1112高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修22.ppt

2 3数学归纳法 理解数学归纳法的概念 掌握数学归纳法的证题步骤 本节重点 数学归纳法的原理及步骤 本节难点 用数学归纳法证题的步骤 技巧 在应用数学归纳法的过程中 第 步 验证n n0时结论成立的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2 3等 第 步 证明n k 1时命题也成立的过程中 一定要用到归纳假设 否则就不是数学归纳法 这两个步骤缺一不可 前一步是递推的基础 后一步是递推的依据 缺了哪一步得出的结论也是错误的 另外 归纳假设中要保证n从第一个数n0开始 即假设n k k n0 时结论成立 括号内限制条件改为k n0就错了 用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化 如证明恒等式和不等式中 n 1时究竟有几项 从n k到n k 1的过渡到底项有哪些变化 添了几项 减了几项 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 归纳奠基 证明当n取时命题成立 归纳递推 假设 第一个值n0 n0 n n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 2 应用数学归纳法时特别注意 1 用数学归纳法证明的对象是与有关的命题 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 正整数n 点评 证明过程的关键是第二步由n k到n k 1的过渡 要设法将待证式与归纳假设建立联系 并朝n k 1证明目标的表达式变形 分析 按照数学归纳法的步骤证明 在由n k到n k 1的推证过程中应用了放缩技巧 使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一 点评 用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法 即在归纳假设的基础上 通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式 例3 求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n n a r 分析 证明整除性问题的关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题得以解决 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设知 上式能被a2 a 1整除 故当n k 1时命题也成立 由 1 2 知 对一切n n 命题都成立 点评 对于多项式a b 如果a bc c也是多项式 那么a能被b整除 在推证n k 1时 为了凑出归纳假设 采用了 加零分项 技巧 a a 1 2k 1 a a 1 2k 1 另外 在推证n k 1命题也成立时 还可以用整除的定义 将归纳假设表示出来 假设n k时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 q a q a 为多项式 所以 a 1 2k 1 a2 a 1 q a ak 1 所以n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 ak 2 a 1 2 a 1 2k 1 ak 2 a 1 2 a2 a 1 q a ak 1 ak 2 a 1 2 a2 a 1 q a a 1 2ak 1 a 1 2 a2 a 1 q a ak 1 a2 a 1 显然能被a2 a 1整除 即n k 1时 命题亦成立 求证 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 证明 1 显然 当n 1时 命题成立 即x1 y1能被x y整除 2 假设当n 2k 1 k n 时命题成立 即 x y 能整除x2k 1 y2k 1则当n 2k 1时 x2k 1 y2k 1 x2x2k 1 x2y2k 1 x2y2k 1 y2y2k 1 x2 x2k 1 y2k 1 x y x y y2k 1 x y能整除 x2k 1 y2k 1 又x y能整除 x y x y y2k 1 x y 能整除 x2k 1 y2k 1 由 1 2 可知当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 例4 平面内有n个圆 其中每两个圆都交于两点 且无三个及以上的圆交于一点 求证 这n个圆将平面分成n2 n 2 n n 个区域 分析 本题关键是弄清第k 1个圆与前k个圆的交点个数 以及这些交点又将第k 1个圆分成了多少段弧 每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的 证明 1 当n 1时 1个圆将平面分成2个区域 命题显然成立 2 假设当n k k n 时命题成立 即k个圆将平面分成k2 k 2个区域 则当n k 1时 第k 1个圆交前面k个圆于2k个点 这2k个点将第k 1个圆分成2k段弧 每段弧将各自所经过的区域一分为二 于是增加了2k个区域 所以这k 1个圆将平面分成k2 k 2 2k个区域 即 k 1 2 k 1 2个区域 故当n k 1时 命题也成立 由 1 2 可知 对一切n n 命题都成立 点评 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析 在实在分析不出来的情况下 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 例5 是否存在常数a b c使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n成立 证明你的结论 分析 先取n 1 2 3探求a b c的值 然后用数学归纳法证明对一切的n n a b c所确定的等式都成立 点评 本题是探索性命题 它通过观察 归纳 猜想 证明这一完整的思路过程去探索和发现问题 并证明所得结论的正确性 这是非常重要的一种思维能力 已知数列 an 的第一项a1 5且sn 1 an n 2 n n 1 求a2 a3 a4 并由此猜想an的表达式 2 用数学归纳法证明 an 的通项公式 解析 1 a2 s1 a1 5 a3 s2 a1 a2 10 a4 s3 a1 a2 a3 5 5 10 20 猜想an 5 2n 2 n 2 n n 一 选择题1 用数学归纳法证明1 2 2n 1 n 1 2n 1 时 在验证n 1成立时 左边所得的代数式是 a 1b 1 3c 1 2 3d 1 2 3 4 答案 c 解析 当n 1时 2n 1 2 1 1 3 所以左边为1 2 3 故应选c 答案 d 答案 b 答案 1 2 3 4 解析 当n 1时 n 3 4 所以等式左边为1 2 3 4 5 用数学归纳法证明某个命题时 左边为1 2 3 4 2 3 4 5 n n 1 n 2 n 3 从n k到n k 1左边需增加的代数式为 答案 k