高考数学专题复习精课件—19通项公式的求法.ppt

通项公式的求法 一 公式法 二 迭加法 若an 1 an f n 则 若an 1 f n an 则 三 叠乘法 四 化归法 通过恰当的恒等变形 如配方 因式分解 取对数 取倒数等 转化为等比数列或等差数列 1 若an 1 pan q 则 an 1 p an 3 若an 1 pan q n 则 4 若an 1 panq 则 lgan 1 qlgan lgp 五 归纳法 先计算数列的前若干项 通过观察规律 猜想通项公式 进而用数学归纳法证之 例已知数列 an 满足 a1 1 an 1 2an 3 2n 1 求 an 的通项公式 an 3n 1 2n 2 a1 1 典型例题 2 数列 an 的前n项和sn n2 7n 8 1 求 an 的通项公式 2 求 an 的前n项和tn 解 1 当n 1时 a1 s1 14 当n 2时 an sn sn 1 2n 8 2 由 1 知 当n 4时 an 0 当n 5时 an 0 当n 5时 tn s4 sn s4 sn 2s4 n2 7n 8 2 20 当n 4时 tn sn n2 7n 8 n2 7n 32 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 2 21 n 即an 2 21 n 解法二由解法一知an an 1 21 n 消去an 1得an 2 21 n 解法三 则 2 即an 2 21 n 4 数列 an 的前n项和sn满足条件lgsn n 1 lgb lg bn 1 n 2 其中 b 0且b 1 1 求数列 an 的通项公式 2 若对n n n 4时 恒有an 1 an 试求b的取值范围 解 1 由已知得lgsnbn 1 lg bn 1 n 2 snbn 1 bn 1 n 2 b 1 当n 1时 a1 s1 b2 1 当n 2时 an sn sn 1 即 n 3 b2 2 n 2 b n 1 0对n 4恒成立 亦即 b 1 n 3 b n 1 0对n 4恒成立 b 3 解法1 设等差数列 an 的首项a1 a 公差为d 则通项公式为an a n 1 d 由此可得 经验证知an 1时 sn 5 另一种情况时 sn 4 均合题意 解法2 sn是等差数列的前n项和 故可设sn an2 bn 依题意得 在等差数列中 n 2时 an sn sn 1 a1亦适合公式 解法3 sn是等差数列的前n项和 解法4 依题意s3 3a2 s4 2 a2 a3 s5 5a3 解 a1 a 4 21 2 1a 故猜想 an 4 23 n 21 na 用数学归纳法证明如下 4 20 2 2a 4 2 1 2 3a 4 2 2 2 4a 4 22 20a 证明从略 故an 4 23 n 21 na 解法二 构造等比数列求解 略 7 设数列 an 是公差不为0的等差数列 sn是数列 an 的前n项和 且s32 9s2 s4 4s2 求数列 an 的通项公式 解 设等差数列 an 的公差为d 3a1 3d 2 9 2a1 d 4a1 6d 4 2a1 d 由 得 d 2a1 代入 有 9a12 4a1 当a1 0时 d 0 与已知条件矛盾 舍去 8 已知数列 an 是等差数列 且a1 2 a1 a2 a3 12 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn an 3n 求数列 bn 前n项和的公式 解 1 设数列 an 的公差为d 则由已知得3a1 3d 12 d 2 an 2 n 1 2 2n 故数列 an 的通项公式为an 2n 2 由bn an 3n 2n 3n得数列 bn 前n项和 sn 2 3 4 32 2n 2 3n 1 2n 3n 3