排列组合着色问题2.docx

排列组合专题之染色问题【引例】引例1在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案引例2某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答）【分析】首先栽种第1部分，有种栽种方法；然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示），此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。【剖析】为了深入探讨这一题型的解法，（1）让我们首先用m（m3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法, 共有 种涂法。1和3涂不同种颜色，有种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法， 共有 种涂法。综合和，共有+种涂法。（）下面来分析引例1以A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准：A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F各有3种栽法， 共有 4333108 种栽法。A、C、E栽种两种植物,有种栽法（是4种植物中选出2 种，是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，是选出的2种植物排列），B、D、F共有322 种栽法（注：若A、C栽种同一种植物，则B有3 种栽法，D、F各有2种栽法）， A、C、E栽种3种植物，有种栽法；B、D、F各有2种栽法， 共有 222192 种栽法。综合、，共有 108+432+192=732种栽法。（）上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n（n为偶数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。（4）那么，“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n（n为奇数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？【分析】 对扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m1种涂色方法，扇形P3也有m1种涂色方法，扇形Pn也有m1种涂色方法于是，共有种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n1（n1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。而用m种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（）中给出了解题思路。下面，就让我们把这种解题思路应用于 引例2【分析】首先栽种第1部分，有种栽种方法；然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分 （如右图所示）， 对扇形2有3种栽种方法，扇形3有2种栽种方法，扇形4也有2种栽种方法，扇形5也有2种栽种方法，扇形6也有2种栽种方法于是，共有种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。综合和，共有种栽法。（当然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即）.【拓展】上面，我们分别就n为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？（n为不小于3的整数）【分析】设为符合要求的对n个扇形的涂色方法。对扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m1种涂色方法，扇形P3也有m1种涂色方法，扇形Pn也有m1种涂色方法于是，共有种不同的涂色方法。但是，因为这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有种，于是，有（n3）， 显然，上述的式就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出的通项公式：至此，我们就找到了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即【注意】上述问题中的m种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。【迁移练习】1某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_种（以数字作答）2在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有_种栽种方案【答案】11200，600； 2732，480。例解排列组合中涂色问题于涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1、 用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 分析：先给号区域涂色有5种方法，再给号涂色有4种方法，接着给号涂色方法有3种，由于号与、不相邻，因此号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。2分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）与同色、与同色，则有；（2）与同色、与同色，则有；（3）与同色、与同色，则有；（4）与同色、与同色，则有；（5）与同色、与同色，则有；所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色243151) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234分析：可把问题分为三类：（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为；（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为；5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为，因此，所求的涂法种数为4、 根据相间区使用颜色的种类分类ABCDEF例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有种方法。 （2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有种着色方法，故共有种着色方法。 （3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有种方法。故总计有108+432+192=732种方法。说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 如：如图，把一个圆分成个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成n个扇形时染色方法为种（1） 当n=2时、有=12种，即=12（2） 当分成n个扇形，如图，与不同色，与 不同色，与不同色，共有种染色方法， 但由于与邻，所以应排除与同色的情形；与同色时，可把、 看成一个扇形，与前个扇形加在一起为个扇形，此时有种染色法，故有如下递推关系： 二、 点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。例6、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。（3） 若恰用五种颜色染色，有种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。 解法二：设想染色按SABCD的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方法。 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论： C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有种染色方法。 由乘法原理，总的染色方法是SCDAB解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？解答略。三、 线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1) 根据共用了多少颜色分类讨论2) 根据相对线段是否同色分类讨论。例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有种（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有种因此，所求的染色方法数为种解法二：涂色按ABBCCDDA的顺序进行，对AB、BC涂色有种涂色方法。由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有种涂色方法。由乘法原理，总的涂色方法数为种例8、用六种颜色给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有种方法。（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有种方法。 （3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有种方法。 （4）若恰用六种颜色涂色，则有种不同的方法。 综上，满足题意的总的染色方法数为种。四、 面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理（2）共用五种颜色，选定五种颜色有种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下