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试验设计(DOE) 试验设计的目的是寻求试验因素的适宜水平组合,使质量得以优化。如果产品特征完全可以用数学关系表达,可以采用计算优化设计解决。如果还不能作到,采用试验方法是切实可行的.如何以最少的试验工作量,花费最小的试验成本获得所需要的信息则是试验设计应该解决的问题。 试验设计是在20世纪20年代由英国数学家、工程师R.A.Fisher提出，他抛弃了传统的逐一因素依次实验的方法。40年代，D.J.芬尼提出多因素实验可以只作其中的一部分，为现代试验设计奠定基础。50年代，日本电讯研究所田口玄一博士等开发试验设计技术。试验设计的类型有很多种：完全随机设计、拉丁方设计、正交设计。1、完全随机设计 只有一个试验因素，取k个水平，重复r次，试验总次数为N = k r2、拉丁方设计 拉丁方是一个方阵，含有m行和m列。例如，三种洗涤剂（A，B，C）用三种不同的水温在三种洗衣机上试验最佳洗净效果的方案，其拉丁方如表达式所示。表1 拉丁方 洗衣机1 洗衣机2 洗衣机3 水温1 C A B 水温2 B C A 水温3 A B C注：（1）要求三因素独立无关，无交互作用。 （2）行数、列数、处理方法（洗涤剂）数相同。3、正交设计 3.1正交表 例1一个化学产品的质量和反应时间、反应温度、压力、浓度等有关。如果4个因素都取7个水平要做2401次试验，需要一年多时间。如果所考察的指标受8个因素影响，每个因素取5个水平，需要作58次试验(390625次)。 这种试验称之为多因素试验，不可能全做，希望选作其中一部分从而选出较好的方案。正交试验设计是以概率论和数理统计为基础的应用数学方法，研究内容是如何合理安排试验，使试验次数尽可能少，并能正确分析试验数据 表2是一个常用的正交表，记为L9（34），9代表试验次数，4为因素数（列数），3为每个因素的水平数。 表2 正交表因素1因素2因素3因素4试验11111试验21222试验31333试验42123试验52231试验62312试验73132试验83213试验933213.2 正交试验方案 表4 试验方案ABCD试验1809052试验28012062.5试验38015073试验4859063试验58512072试验68515052.5试验7909072.5试验89012053试验99015062 表3 因素水平表反应温度A反应时间B用碱量C反应压力D水平1809052水平28512062.5水平390150733.3 用极差法分析试验数据 表5 极差法分析试验结果ABCD转化率R(%)试验1111131试验2122254试验3133338试验4212353试验5223149试验6231242试验7313257试验8321362试验9332164jA=31+54+38 =123B=31+53+57 =141C=31+42+6 =135D=31+49+64 =144jA=53+49+42 =144B=54+49+62 =165C=54+53+64 =171D=54+42+57 =153jA=57+62+64 =183B=38+42+64 =144C=38+49+57 =144D=38+53+62 =153RjRA=183-123 =60RB=165-141 =24RC=171-135 =36RD=153-144 =94 方差分析极差分析法无法分清试验结果中的两个组成：因素水平改变引起变化和试验误差引起的变化。无法判断因素作用是否显著。方差分析克服了这些不足。产品的质量特性在众多因素的综合影响下呈现着差异，为了提高质量进行试验研究，得到试验数据。如何分析哪些因素的影响是显著的？有没有交互作用？方差分析是一个有效的工具。由于观测条件和因素不同而引起的试验结果差异称为系统误差；由于偶然因素引起的试验结果差异称为随机误差。为了了解方差，应对试验数据的统计特性有基本的了解。4.1 常用统计量 和与平均值 偏差 偏差平方和与自由度 方差4.2 单因素方差分析【例】因素为温度，质量特性为收率。因素取两个水平。每个水平重复试验5次。试验结果如表6所示。表612345平均y总平均yA1(30)757860618371.475.7A2(40)896293718580.04.3 双因素方差分析4.3.1 无重复试验的双因素方差分析【例】已知铝的含量随矿的层位和品级不同而变化，现对层位和品级各取四个水平，在每个水平组合下各取一个样品分析铝的含量，记录见表7品级记为A，层位记为B。表7 铝的含量记录B1B2B3B4B1B2B3B4A12.203.763.724.17A33.004.754.205.50A22.184.724.175.50A45.107.108.306.31试分析铝的含量主要是受层位影响还是受品级影响？为使数据简化，在记录中减去4，即yij = yij 4,得结果如表8所示。表8 铝的含量纪录 B1B2B3B4()22A1-1.80-0.24-0.28-1.08-1.084.62253.4049A2-1.820.720.85-1.08-1.081.56256.8033A3-1.000.950.20-1.08-1.082.72254.1925A41.103.104.30-1.08-1.08116.856134.6461-3.524.535.07-1.08-1.08125.763649.0468()212.390420.520925.7049-1.08-1.0828.762411.088519.33099.86549.04684.3.2 有重复试验的双因素方差分析现讨论A对质量指标的影响和因素B取什么水平有关的情况。或者说两个因素有交互作用。对于有交互作用的可看作试验中增加了新因素AB，为了考察交互作用的影响，采取内重复试验的办法。【例】火箭使用4种燃料、3种推进器作射程试验，燃料因素记为A，推进器因素记为B。每种水平组合重复试验两次，射程记录如表9所示。表9 射程试验记录B1B2B3A158.252.656.241.265.360.8A249.142.854.150.551.648.4A360.158.370.973.539.240.7A475.871.558.251.548.741.4表10 计算表格B1B2B3()22A1110.897.4126.1334.3111756.4937664.61A291.9104.6100.0296.587912.2529386.77A3118.4144.179.9342.41117237.7641167.38A4147.3109.290.1346.6120131.5641739.94468.4455.3396.11319.8437038.06149958.70()2219398.56207298.09156895.21583591.86256438.1053117.3740403.23149958.75 正交试验的方差分析5.1 基本原理到目前为止，所介绍的方法都忽略了试验误差，不能把试验条件改变引起的数据变动和试验误差引起的数据波动区分开来。正交试验方差分析的思想是：n次试验结果的差异用总的偏差平方和SF表示，ST可分解为因素的偏差平方和与误差的偏差平方和。通过显著性检验找出试验结果差异的原因。表11 试验结果的方差因素 列 号试号反应温度A反应时间B用碱量C反应压力D转化率yy2123411111319612122254291631333381444421235328095223149240162312421764731325732498321362384493321644096k1j123141135144T=450Q=23484k2j144165171153k3j183144144153k21j15129198811822520736CT=22500k22j20736272252924123409k23j33489207362073623409Sj61811423418表12 方差分析表方差来源平方和S自由度v均方S/vF值显著性因素A618230934.33因素B1142576.33()因素C234211713.00误差e1829总和9848F0.25(2, 2)=3 F0.05(2, 2)=19 F0.01(2, 2)=99备注：以号的数量表示显著性大小6 正交表的选用不同情况下选用不同的正交表，具体见表13。表13 正交表的选用因素个数有重点因素无重点因素要求少作试验允许多作试验要求少作试验允许多作试验3L3(4124)L18(6136)L4(23)L9(34), L16(45)4L8(4124)L18(6