两圆公共弦长 21 解 设两圆交点为a x1 y1 b x2 y2 则a b两点坐标是方程组 得3x 4y 6 0 a b两点坐标都满足此方程 3x 4y 6 0即为两圆公共弦所在的直线方程 易知圆c1的圆心 1 3 半径r 3 22 23 规律技巧 求两圆的公共弦所在直线方程 只要将表示圆的两个方程相减即可得到 求圆的弦长用几何法简单 24 变式训练3 判断圆c1 x2 y2 2x 6y 6 0 与圆c2 x2 y2 4x 2y 4 0的公切线的条数 分析 先判断两圆位置关系 解 由题意得 将圆c1化为标准方程 x 1 2 y 3 2 16 将圆c2化为标准方程 x 2 2 y 1 2 1 得圆c1的圆心坐标c1 1 3 半径r1 4 圆c2的圆心坐标c2 2 1 半径r2 1 25 又r1 r2 c1c2 r1 r2 即两圆相交 圆c1与圆c2有两条公切线 26 易错探究例4 求与圆 x 2 2 y 1 2 4相切于点a 4 1 且半径长为1的圆的方程 错解 设所求圆的圆心c a b 则由 解得a 5 b 1 所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 1 27 错因分析 两圆相切包括内切和外切两种情况 错解中认为相切就是外切 思考不到位 丢掉了内切的情况 造成错解 正解 设所求圆的圆心c a b 则 1 当两圆外切时 有 由 解得a 5 b 1 所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 1 28 2 若两圆内切 则有 由 解得a 3 b 1 所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 1 综上所述 所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 1或 x 3 2 y 1 2 1 29 技能演练 学生用书p92 30 基础强化1 圆x2 y2 2x 0和x2 y2 4y 0的位置关系是 a 相离b 外切c 相交d 内切解析 圆 x2 y2 2x 0 配方 x 1 2 y2 1 圆心c1 1 0 半径r1 1 圆 x2 y2 4y 0 配方x2 y 2 2 4 圆心c2 0 2 半径r2 2 圆心距 c1c2 r1 r2 3 两圆相交 答案 c 31 2 两圆x2 y2 r2与 x 3 2 y 1 2 r2 r 0 外切 则r的值是 答案 d 32 3 两圆x2 y2 4x 2y 1 0与x2 y2 4x 4y 1 0的公切线有 a 1条b 2条c 3条d 4条解析 圆x2 y2 4x 2y 1 0 x 2 2 y 1 2 4 圆心c1 2 1 半径r1 2 圆x2 y2 4x 4y 1 0 x 2 2 y 2 2 9 圆心c2 2 2 半径r2 3 c1c2 5 r1 r2 两圆相外切 公切线有3条 答案 c 33 4 圆x2 2x y2 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为的点共有 a 4个b 3个c 2个d 1个解析 圆x2 2x y2 4y 3 0 x 1 2 y 2 2 8 圆心 1 2 半径为而圆心 1 2 到直线x y 1 0的距离 圆上点到直线的距离为的点有3个 答案 b 34 5 已知半径为1的动圆与圆 x 5 2 y 7 2 16相切 则动圆圆心的轨迹方程是 a x 5 2 y 7 2 25b x 5 2 y 7 2 17或 x 5 2 y 7 2 15c x 5 2 y 7 2 9d x 5 2 y 7 2 25或 x 5 2 y 7 2 9解析 设动圆圆心g x y 当两圆内切时 有 x 5 2 y 7 2 9 当两圆外切时 有 x 5 2 y 7 2 25 应选d 答案 d 35 6 2007 天津高考 已知两圆x2 y2 10和 x 1 2 y 3 2 20相交于a b两点 则直线ab的方程是 解析 二圆相减可得x 3y 0 x 3y 0 36 7 以点 1 2 为圆心 与直线4x 3y 35 0相切的圆的方程是 解析 半径又圆心 1 2 圆的方程为 x 1 2 y 2 2 25 x 1 2 y 2 2 25 37 8 两圆x2 y2 1和 x 4 2 y a 2 25相切 则实数a的值为 解析 当两圆内切时 有 0 4 2 0 a 2 5 1 2 a 0 当两圆外切时 有 0 4 2 0 a 2 5 1 2 a a 0或a 38 能力提升9 已知点p是圆x2 y2 16上的一个动点 点a 12 0 是x轴上的一定点 当点p在圆上运动时 线段pa的中点m的轨迹是什么 并分析此轨迹与圆x2 y2 16的位置关系 解 设线段pa的中点m x y p x0 y0 则由中点坐标公式得 39 p x0 y0 在圆x2 y2 16上 2x 12 2 2y 2 16 即 x 6 2 y2 4 这就是点m的轨迹方程 点m的轨迹是以 6 0 为圆心 2为半径的圆 两圆的圆心距而两半径之和为6 两圆相外切 40 10 求半径为4 与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切 且和直线y 0也相切的圆的方程 解 由题意 设所求圆的方程为圆c x a 2 y b 2 r2 圆c与直线y 0相切 且半径为4 则圆心c的坐标为c1 a 4 或c2 a 4 又已知圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心a的坐标为 2 1 半径为3 若两圆相切 则 ca 4 3 7或 ca 4 3 1 41 1 当c1 a 4 时 a 2 2 4 1 2 72或 a 2 2 4 1 2 12 无解 故可得a 2 所求圆的方程为 y 4 2 42 或 y 4 2 42 2 当c2 a 4 时 a 2 2 4 1 2 72 或 a 2 2 4 1 2 12 无解 故a 2 所求圆的方程为 y 4 2 42 或 y 4 2 42 42 11 2008 重庆 圆o1 x2 y2 2x 0和圆o2 x2 y2 4y 0的位置关系是 a 相离b 相