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8 Bessel函数的性质 2009 4 9 一 Bessel方程的引出 设有半径为b的薄圆盘 其侧面绝热 若圆盘边界 例 温度分布 上温度恒为零度 且初始温度已知 求圆盘内瞬时 解 此问题可以归结为如下二维方程的定解问题 用分离变量法求解 先将t分离出来 设方程的解为 带入原方程得 即 由此可得 前一方程的通解为 其中A为常数 后一方程称为Helmholtz 方程 它须满足条件 为求其解 将方程 和条件写成极坐标形式 再令 代入上式得 由 式及周期条件 得特征值 对应特征函数为 将 代入 式得 据此得 的通解为 由定解条件及温度有限知 此为第一类边界条件下Bessel函数的本征值问题 进一步的讨论涉及Bessel函数的零点等问题 若 方程 若 式化为 因此 且 其通解为 由定解条件及温度条件得 此时方程 只有零解 若 令 方程 化为 称此方程为修正的Bessel方程 将在后面讨论 图4 1 1 a 图4 1 1 b 二 Bessel函数的性质 二 Bessel函数的性质 Bessel函数具有如下性质 无有限值 的零点在实轴上关于原点对称分布 的第n个正零点 则 4 且 由上述关于Bessel函数零点的讨论 本征值问题 应该为 因 必有 对应的本征函数是 一般地 Bessel函数的本征值问题为 三 Bessel函数的递推公式 整数阶Bessel函数是 它满足如下递推公式 1 2 3 4 5 6 证明 特别地 或 证明 第二类Besse
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