2.3数学归纳法2.3数学归纳法1.ppt

复习归纳法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 归纳法又可分为完全归纳法和不完全归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 可从简单情形出发 观察 归纳 猜想 不完全归纳法 费马 fermat 曾经提出一个猜想 形如fn 22n 1 n 0 1 2 的数都是质数 100年后 费马 1601 1665 法国伟大的业余数学家 欧拉 1707 1783 瑞士数学家及自然科学家 费马您错了 不完全归纳法能帮助我们发现猜想 但不能保证猜想正确 其中道理可用于数学证明 数学归纳法 播放视频1 播放视频2 这种一种严格的证明方法 数学归纳法 1 验证第一个命题成立 即n n0第一个命题对应的n的值 如n0 1 2 假设当n k时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 归纳奠基 数学归纳法 关于正整数n的命题 相当于多米诺骨牌 我们可以采用下面方法来证明其正确性 由 1 2 知 对于一切n n0的自然数n都成立 归纳递推 注意 运用数学归纳法证题 以上两步缺一不可 思考1 下面的推理是否正确 错在没有奠基等式 思考2 下面用数学归纳法证明的过程是否正确 错在第二步证明没有用上假设 用上假设 递推才成立 数学归纳法具体应用 例1 用数学归纳法证明 第二步证明是关键 1 要用到归纳假设作为理由 2 看清从k到k 1中间的变化 例2 课本第84页b组第1题 已知数列 an 中 a1 其前n项和sn满足 n 2 计算s1 s2 s3 s4 猜想sn 并证明 证明 1 当n 1时 左 1 右 12 1 n 1时 等式成立 2 假设n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2那么 当n k 1时左 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 右即n k 1时等式成立由 1 2 可知等式对任何n n 都成立 递推基础 递推依据 例2 课本第84页b组第1题 已知数列 an 中 a1 其前n项和sn满足 n 2 计算s1 s2 s3 s4 猜想sn 并证明 当n k 1时 ak 1 sk 1 sk sk 1 2 解 s1 a1 s2 s3 s4 猜想sn 证明 1 n 1时由前可知 公式成立 2 假设当n k k n 时有 sk 当n k 1时公式仍成立由1 2 可知 对一切n n 公式均成立 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 其格式主要有两个步骤 一个结论 1 证明当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时结论正确 验证初始条件 2 假设n k时结论正确 在假设之下 证明n k 1时结论也正确 假设推理 3 由 1 2 得出结论 下结论 2 观察 猜想 证明 是解决与自然数有关的命题的有效途径 注意 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 课堂小结 找准起点 奠基要稳 用上假设递推才真 写明结论才算完整 练习1 用数学归纳法证明 练习2 证明不等式 练习3 平面内