【第一方案】高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用第二节 导数的应用课件.ppt

第二节导数的应用 点击考纲1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些实际问题 关注热点1 利用导数研究函数的单调性 极值 最值以及解决生活中的优化问题 已成为近几年高考炙手可热的考点 2 选择题 填空题 侧重于利用导数确定函数的单调性和极值 解答题 侧重于导数与函数 解析几何 不等式 数列的综合应用 一般难度较大 属中高档题 1 函数的单调性与导数在区间 a b 内 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 如果 那么f x 在这个区间内为常数函数 f x 0 f x 0 f x 0 1 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充要条件吗 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值 1 函数的极小值 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 2 函数的极大值 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点 极大值点统称为 极大值和极小值统称为 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 3 函数的最大值与最小值在闭区间 a b 上连续 在 a b 内可导 函数y f x 在 a b 上求最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 极值点一定是最值点这句话对吗 提示 函数的极值表示函数在一点附近的情况 是在局部对函数值的比较 函数的最值是表示函数在一个区间上的情况 是对函数在整个区间上的函数值的比较 函数的极值不一定是最值 最值点也不一定是极值点 1 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 a 2b 0c 2d 4解析 令f x 3x2 6x 0 得x 0 x 2 舍去 比较f 1 f 0 f 1 的大小知f x max f 0 2 答案 c 解析 y ex ax y ex a 函数y ex ax有大于零的极值点 即方程y ex a 0有大于零的解 x 0时 ex 1 a ex 1 答案 a 3 2009 江苏高考 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间是 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x 1 x 11 f x 0 得 1 x 11 函数f x 的减区间是 1 11 答案 1 11 4 若f x x3 3ax2 3 a 2 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围是 解析 f x 3x2 6ax 3 a 2 由题意f x 0有两个不等的实根 故 6a 2 4 3 3 a 2 0 即a2 a 2 0 解得a 2或a 1 答案 1 2 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 思路导引 1 通过解f x 0求单调递增区间 2 转化为恒成立问题 求a 3 假设存在a 则f 0 是f x 的极小值 或转化为恒成立问题 解析 1 f x ex ax 1 f x ex a 令f x 0得ex a 当a 0时 有f x 0在r上恒成立 当a 0时 有x lna 综上 当a 0时 f x 的单调增区间为 当a 0时 f x 的单调增区间为 lna 2 f x ex ax 1 f x ex a f x 在r上单调递增 f x ex a 0恒成立 即a ex x r恒成立 x r时 ex 0 a 0 3 法一 由已知f x 在 0 上单调递减 在区间 0 上单调递增可知 f 0 是f x 的极小值 f 0 e0 a 0 a 1 存在a 1满足条件 法二 f x ex a 若f x 在 0 上是单调递减函数 ex a 0在x 0 上恒成立 a ex max 当x 0 时 ex 0 1 a 1 若f x 在 0 上是单调递增函数 ex a 0在x 0 上恒成立 a ex min 当x 0 时 ex 1 a 1 由 知a 1 故存在a 1满足条件 方法探究 1 已知函数f x 在 a b 上的单调性 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题解决 最后要验证 等号 成立时 f x 是否恒为零 若恒为零 等号不成立 若f x 为二次函数 可结合根的分布解决 不需要转化为恒成立问题 2 一般地 涉及到函数 尤其是一些非常规函数 的单调性问题 往往可以借助导数这一重要工具进行求解 函数在定义域内存在单调区间 就是不等式f x 0或f x 0在定义域内有解 这样就可以把问题转化为解不等式问题 答案 c 答案 b 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 f x 在 4 1 上的最大值为13 最小值为 11 方法探究 利用导数研究函数的极值的一般流程 提示 当根中含参数时要分类讨论 2 理 已知函数f x x2e ax a 0 求函数在 1 2 上的最大值 文 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 解析 1 f x 3x2 2ax 因为f 1 3 2a 3 所以a 0 又当a 0时 f 1 1 f 1 3 所以曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为3x y 2 0 2011 广东揭阳 某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场 如图 运动场是由一个矩形abcd和分别以ad bc为直径的两个半圆组成 跑道是一条宽8米的塑胶跑道 运动场除跑道外 其他地方均铺设草皮 已知塑胶跑道每平方米造价为150元 草皮每平方米造价为30元 1 设半圆的半径oa r 米 求塑胶跑道面积s与r的函数关系s r 2 由于条件限制r 30 40 问当r取何值时 运动场造价最低 最低造价为多少 精确到元 思路导引 1 利用几何性质 建立函数关系 2 利用导数等知识求最小值 方法探究 解答应用问题可概括为 四点八字 即 审题 建模 求模 还原 本题求造价最低 利用函数的单调性求解是常见的方法之一 3 某造船公司年造船量是20艘 已知造船x艘的产值函数为r x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为c x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函数f x 的边际函数mf x 定义为mf x f x 1 f x 1 求利润函数p x 及边际利润函数mp x 提示 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数mp x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么 解析 1 p x r x c x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x n 且1 x 20 mp x p x 1 p x 30 x2 60 x 3275 x n 且1 x 19 2 p x 30 x2 90 x 3240 30 x 12 x 9 x 0 p x 0时 x 12 当00 当x 12时 p x 0 x 12时 p x 有最大值 即年造船量安排12艘时 可使公司造船的年利润最大 3 mp x 30 x2 60 x 3275 30 x 1 2 3305 所以 当x 1时 mp x 单调递减 所以单调减区间为 1 19 且x n mp x 是减函数的实际意义 随着产量的增加 每艘利润与前一艘利润比较 利润在减少 2010 安徽高考 12分 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 1 解析 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 1分 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 3分 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 6分 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 7分 由 1 知当a ln2 1时 g x 最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 9分 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 11分 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 12分 评价探究 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调区间 求函数的极值和证明函数不等式 考查运算能力 综合分析和解决问题的能力 属中等难度题 解题的关键是构造函数 再利用导数研究函数单调性从而证明不等式 易忽视函数作用产生错误 考向分析 从近两年的高考试题来看 利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点 既有小题 也有解答题 小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解答题主要考查导数与函数单调性 或方程 不等式的综合应用 预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向 同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题 1 2011 扬州模拟 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 解析 设f x 与x轴的4个交点 从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 答案 c 2 函数f x x3 3x2 3x a的极值个数是 a 2b 1c 0d 与a值有关解析 f x