高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时提升作业1 新人教A版选修1-2.doc

反证法一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列关于反证法的说法正确的有()反证法的应用需要逆向思维;反证法是一种间接证法,否定结论时,一定要全面否定;反证法推出的矛盾不能与已知矛盾;使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种情况时,论证一种即可.a.b. c.d.【解析】选a.容易判断正确;反证法推出的矛盾可以与已知条件矛盾,故错误;当结论的反面出现多种情况时,应对各种情况全部进行论证,故错误.2.(2014山东高考)用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()a.方程x2+ax+b=0没有实根b.方程x2+ax+b=0至多有一个实根c.方程x2+ax+b=0至多有两个实根d.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根,它的反面为0个根.【解析】选a.“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的含义是方程有根,故反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”3.(2016淄博高二检测)已知ab0,用反证法证明nanb(nn*)时.假设的内容是()a.na=nb成立b.nanb成立c.nanb成立d.nab0时,na,nb恒有意义,且nanb的反面是nanb.故选c.4.(2016青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”,四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是()a.甲b.乙c.丙d.丁【解析】选c.若甲获奖,则甲、乙、丙、丁的话都错误;同理可推知乙、丙、丁获奖情况,最后获奖者应是丙.5.(2016济南高二检测)设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于()a.0b.13c.12d.1【解析】选b.三个数a,b,c的和为1,其平均数为13,故三个数中至少有一个大于或等于13.假设a,b,c都小于13,则a+b+capc.求证:bapcap.用反证法证明时,应分:假设_和_两类.【解析】反证法中对结论的否定是全面否定,bapcap.答案:bap=capbapcap7.命题“关于x的方程ax=b(a0)的解是唯一的”的结论的否定是_.【解析】方程解的情况有:无解;唯一解;两个或两个以上的解.答案:无解或至少两解8.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,a7是由数字1,2,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则_均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=_=_=0.但奇数偶数,这一矛盾说明p为偶数.【解析】由假设p为奇数可知a1-1,a2-2,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0为奇数,这与0为偶数矛盾.答案:a1-1,a2-2,a7-7(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)(a1+a2+a7)-(1+2+7)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016深圳高二检测)设函数f(x)=ax2+bx+c(a0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.【证明】假设f(x)=0有整数根n,则an2+bn+c=0,由f(0)为奇数,即c为奇数,f(1)为奇数,即a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,又an2+bn=-c为奇数,所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.所以f(x)=0无整数根.【拓展延伸】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有:(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)涉及“无限”结论的命题等.10.(2016威海高二检测)已知f(x)=ax+x-2x+1(a1).证明:方程f(x)=0没有负数根.【证明】假设x0是方程f(x)=0的负数根.则x01,所以0ax01,即0-x0-2x0+11,解得12x02,这与已知x00,x21,且xn+1=xn2+3xn3xn2+1,证明对任意正整数n,都有xnxn+1”,其假设应为()a.对任意正整数n,有xnxn+1 b.存在正整数n,使xnxn+1c.存在正整数n,使xnxn+1 d.存在正整数n,使xnxn-1且xnxn+1【解析】选c.“任意正整数n”的否定是“存在正整数n”,“xnxn+1”的否定是“xnxn+1”.2.有以下结论:已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2;已知a,br,|a|+|b|2”;的假设为“两根的绝对值不都小于1”,故假设错误.假设正确.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016福州高二检测)用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q.则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12”时,假设内容是_.【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12”.答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于124.(2016郑州高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b=1;a+b=2;a+b2;a2+b22.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号).【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.【解析】若a=13,b=23,则a+b=1,但a1,b2,故不能推出.对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016海淀高二检测)若a,b,cr,且a=x2-2y+2,b=y2-2z+3,c=z2-2x+6,求证:a,b,c中至少有一个大于0.【证明】假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0,则a+b+c0.而a+b+c=x2-2y+2+y2-2z+3+z2-2x+6=x2+y2+z2-2x-2y-2z+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-30,这与a+b+c0矛盾.所以a,b,c中至少有一个大于0.6.(2016南昌高二检测)等差数列an的前n项和为sn,a1=1+2,s3=9+32.(1)求数列an的通项an与前n项的和sn.(2)设bn=snn.求证:数列bn中任意不同三项都不可能成等比数列.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则s3=3a1+3d=9+32,又a1=1+2,解得d=2,所以an=2n+2-1,sn=n(n+2).(2)由(1)得bn=snn=n+2,假设数列bn中存在三项bp,bq,b