“动中寻定”处理函数零点存在问题.doc

“动中寻定”处理函数零点存在问题零点问题是近年来高考的热点问题之一，其作为函数图像的一个重要的特征，是沟通函数、方程、不等式等内容的桥梁，在寻找解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，高考试题中渗透零点知识的题型相当广泛。那么如何在条件不确定的情况下解决有关函数零点的问题？笔者发现在不确定因素中寻找确定的因素进行解题，是非常有效的策略，以下笔者举例说明，供读者参考。一、二次函数零点问题的”动中寻定”例1 已知0，二次函数。如果函数在区间（1，1）内有零点，则的取值范围为_。分析 本题在求解过程中，如果不注意挖掘隐含条件，就会产生多种情况讨论：（1）函数恰有一个零点在区间（1，1）内，则有；（2）函数的两个零点都在区间（1，1）内，则有；（3）f(1)=0（或f(-1)=0）时，另一个零点在区间（1，1）内，则有（或）；（4）当只有一个零点时，该零点在区间（1，1）内，则有。xyO因此需要那片匠情况较多，计算繁琐。虽然函数中有不确定的参数a，如果我们充分挖掘隐含条件，从不定中寻找确定的条件，则可使解题化繁为简。动中寻定：因为a0，所以对称轴，且与y轴的截距0，所以函数f(x)的大致图像可确定，如图所示。若函数内有零点，则有或，解得。评析 在对某一问题进行分析时，我们通常会将此问题存在的所有可能情况进行分类讨论，但问题的考察通常只针对多种情况中的某一个方面，因此在解决问题时，应该具体问题具体分析，不能一概而论。本题通过从不确定的因素中找到确定的因素，进而将函数定型，使问题简洁求解。二、参数分离后的“动中寻定”参数分离法是求参数取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，进而确定参数的变化范围。此方法可有效避免分类讨论，使问题得到简单明快的解决。常用于求解不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数取值范围问题。 例2 已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_分析 此题若直接求解，需做如下讨论：首先由的函数值为非负，可以判断。当时，或，或恒为正，此时只要就可以保证有两个根；当时，或，即或，由于后者的判别式恒成立，再加上后者所对应的函数开口向上，对称轴所对应的x小于零，可知后者始终有两个不同的负根，所以必使前者的方程无根，即，.综上所述：.动中寻定：函数恰有4个零点等价于有4个解，因为，所以只要画出的图象即可，如右图： 可知与有4个交点时.评析 数形结合可将数与形建立起对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的处理，化难为易，化抽象为直观。由于零点问题蕴含着丰富的数形结合思想，所以在高考试卷中一直备受青睐。本题经过参数分离将不确定的函数零点问题，转化为确定函数的交点问题。此法简便易行,是解决此类问题的最佳解法。三、函数分离后的“动中寻定”对于某些复杂函数零点问题，我们无法利用常规方法或导数方法描绘出函数的图像，应考虑是否可以将复杂的函数分解为我们所熟悉的基本初等函数来解决问题。例3 函数的零点个数为 。分析 本题利用常规方法或导数法都不能直接求解。动中寻定：令，即，设，在同一个直角坐标中分别作出它们的图像，的图像与的图像的交点个数有两个，故函数的零点个数为2个。评析 本解法将复杂的分解为两个我们所熟悉的函数，即与，借助两函数图像的交点来判定原函数零点个数。四、导数背景下函数零点的处理导数具有丰富的数学内涵和表现形式，它是解决函数的图象、性质以及方程、不等式等问题的利器，而导数的零点则是展示其工具性的一个关键点，因此导函数的零点问题自然就成为高考题中的热点、难点。近几年全国各地数学高考中有关导数及其应用的综合问题，特别强调利用导数法解决函数零点问题。例4 设函数，其中为实数若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论分析 本题若利用函数、导数推理论证，需要做如下讨论：由，当时，在上是增函数又，此时有1个零点.当时，；，若即，则有1个零点若即，则有2个零点，下面给出证明：由，知在上有1个零点，下面只要证明在上有1个零点只要证：即可只要证：,即证：在时恒成立设，在时恒成立所以在时是增函数所以在时是增函数 ，即在时恒成立综上，当或时，有1个零点；当时，有2个零点动中寻定：令，则，的零点个数即为与图像交点的个数令，则当，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取到最大值当时，；当时，图像如图：由图可知：当 或时，有1个零点；当时，有2个零点评析 本解法将的零点个数问题转化为函数与图像交点的个数的问题利用导数作出函数的简图，数形结合，形象直观.总之，函数零点问题越来越受高考出题