复合命题及其推理.ppt

第三章复合命题及其推理 第三章复合命题及其推理一 判断 第2页二 命题 第3页三 命题和语句的关系 第4页四 命题的分类 第5页五 命题形式 第7页六 复合命题及其推理 第8页七 由复合命题构成的推理 第56页 1 一 判断判断是对对象有所断定并且具有真假的思维形式 所谓 有所断定 是指对对象情况 事件 的肯定或否定 如 所谓 具有真假性 就是指对对象的断定有真或假的不同 如果对对象情况 事件 的判定符合它们的实际情况 判断即为真 是真判断 反之 则是假判断 如 真 假 商品是用来交换的劳动产品 如果某甲是故意犯罪 那么就一定有犯罪的动机 有的企业不是国有企业 所有的妻子都是贤惠的 并非所有的鸟都会飞 2 二 命题命题是反映事物情况的思维形式 命题的语言形式是陈述句 在形式逻辑学中 tobeexact 二值逻辑中 命题总是非真即假的 如实反映对象情况的命题是真命题 没有如实反映对象情况的命题是假命题 如 在逻辑学中把命题的真和假称为命题的真值 真命题有真的真值 记为T true的第一个字母 假命题有假的真值 记为F false的第一个字母 在现代哲学 数学 逻辑学 语言学中 命题是指一个判断 陈述 的语义 实际表达的概念 这个概念是可以被定义并观察的现象 命题不是指判断 陈述 本身 而是指所表达的语义 当相异判断 陈述 具有相同语义的时候 他们表达相同的命题 李白是唐代诗人 真 假 美国是有2000年历史的国家 3 三 命题和语句的关系1 同一命题可以用不同语句表达 2 同一语句可以表达不同的命题 例1 成都今天必然下雨 成都今天不可能不下雨 以上两句话是同一命题的不同语句表达 例2 有一个青年人请算命先生算算自己父母的吉凶祸福 算命先生掐指一算说 你家一定是父在母先亡 这句话实际上可以表达以下六个命题 1 母亲还健在而父亲已先去世 2 父亲还健在而母亲已先去世 3 父母均已去世 并且父在母之前去世 4 父母均已去世 并且母在父之前去世 5 父母均还健在 而父将在母之前去世 6 父母均还健在 而母将在父之前去世 4 四 命题的分类 命题的分类 非模态命题 不含模态词 模态命题 必然 可能 简单命题 复合命题 直言命题 关系命题 联言命题选言命题假言命题负命题 5 1 简单命题构成成分 主词 谓词 系词 量词 例如 厦门是沿海城市 有些邮票是珍品 曹丕和曹植是兄弟 2 复合命题构成成分 简单命题和联结词 例如 李四是作案人或者张三是作案人 并非有些鸟不是卵生的 6 五 命题形式命题形式指命题的形式结构 是命题的一般抽象 回忆前章的例子 在复合命题的命题形式中 我们通常用小写字母p q r 表示复合命题中出现的简单命题 前面提到 复合命题把其支命题作为分析的最小单位 在其命题形式中用上述小写字母表示支命题 不考虑支命题的内部结构 所有能被2整除的整数都是偶数 其命题形式是 所有S是P 如果摩擦物体 则物体生热 其命题形式是 如果p则q 注意以上两个例子的区别 命题 proposition真值 truthvalue联结词 connective 7 六 复合命题及其推理1 复合命题是由简单命题用逻辑联结词联结而成的命题 命题联结词的作用之一就是将支命题联结成为复合命题 更重要的是 不同的命题联结词反映了不同的复合命题与其支命题之间的真假关系 这种真假关系就是不同的复合命题各自的特性 复合命题推理就是依据逻辑联结词的特性进行的推理 注 通过联结词构成复合命题的命题叫做复合命题的支命题 它是复合命题的变项 支命题可以是简单命题 也可以是复合命题 联结词对复合命题的类型和性质起决定性作用 它是复合命题的常项 研究复合命题时 把其支命题作为分析的最小单位 而不考虑简单命题的内部结构 8 2 复合命题的类型依据逻辑联结词 可以将复合命题分为 1 联言命题 2 选言命题 3 假言命题 4 负命题3 复合命题推理复合命题推理就是以复合命题为前提或结论 并且根据复合命题的逻辑性质进行的推理 可分为 1 联言推理 2 选言推理 3 假言推理 4 负命题推理 9 4 负命题 negation 定义 否定一个命题得到的命题 例如 并非所有外商都是说英语的 并非语言是上层建筑或者是经济基础 在日常语言中 表达负命题的联结词有时用 并不是 是假的 是错误的 是不成立的 等 注 负命题否定的命题是它的支命题 负命题的支命题可以是简单命题也可以是复合命题 日常语言中 否定联结词也置于被否定命题中间 例如 微生物并不都是微小的 荷兰不是世界杯冠军 并非荷兰是世界杯冠军 改变否定联结词位置时注意隐含的量词 10 例如 苹果不是红色的 和 并非苹果是红色的 不是等价的 负命题的否定联结词作用于命题上 在日常语言中 否定词是不是作用于命题要作具体分析 例如 非女莫入 不是负命题 负命题的命题形式为 并非p 并非 通常用符号 表示 因此 并非p 又可表示为 P负命题的真值表 真值表是用以定义命题联结词 确定复合命题真值的图表 负命题的真值表是 即 支命题真 则负命题假 支命题假 则负命题真 11 5 联言命题及其推理 1 定义 陈述若干事物情况同时存在的命题称为联言命题 例如 牛顿是数学家并且是物理学家 构成联言命题的支命题叫做联言支 一个联言命题的联言支可以不止两个 例如 各级党组织要积极发现 培养 选拔中青年干部 三个支命题 此例子还告诉我们日常语句表达联言命题相当灵活 为了语言简练时常省略联言命题的联结词 在日常语言中 表达联言命题的联结词还有 一方面 另一方面 又 也 而 不仅 而且 不但 还 虽然 但是 尽管 可是 等等 12 2 二元联言命题的命题形式为 p并且q 并且 通常用符号 表示 因此 p并且q 又可表示为 p q读作 p合取q 称为合取式 合取式 conjunction 3 二元联言命题的真值表 p q的真值取决于p和q的真值 即 当联言支都真时 联言命题为真 当联言支不都真时 联言命题为假 由此可见 反驳一个联言命题只要反驳一个联言支即可 13 二元联言命题的有效推理形式 分解式 从一个联言命题真推出其中的联言支为真 所以 p 所以 q p q p p q q p并且q p并且q 例如 业精于勤而荒于嬉 所以 业精于勤 14 二元联言命题的有效推理形式 合成式 由各个联言支的真 推出由这些联言支组成的联言命题真 例如 建设物质文明是实现四个现代化的需要 建设精神文明是实现四个现代化的需要 所以 建设物质文明和精神文明都是实现四个现代化的需要 所以 p并且q pq p q pq 15 6 选言命题及其推理 1 定义 选言命题是对事物的若干可能情况做出判定的命题 选言命题中的支命题叫做选言支 例子 李四或者喜欢经济学或者喜欢数学 今天张三或者去上逻辑课或者逃课 注 第一句中的两个支命题可以同时为真 即 李四可以既喜欢经济学又喜欢数学 而第二句中的两个支命题不能同时为真 即 张三不能既上逻辑课同时又逃课 于是 根据选言支能否同时存在将选言命题分为两类 相容选言命题和不相容选言命题 16 相容选言命题定义 所谓相容选言命题是指选言支中至少有一真的选言命题 相容指可以同时为真 再举几个例子 小王懂英语或者懂日语 张三迟到或者因为闹钟坏了或者因为塞车 在日常语言中 表达相容选言命题的联结词还有 或 可能 可能 也许 也许 等等 二元相容选言命题的命题形式为 p或者q 或者 通常用符号 表示 因此 p或者q 又可表示为 p q读作 p析取q 称为析取式 析取式 disjunction 17 二元相容选言命题的真值表 p q的真值取决于p和q的真值 即 只要有一个选言支为真 相容选言命题就为真 当选言支没有一个真时 相容选言命题为假 由此可见 反驳一个相容选言命题必须要反驳每一个选言支 18 例题 某岛上男性公民分为骑士和无赖 骑士只讲真话 无赖只讲假话 甲和乙是该岛上的两个土著居民 关于他俩 甲说了这句话 或者我是无赖 或者乙是骑士 根据上述条件 可以推出的是 A 甲和乙都是骑士B 甲和乙都是无赖C 甲是骑士 乙是无赖D 甲是无赖 乙是骑士 对例题的分析 如果我们假设甲是无赖 那么甲说的话 或者我是无赖 或者乙是骑士 就为假 于是想要反驳甲的话 就必须指出 甲是无赖 和 乙是骑士 同时为假 19 二元相容选言命题的有效推理形式 相容选言命题只有一种有效推理形式 即否定肯定式 p或者q非p p或者q非q 所以 p p q p q p q q p 所以 q 例如 老王或者是医生 或者是教师 老王不是医生 所以 老王是老师 有效推理 注意 在相容选言命题中 因为各选言支可以同时为真 所以肯定一个选言支不能否定另一个选言支 例如 该案的作案人或者是甲 或者是乙 现已查明该案的作案人是甲 所以 该案的作案人不是乙 无效推理 20 不相容选言命题定义 所谓不相容选言命题是指选言支中有而且仅有一真的选言命题 不相容指不可以同时为真 再举几个例子 在选举时 选民要么投赞成票 要么投反对票 要么弃权 西班牙和荷兰进入决赛 要么西班牙夺冠 要么荷兰夺冠 在日常语言中 表达不相容选言命题的联结词还有是 不是 就是 二元不相容选言命题的命题形式为 要么p 要么q其含义是 或者p或者q 但并非p且q用符号表示为 p q p q 为了简洁 通常用符号 p q 表示上式 21 二元不相容选言命题的真值表 p q的真值取决于p和q的真值 即 当选言支仅有一真时 不相容选言命题为真 当选言支都真或都假时 不相容选言命题为假 由此可见 反驳一个不相容选言命题要么指出各选言支同时假要么指出各选言支同时真 22 二元不相容选言命题的有效推理形式 不相容选言命题有两种有效推理形式 否定肯定式 要么p 要么q非q 所以 p p q p p q q 要么p 要么q非p 所以 q q p 例 被告甲的行为要么是故意犯罪 要么是过失犯罪 法庭查明被告甲的行为不是故意犯罪 所以 被告甲的行为是过失犯罪 有效推理 23 肯定否定式 要么p 要么qq 所以 非p p qp p qq 要么p 要么qp 所以 非q q p 例 要么甲有罪 要么乙有罪 经查明甲有罪 所以 乙没有罪 有效推理 24 例题 小李考上了清华 或者小孙没考上北大 增加以下哪项条件 能推出小李考上了清华 A 小张和小孙至少有一人未考上北大 B 小张和小李至少有一人未考上清华 C 小张和小孙都考上了北大 D 小张和小李都未考上清华 25 等价命题 直观上 任何时候都同真且同假的两个命题称为等价命题 形式上 含有相同命题变元的两个命题 如果不管其命题变元如何取真值 总是保持同真且同假 则称这两个命题是等价命题 我们用符号 p q 表示命题p和q等价 常用等价命题 part1 p q q p 交换律 p q r p q r 结合律 p q q p 交换律 p q r p q r 结合律 p q r p q p r 分配率 p q r p q p r 分配率 26 负命题的负命题及其等价命题 负命题的负命题的逻辑形式是 p 例 并非我不是个好学生 并非并非我是个好学生 我是个好学生 于是 我们有 p p联言命题的负命题及其等价命题 联言命题的负命题的逻辑形式是 p q 例 并非某商品价廉又物美 某商品或者价不廉或者物不美 于是 我们有 p q p q 27 相容选言命题的负命题及其等价命题 相容选言命题的负命题的逻辑形式是 p q 例 并非语言是经济基础或是上层建筑 语言既不是经济基础也不是上层建筑 于是 我们有 p q p q不相容选言命题的负命题及其等价命题 不相容选言命题的负命题的逻辑形式是 p q 例 并非要么张三去 要么李四去 张三和李四都去或者张三和李四都不去 于是 我们有 p q p q p q 请证明上式成立 28 证明 前面我们规定p q p q p q 于是 p q p q p q p q p q p q p q p q p q 29 例题 班长 我认为小张和小刘两人中至少应该有一个人去轮训 副班长 我不同意 以下哪项最为准确地表达了副班长实际的意思 A 小张和小刘两人都得去轮训 B 小张和小刘两人都不能去轮训 C 小张和小刘两人中最多能去一个人 D 如果小张不去轮训 那么小刘应该去 30 例题 大小行星悬浮在太阳系边缘 极易受附近星体引力作用的影响 据研究人员计算 有时这些力量会将彗星从奥尔特星云拖出 这样 它们更有可能靠近太阳 两位研究人员据此分别作出了以下两种有所不同的断定 一 木星的引力作用要么将它们推至更小的轨道 要么将它们逐出太阳系 二 木星的引力作用或者将它们推至更小的轨道 或者将它们逐出太阳系 如果上述两种断定只有一种为真 可以推出以下哪项结论 A 木星的引力作用将它们推至最小的轨道 并且将它们逐出太阳系 B 木星的引力作用没有将它们推至最小的轨道 但是将它们逐出太阳系 C 木星的引力作用将它们推至最小的轨道 但是没有将它们逐出太阳系 D 木星的引力作用既没有将它们推至最小的轨道 也没有将它们逐出太阳系 31 7 假言命题及其推理 1 定义 陈述某一事物情况是另一事物情况的条件的命题 又称为条件命题 构成假言命题的支命题叫做假言支 其中 构成条件的假言支叫做假言命题的前件 受条件制约的假言支叫做后件 例如 如果李某还拿不出新的证据 那么李某就要败诉了 前件 后件 假言命题一般分为三类 充分条件假言命题 必要条件假言命题 充分必要条件假言命题 32 充分条件假言命题定义 前件是后件的充分条件的假言命题 充分条件是指 如果p存在 那么q一定存在 则称p是q的充分条件 即 有p必有q 例如 如果某人发烧了 那么他有病 在日常语言中 表达充分条件假言命题的联结词还有 只要 就 假如 就 要是 就 倘若 就 一旦 就 等等 充分条件假言命题的命题形式为 如果p 那么q 如果 那么 通常用符号 表示 因此 如果p 那么q 又可表示为 p q读作 p蕴涵q 称为蕴涵式 33 充分条件假言命题的真值表 即 当前件真后件假时 它是假的 前件真后件真时 它是真的 当前件假时 无论后件是真是假 它都是真的 ThedifficultyariseswiththetruthvalueTassignedtop qinthecaseswherepisfalse Considerationofexamplesofconditionalstatementsinwhichtheantecedentisfalsemightperhapsleadonetotheconclusionthatsuchstatementsdonothaveatruthvalueatall Onemightalsogaintheimpressionthatsuchstatementsarenotusefulormeaningful Forexample thestatement Ifgrassisredthenthemoonismadeofgreencheese couldfairlybesaidtobemeaningless 34 蕴涵怪论可见这种对蕴涵的定义并不是完美无缺的 因为它规定了从一个假命题蕴涵任何命题 例如 如果地球是方的 那么 地球会飞 和 如果地球是方的 那么 地球不会飞 根据真值表 这两个命题都是真的 从真值表还可以发现 当后件真时 无论前件如何 整个命题也都是真的 这就是说 一个真命题为任何命题所蕴涵 例如 如果太阳从东边出来 那么 地球是圆的 和 如果太阳不从东边出来 那么 地球是圆的 根据真值表 这两个命题都是真的 这就是逻辑史上两个有名的蕴涵怪论 35 讨论 为什么要这么定义蕴涵的真值 有没有合理性 证明1为最大的正整数 证明 设n为最大正整数 n为整数 n2亦为整数 又 n为最大正整数 n2 n n n2 0 n 1 n 0 n为整数 n 0 1 n 0 n 1 n 1 问题在哪 36 充分条件假言命题的有效推理形式 充分条件假言命题有两种有效推理形式 肯定前件式 p qp q 如果p 那么qp 所以 q 例如 如果这份经济合同是有效的 那么它是经双方同意的 经认定 这份经济合同是有效的 所以 它是经双方同意的 37 否定后件式 p q q p 如果p 那么q非q 所以 非p 例如 如果天下雨 那么体育课取消 体育课没有取消 则天没有下雨 38 注意 否定前件不能否定后件 肯定后件不能肯定前件 从否定前件或肯定后件出发推不出结论 例1 如果某甲是贩毒犯 那么某甲应受法律制裁 经查明 甲不是贩毒犯 所以 某甲不应受法律制裁 无效推理 例2 如果小张能评上优秀学生 那么小张的学习成绩好 已知小张的学习成绩好 所以 小张能评上优秀学生 无效推理 练习 娜娜最近买了一条新款淑女裙 朋友们急着想一睹风采 可娜娜却还在卖关子 只给她们一个提示 我这条裙子的颜色是红 黑 黄三种颜色其中的一种 娜娜一定不会买红色的 小晓说 不是黄的就是黑的 童童说 那一定是黑色的 光子说 最后 娜娜说 你们之中至少有一个人是对的 至少有一个人是错的 请问 娜娜的裙子到底是什么颜色的 39 必要条件假言命题定义 前件是后件的必要条件的假言命题 必要条件是指 如果p不存在 那么q一定不存在 则称p是q的必要条件 即 无p必无q 例如 只有甲年满十八岁 才有选举权 在日常语言中 表达必要条件假言命题的联结词还有 除非 否则 等 必要条件假言命题的命题形式为 只有p 才q根据必要条件假言命题的含义 只有p 才q 等于说 如果非p 那么非q 因此 只有p 才q 又可表示为 p q或者 p q 40 必要条件假言命题的真值表 即 当前件假后件真时 它是假的 前件假后件假时 它是真的 当前件真时 无论后件是真是假 它都是真的 41 必要条件假言命题的有效推理形式 必要条件假言命题有两种有效推理形式 否定前件式 p q p q p q p q 只有p 才q非p 所以 非q 例如 只有甲方付清贷款 才能提取货物 甲方未付清贷款 所以 甲方不能提取货物 42 肯定后件式 p qq p 例如 这份经济合同只有遵守国家法律法规 才具有法律效力 这份经济合同具有法律效力 所以 这份经济合同遵守国家法律法规 p q q p 只有 才qq 所以 p 43 注意 肯定前件不能肯定后件 否定后件不能否定前件 从肯定前件或否定后件出发推不出结论 例1 这篇文章只有遵守逻辑规律的要求 才能说是好文章 这篇文章遵守了逻辑规律的要求 所以 这是一篇好文章 无效推理 例2 只有懂古汉语 才能读懂 墨经 他读不懂 墨经 可见 他不懂古汉语 无效推理 44 充分必要条件假言命题定义 前件是后件的充分必要条件的假言命题 充分必要条件是指同时具有充分条件和必要条件的含义 如果p存在 那么q一定存在 而且 如果p不存在 那么q一定不存在 则称p是q的充分必要条件 即 有p必有q 无p必无q 例如 当且仅当这个三角形是等角的 则它是等边的 充分必要条件假言命题的命题形式为 p当且仅当q 当且仅当 通常用符号 表示 因此 p当且仅当q 又可表示为 p q读作 p等值q 称为等值式 45 充分必要条件假言命题的真值表 即 当前件和后件都真或都假时 它是真的 当前件和后件的真值不同时 它是假的 46 充分必要条件假言命题的有效推理形式 充分必要条件假言命题有四种有效推理形式 肯定前件式 p qp q 例如 当且仅当这个三角形是等角的 则它是等边的 这个三角形是等角三角形 所以 它是等边三角形 p当且仅当qp 所以 q 47 肯定后件式 p qq p 例如 当且仅当这个三角形是等角的 则它是等边的 这个三角形是等边三角形 所以 它是等角三角形 p当且仅当qq 所以 p 48 否定前件式 p q p q 例如 当且仅当这个三角形是等角的 则它是等边的 这个三角形不是等角三角形 所以 它不是等边三角形 p当且仅当q非p 所以 非q 49 否定后件式 p q q p 例如 当且仅当这个三角形是等角的 则它是等边的 这个三角形不是等边三角形 所以 它不是等角三角形 p当且仅当q非q 所以 非p 50 由充分必要假言命题的定义 容易看出 p q p q p q 另两个重要的结论是 p q p qp q q p 从真值表可证 注意 上述公式中的p和q可以是任意形式的命题 比如 p q p q 51 充分条件假言命题的负命题及其等价命题 充分条件假言命题的负命题的逻辑形式是 p q 例 并非如果天上出现彗星 那么人世间就有灾变 天上出现彗星 但人世间没有灾变 于是 我们有 p q p q上式可以如下推出 因为我们有 p q p q所以 p q p q p q p q 52 必要条件假言命题的负命题及其等价命题 必要条件假言命题的负命题的逻辑形式是 p q 例 并非只有年满十八岁 才有选举权 没有年满十八岁 但有了选举权 于是 我们有 p q p q上式可以如下推出 因为我们有 p q p q所以 p q p q p q p q 53 充分必要条件假言命题的负命题及其等价命题 充分必要条件假言命题的负命题的逻辑形式是 p q 其等价形式我们如下推出 因为 p q p q p q 所以 p q p q p q p q p q p q p q 例如 并非某青年当且仅当上过大学才能为四化建设做出重大贡献 考虑其等价的命题是什么 54 定义两个特殊的公式 p p 称为常假式 或矛盾式 称为永真式 易知 p p pp pp 思考题 p p 等价于什么 各种逻辑联结词结合力的规定 结合力依次降低 并且相同联结词规定为右向结合 例如 p q表示 p q 由于 结合力强于 所以括号可以省略 p q r表示p q r 55 七 由复合命题构成的推理1 多重复合推理 1 充分条件假言连锁推理 如果p 那么q 如果q 那么r 所以 如果非r 那么非p 如果p 那么q 如果q 那么r 所以 如果p 那么r p qq r r p p qq r p r 56 2 必要条件假言连锁推理 只有p 才q 只有q 才r 所以 如果非p 那么非r 只有p 才q 只有q 才r 所以 只有p 才r p q q r p r p qq r p r 57 3 反三段论 如果p且q 那么r 所以 如果q且非r 那么非p 如果p且q 那么r 所以 如果p且非r 那么非q p q r p r q p q r q r p 58 4 假言联言推理 如果p 那么q 如果r 那么s p且r 所以 q且s 如果p 那么q 如果r 那么s 非q且非s 所以 非p且非r p qr sp r q s p qr s q s p r 59 5 二难推理 例子 欲寄君衣君不还 不寄君衣君又寒 寄与不寄间 妾身千万难 从上例可以看出 所谓二难推理是由两个充分条件假言命题和一个含有两个选言支的选言命题构成 所谓二难 指的是对于选言前提所提出的两个选言支 无论选择哪一个 都会令人为难 但是应该注意到 二难推理的形式是有效的 而是否感到两难却不是形式上的问题 60 二难推理的有效推理形式肯定式 否定式 如果p 那么q 如果r 那么sp或者r 所以 q或者s 如果p 那么q 如果r 那么s非q或者非s 所以 非p或者非r p qr sp r q s p qr s q s p r 61 例子 如果张三思想觉悟高 那么他不会干出这种损公利己的事 如果张三业务能力强 那么他能解决这个普通工人也能解决