北邮数理方程课件 第四章 幂级数解法与本征值问题.doc

第四章 二阶线性常微分方程的级数解法 SturmLiouville本征值问题4.2 基础训练4.2.1 例题分析例1 在 的邻域内求解常微分方程 解：这是一个常系数微分方程，且，显然为方程的常点，由Cauchy定理，设则把以上结果代入方程【因为都已是Taylor级数】，比较系数有由此得递推公式及 于是方程的级数解为或写成其中为任意常数 例2在的邻域内，求解方程：。 解 易知是方程的常点，由Cauchy定理，令,则 (1) (2) (3) (4)将（1）（4）代入原方程，比较次幂的系数，得 （5）由（5）得系数间的递推公式 （6）由上式得， ， ， 与使得方程的通解为例3 在的邻域内求解厄密特方程 (1)问取哪些值时使解的级数形式退化为多项式？这些多项式当最高次幂项为时即为厄密特多项式.解 这里。易知是方程（1）的常点。令 (2)则 (3) (4) (5)把（3）（5）代入方程（1）得 即 (6)由公式（6）得， ， ， ， 故 其中 (8) （9） 收敛半径均是无穷大。从级数（8）（9）知：当时，退化为多项式；当时，退化为多项式。最高次幂项为时即为厄密特多项式.例4 在的邻域内求解拉盖尔方程 的有界解。问取哪些值时使解的级数形式退化为多项式？这些多项式当最高次幂项为时即为拉盖尔多项式.解 是和的一阶极点，所以是方程的正则奇点。令 (1)则有 (2) (3) (4) (5)将（2）（5）代入原方程，令最低次幂的系数为零，得指标方程 (6)令的系数为零得系数递推公式 (7)当时，由（7）式得， ， 于是，原方程的解是当时该级数退化为多项式, 即为拉盖尔多项式.例5 在的邻域上求解方程 解 是的一阶极点，是的二阶极点，所以是方程的正则奇点。设 ，代入方程，各同次幂分别集合如下表： 令最低幂项系数为零，得指标方程： 解之得指标数 （1） 在上表中，令项系数为零，得系数递推公式： （2）当时，由式 若，取整数，则有 ；若，则，于是得一特解 当时，由 同上讨论，有 ， ，得另一特解 故原方程的解为 。例6 将下面的方程化为斯特姆刘维尔型方程的标准形式 解 方程可化为知 ，有 其斯特姆刘维尔型方程的标准形式为： 经化简的斯特姆刘维尔型方程的标准形式为： 例7 求解下列本征值问题的本征值和本征函数 解 令，方程的通解为 ，因此再即可由该式确定出，由可求出；由 ，可得 故 本征值由 式的根确定；本征函数为 。例8 设有本证值问题 试证明对应不同本证值的本证函数正交。证 设有本证值，它们分别对应于本征函数，于是 将以上两个方程分别乘以，相减以后再积分，即得 直接计算，可以得到 代入题设中的边界条件，即可得此二积分均为零，因此 故当时，就有 即对应于不同本征值的本征函数正交。4.2.2 习题 1 在的邻域内，求解下列方程：2 在的邻域上求解方程。3 在的邻域上求解Airy方程。4 求方程邻域内的通解。5 将下列方程化为斯特姆刘维尔型方程的标准形式6 求解下列本征值问题的本征值和本征函数4.2.3 解答与提示1 解：易知是方程的常点，令 (1)则 (2) (3) (4)将（1）（4）代入原方程，比较方程两边同次幂系数得即 （5）由（5）式得， ， ， ； 于是原方程的解为2 解 由已知 设 则把以上结果代入方程（因为和都已是Taylor级数），比较系数有 由此得递推公式 及于是方程的级数解为即 。3 解 显然 ，故是原方程的常点。设 ，则 （1） (2)把和式代入原方程，合并同幂次项，令各幂次的系数为零，得到系数递推公式： (3)由式可推得故原方程的解为 其中和为任意常数。4 解 为方程的的正则奇点，指标方程和指标数分别为 设方程的第一个解为 ，代入原方程得，因此 。比较x同次幂系数得 取， 得到方程的第一个解为 。 设方程的第二个解为 则有 代入原方程得 即 。 比较x同次幂系数得 因此得到方程的第二个解为 。若取，只是去掉了与第一个线性相关的部分，有 。方程的通解可以写成 其中为任意常数。5解（1） 因为 ，故 其斯特姆刘维尔型方程的标准形式为： 经化简知，该方程对应的斯特姆刘维尔型的标准形式为： （2）方程可以化成 ，于是 ，故 对照