粘性流体力学.ppt

粘性流体力学 粘性流体力学的基本方程包括 质量守恒方程 连续性 动量守恒方程 牛顿第二定律 能量守恒方程 热力学第一定律 粘性流体运动的涡量传输方程 1 质量守恒方程 在空间流场中以任取的一点M x y z 为基本点 以为边长作正长方体体积元为控制体 如右图所示 设流体的速度 密度均是欧拉变量x y z t的函数 现考察沿x方向通过控制体的质量流量 在时间内通过控制体左侧面流入控制体的流体质量为通过右侧面流出控制体的流体质量为这里对运用了泰勒级数展开 并忽略二阶以上小量 沿x方向净流出控制体的流体质量为 同理 可分别计算沿y方向和z方向净流出控制体的质量分别为同时 在时间内控制体内的流体质量减少了 根据质量守恒定律 在时间内从控制体净流出的总质量应等于在控制体内减少的质量 由上述公式可得令 并消去两端的从上式可得用场论符号表示为 利用散度公式并运用质点导数表达式 1 7 式可改写为式 1 7 和 1 8 均为微分形式的三维流体连续性方程 2 动量守恒方程 为了推到牛顿流体一般的运动方程 斯托克斯将牛顿粘性定律从一维推广到三维 提出3个假设 1 应力与变形率成线性关系 2 流体是各向同性的 应力与变形率的关系与坐标系的选择无关 3 当角变形率为零时 即流体静止时 法向应力等于静压强 则 推导得纳维 斯托克斯方程为 当流体为均质不可压缩的牛顿流体时 上述方程组可进一步简化为 直角坐标系 矢量式为 不可压缩粘性流体的N S方程在柱坐标系下形式为 式中 空间点的柱坐标 速度的三个坐标分量 3 粘性流体的能量方程 在流场中 任取一团运动着的流体 其周围为封闭曲面A 该曲面所包围的流体体积为Vv 根据能量守恒定律 这团流体的动能和内能对时间的变化率等于单位时间内质量力和表面力所作的功与系统内热能增量的总和 可表示为式中 表示单位时间内通过曲面A由于热传导传入的热量 q表示由于热辐射或其它原因单位时间内传给单位质量流体的热量 e为单位质量流体的内能 根据质量守恒 等号左边可改写为根据推广的高斯定理 式 a 等号右边的两个曲面积分项可改写为 将 b c d 式代入 a 式 得同样 由于流场中各种物理量分布都是连续的 体积Vv可以任选 故得该式即微分形式的能量方程 4 粘性流体运动方程组的封闭性和定解条件 所谓封闭性问题是指方程组所具有的方程数目是否等于所出现的未知函数的数目的问题 只有当这两者相等时 对于正确规定的定解条件 方程组的解才可能既存在又唯一 这是一般的数学原则 流体动力学的方程组包含有质量方程 动量方程和能量方程 所包含的未知函数有 V F p T k e和q 而方程数目仅五个 因此还需补充其他假设条件和物理关系式使方程组封闭 初始条件 初始条件要求给定初始时刻t t0时流场中的函数值 t 0时 给定 边界条件 列出三种最常见的 静止固壁 粘附条件 运动固壁 自由界面上 即在自由界面上 法向应力等于自由界面上的压力 切向应力为零 对于温度场 还可以有温度边界条件 即或式中是物面上的温度 为通过单位面积传递给流体的热量 为沿物面外法线方向的温度梯度 5 粘性流体运动的涡量传输方程 为了讨论漩涡在粘性流体中运动的性质和规律 有必要建立涡量传输方程 涡量传输方程是从运动方程派生出来的 便于说明粘性流体中涡旋的产生 发展和衰减的现象 根据数学中的场论知识 速度矢量V的随体导数可写为则运动方程可改写为 该式称为葛罗米柯 兰姆运动微分方程 根据广义牛顿内摩擦定律可将上式改写为对上式等号两边取旋度 得又因整理的 该式称