高中数学 11.2.1第3课时排列的综合应用精品课件同步导学 新人教A版选修23.ppt

第3课时排列的综合应用 1 掌握几种有限制条件的排列 2 能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题 1 与数字有关的排列问题 难点 2 常见的解决排列问题的策略 重点 3 分类讨论在解题中的应用 易错点 思考以下几个问题 1 用0 1 2 3 4可以组成多少无重复数字的4位偶数或4位奇数 2 某伞厂生产的太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的 七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内 且恰有一种颜色涂在相对区域内 则不同颜色图案在此类太阳伞上最多有多少种 3 3位男生和3位女生共6位同学站成一排 若男生甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是多少呢 对于以上有限制条件排列的应用题 有哪些途径解决呢 1 在数字1 2 3与符号 五个元素的所有全排列中 任意两个数字都不相邻的全排列个数是 a 6b 12c 18d 24解析 符号 只能在两个数之间 这是间隔排列 排法有a33 a22 12种 答案 b 2 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 a 36种b 42种c 48种d 54种 解析 先排丙 只有一种排法 若甲排第一位 则其余4个节目共有a44 24种排法 若甲排第二位 乙有3种排法 其余3个节目共有a33种排法 3 a33 18 共有24 18 42种 答案 b 3 用数字1 2 3 4 5可以组成没有重复数字 并且比20000大的五位偶数共有 解析 个位数字是2的有3a33 18个 个位数字是4的有3a33 18个 所以共有36个 答案 36 4 某天课程表要排入政治 语文 数学 物理 化学 体育共6门课程 如果第一节不排体育 最后一节不排数学 一共有多少种不同的排法 解析 不考虑任何条件限制共有a66种 其中包括不符合条件的有 1 数学排在最后一节 有a55种 2 体育排在第一节 有a55种 但这两种情况都包含着数学排在最后一节 体育排在第一节的情况有a44种 即重复 故以上共有a66 2a55 a44 504种 用0 1 2 3 4 5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字 1 六位奇数 2 个位数字不是5的六位数 3 不大于4310的四位偶数 奇偶数问题先对个位进行限制 又因为 0 的存在 首位也是特殊位置 因此 0 首位和末位要同时考虑 若正面考虑情况较复杂时 可用间接法求解 解题过程 1 方法一 直接法 第一步 排个位 有a31种排法 第二步 排十万位 有a41种排法 第三步 排其他位 有a44种排法 故共有a31a41a44 288个六位奇数 方法二 排除法 6个数字全排列有a66个 0 2 4在个位上的排列数有3a55个 1 3 5在个位上且0在十万位上的排列数有3a44个 故对应的六位奇数的排列数为a66 3a55 3a44 288 个 2 方法一 排除法 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数 这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况 故符合题意的六位数共有a66 2a55 a44 504 个 方法二 直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同 因此需分两类 第一类 当个位排0时 有a55个 第二类 当个位不排0时 有a41a41a44个 故共有符合题意的六位数有a55 a41a41a44 504 个 3 当千位上排1 3时 有a21a31a42个 当千位上排2时 有a21a42个 当千位上排4时 形如40 42 的各有a31个 形如41 的有a21a31个 形如43 的只有4310和4302这两个数 故共有a21a31a42 a21a42 2a31 a21a31 2 110 个 题后感悟 排列问题的本质是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上 或某个位子不排某些元素 解决该类排列问题的方法主要是按 优先 原则 即优先排特殊元素或优先满足特殊位子 若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时 应分类讨论 1 保持例1条件不变 1 求多少个被5整除的五位数 2 求多少个被3整除的五位数 3 若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 an 则240135是第几项 解析 1 个位上的数字必须是0或5 个位上是0 有a54个 个位上是5 若不含0 则有a44个 若含0 但0不作首位 则0有a31种排法 其余各位a43种排法 故共有a54 a44 a31a43 216 个 被5整除的五位数 2 被3整除的条件是各位上数字之和能被3整除 则5个数可能有 1 2 3 4 5 和 0 1 2 4 5 两种情况 能够组成的五位分别为a55和a41a44 故能被3整除的五位数有a55 a41a44 216 个 3 由于是六位数 首位数字不能为0 首位数字为1有a55个数 首位数字为2 万位上为0 1 3中的一个有3a44个数 240135的项数是a55 3a44 1 193 即240135是数列的第193项 三个女生和五个男生排成一排 1 如果女生全排在一起 有多少种不同排法 2 如果女生互不相邻 有多少种不同排法 3 如果女生不站两端 有多少种不同排法 4 如果甲排在乙的前面 有多少种不同排法 5 如果甲 乙两人必须站两端 有多少种不同的排法 6 如果甲不站左端 乙不站右端 有多少种不同排法 3 这是一个有限制条件的排列问题 特殊元素是某女生 排头和排尾是特殊位置 需将问题合理分类 分步再计算 4 甲 乙顺序确定 先排其余6人 规范解答 1 捆绑法 由于女生排在一起 可把她们看成一个整体 这样同五个男生合在一起有6个元素 排成一排有a66种排法 而其中每一种排法中 三个女生间又有a33种排法 因此共有a66 a33 4320种不同排法 2分 2 插空法 先排5个男生 有a55种排法 这5个男生之间和两端有6个位置 从中选取3个位置排女生 有a63种排法 因此共有a55 a63 14400种不同排法 4分 3 方法一 位置分析法 因为两端不排女生 只能从5个男生中选2人排列 有a52种排法 剩余的位置没有特殊要求 有a66种排法 因此共有a52 a66 14400种不同排法 6分 方法二 元素分析法 从中间6个位置选3个安排女生 有a63种排法 其余位置无限制 有a55种排法 因此共有a63 a55 14400种不同排法 6分方法三 间接法 3个女生和5个男生排成一排共有a88种不同的排法 从中扣除女生排在首位的a31 a77种排法和女生排在末位的a31 a77种排法 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次 在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次 所以还需加回来一次 由于两端都是女生有a32 a66种不同的排法 所以共有a88 2a31a77 a32a66 14400种不同的排法 6分 方法二 甲 乙两人定序 先安排其余6人 问题转化为从8个位置中选出6个位置安排6人 共有a86 8 7 6 5 4 3 20160种排法 此时甲 乙按已定顺序排在其余的2个位置 8分 5 甲 乙为特殊元素 先将他们排在两头位置 有a22种 其余6人全排列 有a66种 共有a22a66 1440种 10分 6 甲 乙为特殊元素 左 右两边为特殊位置 方法一 特殊元素法 甲在最右边时 其他的可全排 有a77种 甲不在最右边时 可从余下6个位置中任选一个 有a61种 而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上 有a61种 其余人全排列 共有a61a61a66种 由分类计数原理 a77 a61a61a66 30960种 12分 方法二 特殊位置法 先排最左边 除去甲外 有a71种 余下7个位置全排有a77种 但应剔除乙在最右边时的排法a61a66种 共有a71a77 a61a66 30960种 12分方法三 间接法 8个人全排 共a88种 其中 不合条件的有甲在最左边时a77种 乙在最右边时a77种 其中都包含了甲在最左边 同时乙在最右边的情形 有a66种 共有a88 2a77 a66 30960种 12分 题后感悟 排队问题常用的几种方法 2 7名师生站成一排照相留念 其中老师1人 男生4人 女生2人 在下列情况下 各有多少种不同的站法 1 两名女生必须相邻而站 2 四名男生互不相邻 3 老师不站中间 女生不站两端 解析 1 两名女生站在一起 有a22种站法 将其视为一个元素与其他5人全排 有a66种排法 故两名女生必须相邻而站共有a22 a66 1440 种 站法 2 先站老师和女生 有站法a33种 再在老师和女生之间的空当 含两端 处插入男生 每空一人 有插入方法a44种 故四名男生互不相邻共有不同的站法a33 a44 144 种 3 中间和两端是特殊位置 可进行如下分类求解 老师站两端之一 另一端由男生站 有a21 a41 a55种站法 两端全由男生站 老师站除两端和正中外的另外4个位置之一 女生站余下的除两端外的4个位置中的2个 有a41 a42 a44种站法 故共有不同的站法a21 a41 a55 a41 a42 a44 960 1152 2112 种 某校为庆祝2010年国庆节 安排了一场文艺演出 其中有3个舞蹈节目和4个小品节目 按下面要求安排节目单 有多少种方法 1 3个舞蹈节目互不相邻 2 3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间 第 1 问可以先安排4个小品 然后让3个舞蹈插空 第 2 问彼此相间时安排方式只能是小品占1 3 5 7 舞蹈占2 4 6 故分两步 先安排小品 再安排舞蹈或先安排舞蹈再安排小品 解题过程 1 先安排4个小品节目 有a44种排法 4个小品节目中和两头共5个空 将3个舞蹈节目插入这5个空中 共有a53种排法 共有a44 a53 1440 种 排法 2 由于舞蹈节目与小品节目彼此相间 故小品只能排在1 3 5 7位 舞蹈排在2 4 6位 安排时可分步进行 方法一 先安排4个小品节目在1 3 5 7位 共a44种排法 再安排舞蹈节目在2 4 6位 有a33种排法 故共有a44 a33 144 种 排法 方法二 先安排3个舞蹈节目在2 4 6位 有a33种排法 再安排4个小品节目在1 3 5 7位 共a44种排法 故共有a33 a44 144 种 排法 题后感悟 处理元素 相邻 不相邻 或 元素定序 问题应遵循 先整体后局部 的原则 元素相邻问题一般用 捆绑法 元素不相邻问题一般用 插空法 3 某次文艺晚会上共演出8个节目 其中2个唱歌 3个舞蹈 3个曲艺节目 求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种 1 一个唱歌节目开头 另一个放在最后压台 2 2个唱歌节目互不相邻 3 2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻 解析 1 先排唱歌节目有a22种排法 再排其他节目有a66种排法 所以共有a22 a66 1440 种 排法 2 先排3个舞蹈节目 3个曲艺节目有a66种排法 再从其中7个空 包括两端 中选2个排唱歌节目 有a72种插入方法 所以共有a66 a72 30240 种 排法 3 把2个相邻的唱歌节目看作一个元素 与3个曲艺节目排列共a44种排法 再将3个舞蹈节目插入 共有a53种插入方法 最后将2个唱歌节目互换位置 有a22种排法 故所求排法共有a44 a53 a22 2880 种 排法 1 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 2 有限制条件的排列问题的类型及解题策略 1 含有特殊元素或特殊位置 通常优先安排特殊元素或特殊位置 称为 特殊元素 或位置 优先考虑法 2 某些元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排序 这种方法称为 捆绑法 即 相邻元素捆绑法 3 某些元素要求不相邻时 可以先安排其他元素 再将这些不相邻元素插入空当 这种方法称为 插空法 即 不相邻元素插空法 4 符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差 故求符合条件的种数时 可先求与其对立的不符合条件的种数 进而求解 即 间接法 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译 导游 导购 保洁四项工作 若其中甲 乙两名志愿者都不能从事翻译工作 则选派方案共有多少种 错解 因为甲 乙二人都不能从事翻译工作 所以让他们二人从事导游 导