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不 等 式 创 新 题四川省 毛仕理 1. 设，比较与的大小 解析：思路1 作两个实数与的差，考查它们差的符号，这里的差的符号还需利用二次三项式的判别式的符号来确定 解法l 二次三项式的判别式为 二次三项式的判别式为 恒成立 ， 即。 思路2 作差后还可以用配方的方法证明它大于0 解法2 。 点评：作差之后，有许多同学感到无从下手，有的用特殊值法，还有的这样讨论：，而有正有负，需分类讨论，这些方法都是片面的事实上，二次三项式的符号确定，用判别式较为简单 判别式法对于解决作差之后为二次三项式的符号的判别有独特作用，如果变量是多个，以其中一个为主元，然后用判别式 变式1.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为，另一半时间的速度为，乙车用速度行走一半路程，用速度行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地 解析：本题变化点侧重于考查作差法比较两实数大小的基本知识，考查将实际问题转化为数学问题的能力先算出每辆车到达B地所需时间，然后比较二者大小即可 设A、B两地的路程为，甲、乙两车所用时间分别为，则，. ，又， 故甲先到达B地 变式2.已知，且中至少有三个同号()，试比较与的大小 解析 本题变化点侧重于考查不等式性质的基础知识，考查分类讨论的思想依中正数的个数分4种情况，利用不等式性质分别比较与的大小 依题可分4种情况讨论： (1)若均为正数，则由，知 (2)若均为负数，则由，知，即 (3)若中有三个正数，一个负数时，均为正，异号,，此时 (4)若中有三个负数，一个正数时，,均负，异号，此时。 综上可知，当中至少有三个正数时，当中至少有三个负数时，。 变式3. 设，且+恒成立，则的最大值是( ) A2 B3 C4 D5 解析：本题变化点是以开放性命题形式考查不等式的基本性质、不等式的恒等变换，必须具有十分灵活的处理选择题的手段，方能找到解题入口 当时，有，的最大值不超过4， 又+-=- 且 的最大值为4 答案C 2.已知为正数，且，求的最大值以及达到最大值时的值 解析 为正数， = =(+)=(+1)=.当时，即取“=”号当a=且b=时, a的最大值为.点评 在求解过程中，有的同学急于运用均值不等式，使解答陷入僵局，1= a2+2a=ab, ab.而a=,无法利用ab. 求积的最值，逆向利用均值不等式是常用的方法当然本题亦可利用配方法求解：(a)2=a2(1+b2)=(1-)(1+b2)=-(b2-)2+,a，当b2=时等号成立 变式1 某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问，能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用?写出你的结论，并说明理由 解析 本题变化点侧重于考查综合应用所学知识解决实际问题的能力，考查建立函数关系、均值不等式等基础知识问题可归结为：每批购入x台为何值时，全年的运费和保管费之和最小，再用这个最小值与全年现有资金24000元比较即可 设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数为k，每批购入x台，则共需分批，每批费用为2000x元， 由题得y=400+k2000x， 由x=400时，y=43600，得k=. y=400+100x224000(元) 当且仅当400=100x，即x=120时，上式等号成立 故只需每批购入120台，可以使资金够用 变式2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x2上移动，设线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解析 本题变化点侧重于把几何问题放到坐标系下研究利用中点坐标公式、两点间距离公式及均值不等式求解 设线段AB的端点A(a，a2)、B(b，b2)，中点M(x，y) x= y= (a-b)2+(a2-b2)2=9，(a-b)2(a+b)2+1=9， (a-b)2(1+4x2)=9 由-2，得y-x2=-= (a-b)2=4y-4x2 把代入，得(4y-4x2)(1+4x2)=9， 4y=+4x2=+(1+4x2)-15,y 当(1+4x2)2=9时，取“=”号，即x=时，等号成立 故当中点坐标为(，)或(-，)时，y的最小值为 3.设n是正整数，求证+n(k=1，2，n)当k=1时, ，当k=2时，当k=n时， ，=+=1 点评 用放缩法证明不等式，放缩要适当，否则会走入困境如:证明+ 略证 由a 或. 或， 解集为 变式3 设不等