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文档简介

用射影面积法求二面角 立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径.定理 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.AB D C证明：如图，平面内的ABC在平面的射影为，作于D，连结AD.于，在内的射影为.又，（三垂线定理的逆定理）.为二面角BC的平面角.设ABC和的面积分别为S和，则.A BD1 C1D CA1 B1E练习1 如图, 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A A1棱的中点，则面BE C1与面AC所成的二面角的余弦值( )A. B. C. D. 2如图, 已知四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形, SD面AC, SB = . A BD CS BM BD(1) 求证:BCSC;(2) 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;(3) 设棱SA的中点为M, 求异面直线DM与SB所成的角的大小. D AMC BEF3如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB = ，AF = 1，M是线段EF的中点. (1) 求证：AM平面BDE；(2) 求证：面AE平面BDF；(3) 求二面角ADFB的大小.PA DB C4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，.（1）证明：AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角PBDA的余弦值.VD CA B5.如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.（1）证明：AB平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成二面角的余弦值.C BADE6.如图，在直三棱柱ABC中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；（2）设，求二面角的大小.EB CA DP7.如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，PA平面ABCD，PA = 4，AD = 2，BC = 6.（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角APCD的余弦值.SA BD CE8.如图，四棱柱SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD = AD =
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