导数与微分的MATLAB求解.ppt

第7章导数与微分的MATLAB求解 编者 Outline 7 1导数概念7 2导数的MATLAB符号求解7 3函数的微分7 4微分中值定理7 5洛必达法则7 6泰勒公式7 7函数的单调性与曲线的凹凸性7 8函数的极值与最值7 9曲线的渐近线7 10曲率7 11方程的近似解7 12导数的数值求解 7 1导数概念 1 导数的定义设函数在点的某个邻域内有定义 当自变量在处取得增量 假设点仍在该邻域内 时 相应的函数取得增量 如果与之比当时的极限存在 则称函数在点处可导 并称这个极限为函数在点处的导数 记为 即也可记作或 将上面导数的定义式中的换为即可得到导函数的定义式根据函数在点处的导数的定义 导数是一个极限 而极限存在的充分必要条件是左 右极限都存在且相等 因此存在即在点处可导的充分必要条件是左 右极限及都存在且相等 这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数 记作及 即现在可以说 函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等 2 导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率 即其中是切线的倾角 如果函数在点处的导数为无穷大 这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置 即曲线在点处具有垂直于轴的切线 7 2导数的MATLAB符号求解 1 函数的导数与高阶导数MATLAB符号工具箱中提供了函数diff来求取一般函数的导数以及高阶导数 该函数的调用格式如下 D diff fx x n 运行结果如图所示 图函数导数的图形直观表示 2 隐函数的导数方程表示一个函数 因为当自变量在内取值时 变量有确定的值与之对应 例如 当时 当时 等等 这样的函数称为隐函数 一般的 如果变量和满足一个方程 在一定条件下 当取某区间内的任一值时 相应的总有满足这方程的唯一的值存在 那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数 隐函数求导的一般采用如下步骤 方程两边同时对求导 这里应注意 整理求得的表达式 即为隐函数的导数 3 由参数方程所确定的函数的导数若已知参数方程 则可以由如下递推公式求出 7 3函数的微分 微分的定义设函数在某区间内有定义 及在该区间内 如果增量可表示为其中是不依赖于的常数 那么称函数在点是可微的 而叫做函数在点相应于自变量增量的微分 记作 即下面讨论函数可微的条件 设函数在点可微 则由两边同时除以 得于是 当时 由上式就可得到因此 如果函数在点可微 则在点也一定可导 即存在 且反之 如果在点可导 即存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成其中 由此又有因 且不依赖于 故所以函数在点也是可微的 通常把自变量的增量称为自变量的微分 记作 即 于是 函数的微分又可记作从而有 这就是说 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做 微商 2 微分的几何意义在直角坐标系中 函数的图形是一条曲线 对于某一固定的值 曲线上有一个确定点 当自变量有微小增量时 就得到曲线上另一点 由图可知 过点作曲线的切线 它的倾角为 则即 微分的几何意义 7 4微分中值定理 1 罗尔定理为更好地理解罗尔定理 先介绍费马引理 设函数在点的某邻域内有定义 并且在处可导 如果对任意的 有那么 介绍罗尔定理 如果函数满足 在闭区间上连续 在开区间内可导 在区间端点处的函数值相等 即 那么在内至少有一点 使得 罗尔定理的直观演示如图所示 图罗尔定理图形直观表示 2 拉格朗日中值定理罗尔定理中这个条件是相当特殊的 它使罗尔定理的应用受到限制 如果把这个条件取消 但仍保留其余两个条件 并相应的改变结论 那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理 如果函数满足 在闭区间上连续 在开区间内可导 那么在内至少有一点 使得成立 关于拉格朗日中值定理的证明此处从略 这里仅介绍该定理的几何意义 如图所示 由于上式可以改写为且为弦的斜率 而为曲线在点处的切线的斜率 因此拉格朗日中值定理的几何意义是 如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线 那么该弧上至少有一点 使曲线在点处的切线平行于弦 而且易知 罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形 拉格朗日中值定理图形直观表示 3 柯西中值定理前面已经指出 如果连续曲线弧上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么这段弧上至少有一点 使曲线在点处的切线平行于弦 设由参数方程表示 如图所示 其中为参数 那么曲线上点处的切线的斜率为弦的斜率为假定点对应于参数 那么曲线上点处的切线平行于弦 可表示为柯西中值定理图形直观表示 7 5洛必达法则 1 型洛必达法则如果当时 两个函数与都区域零或趋于无穷大 那么极限可能存在 也可能不存在 通常把这种极限叫做未定式 并分别简记为或 关于未定式极限我们通常使用洛必达法 L Hospital 则求解 本小节先介绍和时的型未定式的求解方法 这里不加证明的给出如下两个定理 设函数与满足 当时 函数与都趋于无穷大 在点的某去心邻域内 与都存在且 存在 或为无穷大 那么 2 型洛必达法则下面我们着重介绍型的洛必达法则 事实上 这种形式的洛必达法则在实际中用的较多 而且型也可以由型变换得到 关于该种类型的洛必达法则同样有以下两个定理 设函数与满足 当时 函数与都趋于零 在点的某去心邻域内 与都存在且 存在 或为无穷大 那么 7 6泰勒公式 泰勒 Taylor 中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数 则对任一 有其中这里是与之间的某个值 多项式称为函数按的幂展开的次泰勒多项式 上述公式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式 而称为拉格朗日型余项 7 7函数的单调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判定法设函数在上连续 在内可导 在上任取两点 应用拉格朗日中值定理 得到由于 因此 如果在内导数保持正号 即 那么也有 于是即表明函数在上单调增加 同理 如果在内导数保持负号 即 那么也有 于是 即 表明函数在上单调减少 归纳以上讨论 即得以下定理 设函数在上连续 在内可导 如果在内 那么函数在上单调增加 如果在内 那么函数在上单调减少 2 曲线的凹凸性与拐点我们从几何上可以看到 在有的曲线弧上 如果任取两点 则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方 而有的曲线弧 则正好相反 曲线的这种性质就是曲线的凹凸性 因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点 即具有相同横坐标的点 的位置关系来描述 下面给出曲线凹凸性的定义 设在区间上连续 如果对上任意两点 恒有那么称在上的图形是 向上 凹的 或凹弧 如果恒有那么称在上的图形是 向上 凸的 或凸弧 如果函数在区间内具有二阶导数 那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性 这就是下面的曲线凹凸性的判定定理 这里仅就为闭区间的情形来叙述曲线凹凸性的判定定理 当不是闭区间时 定理类同 设在区间上连续 在内具有一阶和二阶导数 那么若在内 则在上的图形是凹的 若在内 则在上的图形是凸的 一般的 设在区间上连续 是的内点 如果曲线在经过点时 曲线的凹凸性改变了 那么就称点为曲线的拐点 7 8函数的极值与最值 1 函数的极值及其求法设函数在点的某邻域内有定义 如果对于去心邻域内的任一 有那么就称是函数的一个极大值 或极小值 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 下面给出可导函数取得极值的必要条件和充分条件 必要条件 设函数在点处可导 且在处取得极值 那么 第一充分条件 设函数在点处连续 且在的某去心邻域内可导 若时 而在时 则在点处取得极大值 若时 而在时 则在点处取得极小值 若时 的符号保持不变 则在处没有极值 第二充分条件 设函数在点处具有二阶导数 且 那么当时 函数在处取得极大值 当时 函数在处取得极小值 2 最大值最小值问题在求函数的最大值 或最小值 时 特别值得指出的是下述情 在一个区间 有限或无限 开或闭 内可导且只有一个驻点 并且这个驻点是函数的极值点 那么 当是极大值时 就是在该区间上的最大值 当是极小值时 就是在该区间上的最小值 7 9曲线的渐近线 如果存在直线 使得当时 曲线上的动点到直线的距离 则称为曲线的渐近线 渐近线通常有以下三种 水平渐近线 如果函数的定义域是无限区间 且 其中为常数 则直线为曲线的水平渐近线 垂直渐近线 如果存在常数 使得 则称直线为曲线的垂直渐近线 斜渐近线 如果成立 则称是曲线的斜渐近线 可以证明 7 10曲率 1 弧微分函数在区间内具有连续导数 在曲线上取固定点作为度量弧长的基点 如图所示 并规定依增大的方向作为曲线的正向 对曲线上任一点 规定有向弧段的值 简称为弧 如下 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时 相反时 显然 弧与存在函数关系 而且为的单调增加函数 而且我们可以求得这就是弧微分公式 图弧微分求解示意图 2 曲率及其计算公式在实际中 我们通常使用曲率来描述曲线的弯曲程度 设曲线是光滑的 在曲线上选定一点作为度量弧的基点 设曲线上点对应于弧 在点处切线的倾角为 这里假定曲线所在的平面上已设定了坐标系 曲线上另外一点对应于弧 在点处切线的倾角为 如图所示 那么 弧段的长度为 当动点从移动到时切线转过的角度为 我们用比值 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度 把该比值叫做弧段的平均曲率 并记作 即当时 即时 上述平均曲率的极限叫做曲线在点处的曲率 记作 即曲率推导示意图 对于直线来说 切线与直线本身重合 当点沿直线移动时 切线的倾角不变 从而 这就是说 直线上任意点处的曲率都等于零 这与我们直觉认识到的 直线不弯曲 一致 对于半径为的圆 其上点 处的切线所夹的角等于中心角 为圆心 又 于是从而 即圆上各点处的曲率都等于半径的倒数 这就是说 圆的弯曲程度到处一样 且半径越小曲率越大 即圆弯曲得越厉害 下面不加证明地给出曲线上任意点的实际计算曲率的公式 如下 若曲线由参数方程给出 则可利用参数方程所确定的函数的求导法 求出及 代入曲率公式有 3 曲率圆与曲率半径设曲线在点处的曲率为 在点处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点 使 以为圆心 为半径作圆 如图1所示 这个圆叫做曲线在点处的曲率圆 曲率圆的圆心叫做曲线在点处的曲率中心 曲率圆的半径叫做曲线在点处的曲率半径 图1曲率圆示意图设已知曲线的方程是 且其二阶导数在点不为零 则曲线在对应点的曲率中心的的坐标为 当点沿曲线移动时 相应的曲率中心的轨迹曲线称为曲线的渐屈线 而曲线称为曲线的渐伸线 如图2所示 所以曲线的渐屈线的参数方程为其中 为参数 直角坐标系与坐标系重合 图2曲线的渐屈线示意图 7 11方程的近似解 1 隔根区间在用近似方法求方程的根时 需要知道方程的根所在的区间 如果在区间内只有函数的一个零点 则称区间为方程的一个隔根区间 通常我们可以用逐步扫描法来寻找方程的隔根区间 逐步扫描法的一般执行流程如图所示 图隔根区间的搜索流程 2 二分法及其MATLAB实现在求方程近似根的所有方法中 二分法是非线性方程求解最直观 最简单的方法 它是通过将非线性方程的零点所在小区间逐次收缩一半 使区间的两个端点逐步逼近函数的零点 以求得函数零点的近似值的方法 二分法是以连续函数的介值定理为基础建立的 由介值定理可知 若函数在上连续且 在方程在上必有一根 为叙述方便 记 用中点将区间分成2个小区间和 计算 若 则就是方程的解 否则 与有且仅有一式成立 若 令 若 则令 于是有 因此为新的有根区间且的长度为长度的一半 对新的区间执行相同的操作可以得到一系列有根区间图1给出了二分法的几何意义 图1二分法几何意义 由图1可知 二分法每一步执行的操作就是将有根区间一分为二 直至所求得的根达到所要求的精度为止 其执行流程如图2所示 图2二分法执行流程 3 牛顿法及其MATLAB实现对于方程 如果是线性函数 那么它的求根是容易的 牛顿法实质上就是一种线性化方法 其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解 设方程有近似根 将函数在点处展开 则有于是 方程就可近似地表示为记该方程的根为 则的计算公式为上式即称为Newton迭代公式 由牛顿迭代公式可知 是点处的切线与轴的交点的横坐标 如图1所示 图1牛顿法几何意义 牛顿法执行流程比较简单 只需按如下流程即可 如图2所示 图2牛顿法执行流程 7 12导数的数值求解 插值型求导公式若已知函数在一些离散点上的函数值时 则该函数可用插值多项式来近似 然后对多项式进行微分以求得数值导数 该过程可由函数polyfit和polyder实现 相应的MATLAB函数代码如下 上述函数中 第14行根据实验数据的个数获得插值多项式的最高阶次 第15行对实验数据进行多