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4 23Dtransformations Translate 平移 transformationsScale 缩放 transformationsShear 错切 transformationsRotate 旋转 transformationsReflect 反射 transformationsComposition 复合 of3Dtransformations 与二维平移变换类似地使用齐次坐标表示为 记为 其中 Translatetransformation 记为 Scaletransformation Aboutorigin Cont Aboutarbitrarypoint Thearbitraryreferencepointis Cont Aboutarbitrarypoint Thearbitraryreferencepointis Cont 则变换矩阵为 Sheartransformations Dependenceaxis 依赖轴 correspondingcoordinateisremainedDirectionaxis 方向轴 correspondingcoordinateischangedlinearlyRepresentations 变换的一般表达式是 Sheartransformations Parameters rotateaxis rotateangle二维旋转变换是三维空间中绕Z轴的旋转 记为 Rotatetransformation RotateaboutXaxis Equallywithchangingthecoordinatesystem x y z tothecoordinatesystem y z x RotateaboutYaxis Changingsystem x y z tosystem z x y aboutarbitraryline 是关于某直线或平面进行的关于某个轴进行的反射变换等同于关于该轴做180度的旋转变换Forinstance aboutZaxis Reflecttransformation 反射变换 aboutarbitrarysymmetryaxis Cont 当反射平面是坐标平面时 等同于进行左 右手坐标系的互换 相应变换矩阵是把第三维坐标值取反Forinstance aboutXOYplane Aboutarbitrarysymmetryplane Forinstance rotatingaboutarbitrarylineOverlappingarbitrarylinewithZaxisResolvingaseriesofproblemsReflectaboutanarbitrarysymmetrylineReflectaboutanarbitrarysymmetryplane Compositiontransformations 旋转轴不与坐标轴重合时变换的实现 经复合变换使旋转轴与某坐标轴重合绕指定轴进行旋转变换还原坐标系 Rotateaboutarbitraryline 1 translateP1tooverlaporigin 不妨设P1P2为方向单位矢量 P2点坐标为 a b c Cont P1 P2 Cont Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ X Y Z Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ X Y Z Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ X Y Z Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ X Y Z Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ X Y Z Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ X Y Z Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ X Y Z Cont 2 rotateaboutXaxistoputthelineonXOZ ThenP2is a 0 d Transformationmatrix 变换矩阵 Cont 3 RotateaboutYaxistooverlapthelinewithZaxis X Y Z Cont X Y Z 4 RotateaboutZaxisnamelythelinethrough Cont X Y Z P1 P2 Cont 4 recoverthecoordinatesystemThefinaltransformationis R T1 1 Rx 1 Ry 1 Rz Ry Rx T1 Cont 关于任意直线 或平面 的反射可以分解为平移 旋转 使得指定的反射直线或平面与某坐标轴或平面重合 和关于坐标直线 或坐标平面 的反射 再加恢复变换 Exercisesoutclassroom Exercise4 11Givenaunitcubewithonecornerat 0 0 0 andanotheroppositecornerat 1 1 1 derivethetransforationsnecessarytorotatethecubeby degreeaboutthemaindiagonal 对角线 from 0 0 0 to 1 1 1 inthecounterclockwisedirectionwhenlookingalongthediagonaltowardtheorigin Exercisesoutclassroom Exercise4 14AnobjectistobescaledbyafactorSinthedirectionwhosedirectioncosinesare Derivethetransformationmatrix Twomethodsoftransformation Coordinatesystemfixed GraphicschangedGraphicsfixed Coordinatesystemchanged 1 坐标系不变 图形变换 2 图形不变 坐标系变换 变换的两种实现方法 Transformingcoordinatesystem Twomeans DefinethenewcoordinatesystemdirectlyDefineavectorinydirectionofthenewcoordinatesystem Cont 1 Defineanewsystem compositionoftransformations 1 translate T x0 y0 2 rotate R 3 scale 4 compositionofabovetransformations noticethesequence Cont Thematrixis Cont 2 Defineavectorinydirectionofnewsystem Yaxisis Xaxisis Transformationis Contrast VS TransformfromanoldcoordinatesystemtoanothernewcoordinatesystemThenewsystemisshownintherightfigure Modetransformation Cont Compositionoftranslationandrotation 当坐标系使用不同的缩放时 还需定义缩放补偿 4 3window to viewporttransformation WorldDomain 用户域WD 指程序员用来定义草图的整个自然空间 World coordinatesystem 用户坐标系WC 世界坐标系右手直角坐标系Window 窗口区W 在用户坐标系 世界坐标系WC 中预先选定的将产生图形显示的区域称为窗口 Relatedconcepts Cont ScreenDomain 屏幕域SD 设备输出图形的最大区域 是有限的整数域 Viewport 视图区V 在显示器坐标系中规定的显示图形的区域称为视 图 区 Screencoordinates 屏幕坐标系 normalized devicecoordinatesdevicecoordinates addressingbypixelsNDC 1 1 a a Windowasaviewfinder Cont 视见变换将用户坐标系中窗口内的图形变换到显示器中的视见区中产生显示 Window to Viewporttransformation Cont Cont transformmatrix 窗口 Wxl Wxr Wyb Wyt