我的收藏-2013届数学(文)第一轮第10章第54讲 平面的基.ppt

第十章 立体几何几何初步 平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 第54讲 平面的基本性质 例1 回答下列问题 1 不重合的三条直线相交于一点 最多能确定多少个平面 若相交于两点 又最多能确定多少个平面 2 分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是怎样的 解析 1 依据 两条相交直线可确定一个平面 知 不重合的三条直线相交于一点 最多能确定3个平面 若三条直线相交于两点 则最多能确定2个平面 这里有两条直线为异面直线 2 不妨设a b为异面直线 直线c分别与a b交于点A B 直线d分别与a b交于点C D 若A C重合或B D重合 则直线c d相交 若A与C和B与D均不重合 则c d异面 否则 c d共面 不妨设c d共面于平面 则c d 所以A B C D 又A C a B D b 所以a b 与a b异面矛盾 点评 1 中若去掉 最多 二字 则前者结论是1或3 后者结论是1或2 2 题不易从正面说清 因而用反证法 体现 正难则反 的思维规律 变式练习1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是A1B1和CC1的中点 请画出平面DMN与平面BB1C1C及平面ABB1A1的交线 解析 如图 平面DMN 平面BB1C1C PN 平面DMN 平面ABB1A1 RM 共点 共线 共面问题 例2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是AB的中点 F是A1A的中点 求证 1 E C D1 F四点共面 2 CE D1F DA三线共点 解析 1 连结A1B CD1 因为E是AB的中点 F是A1A的中点 则EF A1B 又在正方体ABCD A1B1C1D1中 A1B D1C 所以EF D1C 故E C D1 F四点共面 2 由 1 知 EF D1C且EF D1C 故四边形ECD1F是梯形 两腰CE D1F相交 设其交点为P 则P CE 又CE 平面ABCD 所以P 平面ABCD 同理 P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 AD 所以P AD 所以CE D1F DA三线共点 点评 公理体系是整个立体几何的基础 是空间线面位置关系的支撑 是学生形成空间想象能力的基本依据 熟练掌握四个公理及其推论 是解决共点 共线 共面问题的关键 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理2是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言 符号语言 图形语言来表示公理 公理3及其推论 过直线和直线外一点 两条相交直线 两条平行直线有且只有一个平面 是判断或证明点线共面的依据 例3 一个正方体的纸盒展开后如图 在原正方体的纸盒中有下列结论 AB EF AB与CM成60 角 EF与MN是异面直线 MN CD 其中正确的是 空间两条直线的位置关系 解析 原正方体如图所示 AB可平行移动到CM位置 即AB CM 在正方形CEMF中 CM EF 故AB EF 正确 错误 同理 MN CD 故 错误 只有 正确 答案 点评 本题考查学生的空间想象能力 解决问题的关键是将其还原成正方体 要注意字母的相应位置千万不能搞错 空间两条直线的位置关系有三种 平行 相交和异面 对于异面直线 考纲泛读也仅仅是了解而已 但也必须会判断 这对理解两条异面直线的垂直问题有很大帮助 变式练习3 如图是正方体的平面展开图 则这个正方体中 BM与ED平行 CN与BM成60 角 BE与CN是异面直线 DM BN 其中正确命题的序号为 解析 将平面展开图还原成正方体 如图所示 观察图形知 错 因为BM与ED垂直 对 连结BE EM 因为CN BE 故 EBM是异面直线CN BM所成的角 在正三角形EBM中 EBM 60 故CN与BM成60 角 错 因为BE与CN是平行直线 对 因为CN为BN在平面CDNM内的射影 且CN DM 所以BN DM 综上 正确命题的序号是 2 已知a b c是三条不同的直线 有下列四个命题 若a b b c 则a c 若a与b是异面直线 c与b是异面直线 则a与c是异面直线 若a b b c 则a c 若a c a与b是异面直线 则b与c是异面直线 其中真命题为 3 下列各图是正方体或正四面体 四个面都是正三角形的四面体 P Q R S分别是所在棱的中点 则这四点不共面的一个图形是 解析 正方体ABCD A1B1C1D1中 因为PS A1C1 QR 所以P Q R S共面 如下图 1 排除 如图 2 1 2 3 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为AA1 BC的中点 则PEQFRS为正六边形 所以P Q R S共面 排除 如图 3 因为PQ AB SR 所以P Q R S共面 排除 故选 4 已知直线l与三条平行线a b c都相交 求证 l与a b c共面 5 如图 在三棱锥A BCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 1 求证 四边形EFGH是平行四边形 2 若AC BD 求证 四边形EFGH是菱形 3 当AC与BD满足什么条件时 四边形EFGH是正方形 本节是立体几何的基础内容 四个公理及其推论是判断共线 共面的依据 也是将空间问题平面化的主要依据 1 证明点线共面的常用方法 一是依据题中所给条件先确定一个平面 然后证明其余的点或线都在面内 二是将所有元素分成几个部分 然后分别确定几个平面 再证这些平面重合 三是采用反证法 2 证明三线共点 可以证明两条直线的交点在第三条直线上 而第三条直线往往是两个平面的交线 3 善于利用长方体模型判别空间中点线面的位置关系