【走向高考】高三数学一轮复习 22函数的单调性与最值课件 北师大版.ppt

考纲解读1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会运用函数图像理解和研究函数的单调性 最值 考向预测1 函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质 在每年高考中均有重要体现 2 求单调区间 判断单调性 求最值及利用它们求参数的取值范围是热点 知识梳理1 函数的单调性 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在上是增函数 若 则f x 在上是减函数 2 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 f x1 f x2 区间d f x1 f x2 区间d 增函数 减函数 区间d 2 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 则称m是f x 的最大值 2 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 则称m是f x 的最小值 f x m f x0 m f x m f x0 m 3 判断函数单调性的方法 1 定义法 利用定义严格判断 2 利用函数的运算性质 如若f x g x 为增函数 则 f x g x 为增函数 3 利用复合函数关系判断单调性 法则是 即两个简单函数的单调性相同 则这两个函数的复合函数为 若两个简单函数的单调性相反 则这两个函数的复合函数为 4 图像法 5 奇函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性 偶函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性 同增异减 增函数 减函数 相同 相反 6 导数法 若f x 在某个区间内可导 当f x 0时 f x 为函数 当f x 0时 f x 为函数 若f x 在某个区间内可导 当f x 在该区间上递增时 则f x 0 当f x 在该区间上递减时 则f x 0 增 减 3 y k 0 的值域是 y y r且y 0 4 y ax a 0 且a 1 的值域是 5 y logax a 0 且a 1 的值域是r 6 y sinx y cosx y tanx的值域分别为 1 1 1 1 r 0 答案 b 解析 结合函数的图像可知只有选项b对应的函数满足题意 2 2011 辽宁朝阳模拟 f x 4x2 mx 5在 2 为增函数 f 1 的取值范围是 a 25 b 25 c 25 d 25 答案 c 答案 c 4 2010 山东文 函数f x log2 3x 1 的值域为 a 0 b 0 c 1 d 1 答案 a 解析 本题考查了指 对函数的基本性质 复合函数的值域问题 3x 0 3x 1 1 log2 3x 1 log21 0 选a 答案 1 1 分析 上述各题在求解之前 先应观察其结构特点选择最优的方法 然后再解 画图像如下 从图像可知 y 5 即值域为 5 解法2 单调性法 当x 4时 y 2x 3为减函数 y 2 4 3 5 当 4 x 1时 y 5 点评 1 对于二次函数型的一类问题常采用配方法求值域 2 换元法是解决无理函数值域的最有效手段 解析 1 令t 1 x2 则t 1 x2的递减区间是 0 递增区间是 0 又当a 1时 y at在 上是增函数 当01时 函数的单调减区间是 0 单调增区间是 0 当0 a 1时 函数的单调减区间是 0 单调增区间是 0 点评 1 复合函数y f g x 的单调规律是 同则增 异则减 即f u 与u g x 若具有相同的单调性 则f g x 为增函数 若具有不同的单调性 则f g x 必为减函数 讨论复合函数单调性的步骤是 求出复合函数的定义域 把复合函数分解成若干个常见的基本函数 并判定其单调性 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性 分析 1 去绝对值号 转化为二次函数求解或画出函数图像求解 2 利用复合函数单调性判定法则 同增异减 求解 3 利用导数法求解 f x 的增区间是 3 和 3 减区间是 3 0 和 0 3 点评 欲求函数单调区间 需先求函数定义域 然后根据解析式的特征选择合理的方法 另外 注意在解答题中判断函数的单调性或求单调区间时一般用导数法或定义法 分析 先将函数解析式的结构特征分析 转化 然后根据解析式特征选择合理的方法求解 点评 在研究单调性的众多方法中 定义法和导数法是通法 但定义法运算量较大 而其他方法则比较灵活 需要充分分析函数解析式的特征 这些方法在选择 填空题中应用较广泛 另外 本题的结论容易写成 f x 在 1 1 上是减函数 这一错误形式 用函数单调性的定义证明 f x ax a x a 0 且a 1 在 0 上是增函数 分析 由单调性定义直接证明 证明 任取x1 x2 0 且x1 x2 则f x2 f x1 ax2 a x2 ax1 a x1 ax2 ax1 a x2 a x1 1 当a 1时 ax2 ax1 ax2 ax1 0 ax1 x2 a0 1 ax1 x2 1 0 f x2 f x1 0 f x2 f x1 2 当00 f x2 f x1 综上所述 对于任何a 0且a 1 均有f x2 f x1 f x 在 0 上是增函数 点评 证明函数的单调性 基本上都是利用定义 以同一种格式来进行 应避免过程中的似是而非 含糊不清 在判断f x2 f x1 与0的大小时 尽可能将其化为积或商或完全平方的形式 从而明确f x2 f x1 与0的大小关系 研究三次函数或其他较复杂的函数的单调性与最值问题时 一般是利用导数这一工具来解决问题 例4 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对任意的a b r 有f a b f a f b 1 证明 f 0 1 2 证明 对任意的x r 恒有f x 0 3 证明 f x 是r上的增函数 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范围 4 解 由f x f 2x x2 1 f 0 1得f 3x x2 f 0 又f x 是r上的增函数 3x x2 0 0 x 3 已知函数f x x2 8x g x 6lnx m 1 求f x 在区间 t t 1 上的最大值h t 2 是否存在实数m 使得y f x 的图像与y g x 的图像有且只有三个不同的交点 若存在 求出m的取值范围 若不存在 说明理由 解析 1 f x x2 8x x 4 2 16 当t 14时 f x 在 t t 1 上单调递减 h t f t t2 8t 当x 0 1 时 x 0 x 是增函数 当x 1 3 时 x 0 x 是增函数 当x 1或x 3时 x 0 x 极大值 1 m 7 x 极小值 3 m 6ln3 15 当x充分接近0时 x 0 要使 x 的图像与x轴正半轴有三个不同的交点 必须且只需 1 求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点 它没有固定的方法和模式 常用的方法有 1 直接法 从自变量x的范围出发 通过观察和代数运算推出y f x 的取值范围 2 配方法 配方法是求 二次型函数 值域的基本方法 形如f x af2 x bf x c的函数的值域问题 均可使用配方法 7 单调性法 根据函数在定义域 或定义域的某个子集 上的单调性求出函数的值域 8 求导法 当一个函数在定义域上可导时 可据其导数求最值 9 数形结合法 当一个函数图像可作时 通过图像可求其值域和最值 或利用函数所表示的几何意义 借助于几何方法求出函数的值域 2 单调性是函数在某一区间上的性质 因此定义中的x1 x2在这一区间上具有任意性 不能用特殊值代替 3 由