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1 山东春考数学于文军 第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1 11 1 1 21 2 集合及其运算集合及其运算 1 集合定义集合定义 把一些确定的元素看成一个整体 这个整体就是由这些元素构成的集合 2 元素的特性元素的特性 确定性 互异性 无序性 3 元素与集合元素与集合关系关系 有属于和不属于两种 表示符号为 和 4 常见集合字母表示常见集合字母表示 5 集合分类集合分类 按元素个数可分 有限集 无限集 按元素特征分 数集 点集 坐标集等 6 集合集合表示法表示法 列表法 性质描述法 图像法 wenn 图像 数轴表示 区间表示 7 集合集合关系关系 描述关系 文字语言 符号语言 集合 间的 基本 关系 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A B 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 A B 或 B A 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 且 B 中至少有一个元素 A 中没 有 A B或 B A 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 8 集合集合运算运算 集合运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A B A B 若全集为 U 则集合 A 的补集为CUA 图形表示 意义 集合 A 与 B 的全部 元素 A 或 B 集合A与B的公共元 素 A 且 B 全集 U 中所有元素 除去集合 A 中元素的部分 性质 A B B A A A A A A A A B A B B A B B A A A A A A A A B A B A A CUA U A CUA CU CUA A CUA CUB CU A B CUA CUB CU A B 注意注意 1任何一个集合是它本身的子集 2如果 A B 同时 B A 那么 A B 如果 A B B C 那么 A C 3n 元素集合 有子集2n个 n 元素集合 有真子集有2n 1 个 n 元素集合 有非空真子集有2n 2个 1 31 3 1 1 4 4 逻辑用语充要条件逻辑用语充要条件 1 命题概念命题概念 可判断真假的文字或符号的 陈述性语句 命题 不是命题 不具备判断性 例 2x 1 5 疑问 感叹 祈使等非陈述句 是命题 真命题 不符合客观事实判断 假命题 符合客观事实判断 2 四种命题关系四种命题关系 1命题联系 2真假关系 互为逆否命题 有相同的真假性 互逆命题或互否命题 真假性不可判断 3 逻辑连接词 逻辑连接词 且 或 非 符号 1且p q 一假则假 2或p q 一真则真 3非 p 与原命题真值相反 4原命题变非命题 命题 单一命题 简单命题 直接否定判断词 量词命题 互换 和 否定判断词 复合命题2p q p q p q p q 注 A p 非命题 命题的否定 只否结论 与原命题真值相反 B 否命题 条件结论都否定 真值不具备判断性 C 常用的量词有全称量词和存在量词 用符号表示为 和 D 含有全称量词的命题 叫做全称命题 含有存在量词的命题 叫做存在命题 常用判断词否定 判 断 词 0 2 22 2 2 32 3 不等式性质与绝对值不等式不等式性质与绝对值不等式 1 不等式基本性质不等式基本性质 a b a b 0 a b a b b b a 2 传递性 a b b c a c 3 加法法则a b a c b d 4移项法则 a b c a c b 5同向可加性 a b c d a c b d 6乘法法则 a b c 0 ac bd a b c 0 ac b 0 且 c d 0 ac bd 8乘方法则 若a b 0 an bn n N 且 n 1 9开方法则 若a b 0 a n b n n N 且 n 1 10取倒数法则 a b ab 0 1 a b 1当a 0 时 ax b的解集为2 3 用区间表示为 2当a b的解集为2 0 大于取两边 小于取中间 例 a m m x m 或 x 0 大于取两边 小于取中间 例 a 答案写集合或区间 4如果c b 0 b 2 2 4 4 一元二次不等式一元二次不等式 1 一元二次不等式一元二次不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0 0 2不等式ax2 bx c 0 0 恒成立的条件 a 0 0且 a 1 定义域 R 7对数函数 y logax a 0且 a 1 定义域 x 0 8正切函数y tanx 2 2 3 复合函数复合函数 1复合函数 如果函数 y f t 的定义域为 A 且 t g x 的定义域 D 值域为 C 则当C A时 称函数y f g x 为 f 与 g 在 D 上的复合函数 t 叫做中间变量 t g x 叫内函数 y f t 叫外函数 2复合函数求定义域 已知f 定义域 求f 定义域 已知f 定义域 求f 定义域 开口 a 0 开口向上 a 0 0 0 二次函数 ax2 bx c 0 a 0 的图象 来 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 有两个相异实根 x1 x2 x1 x2 有两个相等实根 x1 x2 2 没有实数根 ax2 bx c 0 a 0 的解集 2 23 0 R ax2 bx c 0 a 0 的解集 1 2 3 山东春考数学于文军 4 求值域 求值域 直接发 常数分离 配方法 换元法 图像 单调 奇偶 反函数 5 求函数值求函数值 直接代入 代换 整体 赋值 配凑 换元 待定系数 6 分段函数分段函数 在函数定义域内 对于自变量 x 的不同区间 有着不同的对应法则 这样的函数通常叫做分段 函数 分段函数为一个函数 3 23 2 函数的单调性函数的单调性 1 定义定义 1y f 定义域的子区间 I 内任意两个值x1 x2 当时x1 x2 时 有f x1 f x2 那么就说I称为 y f x 的增区间 当整个定义域都符合以上条件时 称为增函数 2y f 定义域的子区间 I 内任意两个值x1 x2 当时x1 f x2 那么就说I称为 y f x 的增区间 当整个定义域都符合以上条件时 称为增函数 2 单调性证明单调性证明 1函数的单调区间 必须先求函数的定义域 2判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤 a 任取x1 x2 M 且x1 0 a 1 m 0 4 f x ax 1 ax 1 a 0 a 1 5 f x loga 1 x 1 x a 0 a 1 1 x 0 a 1 m 0 3 f x x 4 f x cosnx 注意 若f x 具有奇偶性 则定义域关于原点对称 若奇函数f x 在x 0处有定义 则f x 0 定义域关于原点对称 若f x 0 则f x 既奇又偶 若f x 定义域内f m f m 则f x 不是偶函数 若f x 定义域内f m f m 则f x 不是奇函数 奇函数图象关于原点对称 原点两侧的对称区间上的单调性相同 偶函数图象关于 y 轴对称 原点两侧的 对称区间上的单调性相反 3 奇偶性证明奇偶性证明 判断函数定义域 定义域不关于原点对称 非奇非偶 定义域关于原点对称 计算 f x f x 偶函数 f x 奇函数 4 复合函数奇偶性复合函数奇偶性 1奇函数 奇函数 奇函数 2偶函数 偶函数 偶函数 3奇函数 偶函数 非奇非 偶函数 4y f 同偶异奇 3 43 4 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 1 定义与解析式定义与解析式 1二次函数的定义 形如f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2二次函数解析式的三种形式 A 一般式 f x ax2 bx c a 0 B 顶点式 f x a x m 2 n a 0 C 交点式 f x a x x1 x x2 a 0 2 图象和性质图象和性质 奇偶性 定 义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 是奇函数 关于原点对称 4 山东春考数学于文军 3 三个二次之间的关系三个二次之间的关系 b2 4ac 0 0 0 一元二次函数 y ax2 bx c 的图像 a 0 a 0 的解集 a 0 x1 x2 x1 x1 R a 0 x1 x2 一元二次不等式 ax2 bx c 0 x1 x2 a1 且n 这个数称 a 的 n 次方根 若 则 x 称 a 的 n 次方根 当 n 为奇数时 a 的 n 次方根记作 当 n 为偶数时 a0 n 次方根两个且互为相反数 记作 0 0 0 2 实数幂实数幂运算运算 1 n 个 2 0 1 0 3 1 1 1 4 1 0 且 1 5 1 0 且 1 6 0 7 0 7 0 注 上述性质对r s R均适用 4 4 2 2 指数函数指数函数 1 定义定义 形如y ax a 0 且 a 1 的函数叫指数函数 ax前的系数为 1 2 图像与图像与性质性质 3 不同底不同底 底数的大小决定了图像相对位置的高低 不论是a 1还是 0 a b 1 c d 0 图象 函数性质 a 0 定义域 x R 个别题目有限制的 由解析式确定 开口 a 0 a 0 值域 y 4ac b 2 4a y 4ac b2 4a a 0 奇偶性 b 0 时为偶函数 b 0 时既非奇函数也非偶函数 单调性 x 2 1时递减 x 0 2 时递增 x 2 1时递增 x 0 2 时递减 图象特点 对称轴 x 2 顶点 2 4ac b2 4a 两种情况 0 a 1 图像 性质 定义域 R 值 域 y 0 图像都过定点 0 1 即 x 0 y 1 在 R 上单调递减 在 R 上单调递增 x 1 x 0时 0 y 1 x 0时 0 y 0时 y 1 对称性 y ax与y 1 x的图像关于 y 轴对称 5 山东春考数学于文军 4 34 3 对数及其运算对数及其运算 1 定义定义 如果a的b次幂等于N 就是 那么数b称以a为底 N 的对数 记作log 其中a称对数的 底 N 称真数 0 且 1 以 10 为底的对数称常用对数 log10 记作lgN 以欧拉常数e 2 71828 为底的对数称自然对数 log 记作lnN 2 运算运算 1负数和零无对数 真数 N 为正数 2log 1 0 3log 1 4 log log N 5 log log log 6log log log 7log log 8log log log 0 0 0 10log log 1 11log log 4 4 4 4 对数函数对数函数 1 定义定义 形如y logax a 0 且 a 1 的函数称为对数函数 2 图像和性质图像和性质 底数 图像 性质 定义域 0 值域 R 图像都过定点 1 0 即 x 1 时 y 0 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 0 x 0 x 1时 y 0 0 x 1时 y 1时 y 0 对称性 函数y log 与y log1 的图像关于 x 轴对称 y loga x 的图像关于 y 轴对称 注意 底数大小决定了图像相对位置的高低 不论 是 1还是0 a an 其中 n N 递减数列 an 1 0时为递增数列 且当a1 0时前n项和Sn有最小值 d 0 时前n项和Sn有最大值 5 35 3 等比数列及其前等比数列及其前 n n 项和项和 1 等比数列概念等比数列概念 数列从第二项起 每一项与前一项的比都等于同一个常数 我们称这样的数列为等比数列 符号表示an 称这个常数为公比 通常用字母 q 表示 n N q为常数 且 1 0 q 0 2 相关公式相关公式 定义 an 1 an q q是常数且q 0 n N 通项公式 an a1 qn am qn m 前 n 项和公式 Sn na1 q 1 a1 1 qn 1 q a1 anq 1 q q 1 等比中项 设a b为任意两个同号的实数 则a b的等比中项G a b 2 性质性质 1m n p q 若m n 2p 则 2 2 m n p q 若m n 2p 则 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 2 1 an3 an 2 an bn 2an bn3 0 仍是等比数列 4 等比数列 an 中 依次每 k 项仍成等比数列 新 5 若Sn是等比数列 an 的前n项和 q 1 则Sm S2m Sm S3m S2m也构成等比数列 新 6三个数成等比数列且积一定 通常设这三个数为a q a aq比较方便 5 45 4 等差 等比数列的应用等差 等比数列的应用 1 数列应用题常见模型数列应用题常见模型 1等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数增加 或减少 同时又以一个固定的具体量增加 或 减少 如 分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等 4贷款问题 单利与复利的计算问题 2 书写过程书写过程 1设 准确写出未知量 2列 根据数列相关公式列方程 3解 解答过程中相关公式必须体现在试卷中 4答 文字性叙述内容 第六章第六章 向量向量 6 16 1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 1 向量的有关概念向量的有关概念 名称 定义 向量 具有大小和方向的量叫向量 向量具有两要素大小和方向 可移动 向量的模 若向量AB a 则有向线段AB 的长度表示a 的大小 叫做a 的模 记作 a 有向线段三要素 起点 大小 方向 有向线段 向量 零向量 长度为 0 的向量叫零向量 方向不确定 记作 0 0 平行于任何向量 记作0 a 单位向量 长度为 1 单位 的向量称单位向量 非零向量a 的单位向量 是指与向量a 同向的单位向量 通常记作a0 即a0 a a 平行向量 如果两个向量方向相同或相反 则称这两个向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 2 向量的线性运算向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边 形法则 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 减法 求a 与 b 的和 叫做a 与b 的差 三角形法 则 数乘 向量 a 向 量 长 度 a a 它方向 当 0时 a 与a 同向 当 1 时 正方向 0 或反方向 0 上 伸长 倍 当 0 或反方向 0 7当 为钝角 0 8交换律 a b b a 9分配律 a b c a c b c 10对 R a b a b a b 4 数量积的坐标表示数量积的坐标表示 设a a1 a2 b b1 b2 则 1a b a1b1 a2b2 2a b a1b1 a2b2 0 3 a a12 a22 4cos a b a b a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22 为a 与 b 的夹角 第七章第七章 三角函数三角函数 7 17 1 任意角 弧度制及任意角的三角函数任意角 弧度制及任意角的三角函数 1 角角定义定义 角是右公共端点的两条射线组成的几何图像 两条射线叫做角的边 始边 终边 公共端点叫 做角的顶点 2 角分类角分类 沿 x 正半轴固定始边 旋转终边 初中分类 1零角 不旋转 2锐角 0 90 3直角90 4钝角 90 180 5平角180 6周角360 7旋转方向 顺时针 负角 逆时针 正角 不旋转 零角 8终边位置 象限角 轴线角 9终边相同角 2 360 3 角度制与弧度值不可混写 3 特殊角特殊角集合集合 4 角度角度与弧度与弧度 1弧度角 在单位圆中 长度等于半径的弧所对圆心角为 1 弧度 用符号 1rad 表示 书写时 rad 可省略 2弧度角公式 扇形 半径为 r 弧长 l 3角度与弧度换算 1 0 01745 rad 1rad 57 3 自然语言 符号表示 第一象限角的集合 k360 90 k360 k Z 第二象限角的集合 90 k360 180 k360 k Z 第三象限角的集合 180 k360 270 k360 k Z 第四象限角的集合 90 k360 0 0 0 0 7 47 4 正弦型函数图象 性质正弦型函数图象 性质 1 五点作图五点作图 y Asin x 画简图 找五个关键点 如下表 角度 0 30 45 60 90 120 135 弧度 0 角度 150 180 210 225 270 315 330 弧度 性质 y sinx y cosx y tanx 图象 定义域 R R 2 2 3 值域 0 1 11 0 1 11 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 02 2 2 21 2 2 2 3 2 增函数 减函数 02 2 1 增 函数 02 2 1 减 函数 2 2 增函数 最值 x 2k 2 时 1 当x 2k 2 时 1 x 2k 时 1 当x 2k 时 1 既无最大值也无最小值 对称性 对称中心 0 对称轴x k 2 对称中心 2 0 对称轴x k 对称中心 2 0 无对称轴 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 任意角 终边上异于原点 点p r 2 2 sin cos tan 象限符号 一 二正 三 四负 一 四正 二 三负 一 三正 二 四负 一全正 二正弦 三正切 四余弦 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 sin 0 1 0 cos 1 0 1 tan 0 1 无 1 0 三角函数 正弦 余弦 正切 三角函 数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线 与单位圆 单位圆交点坐标 P cos sin 非单位圆交点坐标 Q cos sin 函数 2k 2 2 3 2 3 2 sin sin sin sin cos cos cos cos tan tan tan tan 1y Asin 改变振幅 值域 y 0 1 2y sin 改变周期 新 2 3 y sin 左加右减 图像向做移动 个单位 只针对 x 变换 4 y sin 上加下减 图像向上移动 5 y sin 向右移动 各单位 左加右减 y sin 9 山东春考数学于文军 2 函数函数 到到 图象变换步骤图象变换步骤 向左 0 右移 0 右移 0 0 0 0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T 2 f 1 函数 y Asin 0 0 0 0 例 y 2sin 2 3 周期 T 2 2 值域 0 2 21 增区间 0 5 12 12 1 对称轴 x 12 2 定义域 R 值域 奇偶性 不具判断行 周期性 新 2 单调性 对称点 对称轴 10 山东春考数学于文军 相交 A1 A2 B1 B2 k1 k2 垂直 A1A2 B1B2 0 k1 k2 1 距离 条件 公式 两点 A x1 y1 B x2 y2 d x2 x1 2 y2 y1 2 点线 P x0 y0 Ax By C 0 d Ax0 By0 C A2 B2 线线 Ax By C1 0 Ax By C2 0 d C 2 C1 A2 B2 注意 斜率 K 不存在的情况 单独考虑 8 48 4 线性规划线性规划 1 例例 某工厂家具车间造 A B 型两类桌子 每张桌子须木工和漆工两道工序完成 已知木工做一张 A B 型桌 子分别需要 1 小时和 2 小时 漆工油漆一张 A B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时 又知木工漆工每天工作分 别不得超过 8 小时和 9 小时 而工厂造一张 A B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元 试问工厂每天应生产 A B 型桌子个多少张 才能获得利润最大 2 解解 设每天生产 A 型桌子 张 B 型桌子 张 1 列清未知数 则 2 找全线性约束条件 目标函数为 3 线性目标函数 做出可行域 4 画出可行域 把直线 由左下向右上平移 M 点为 最大值 5 平移 目标函数 或 直接计算顶点 6 得出最优解 解方程 得 M 点坐标 2 3 答 每天应生产 A 型桌子 2 张 B 型桌子 3 张才能获得最大利润 8 58 5 圆圆 1 1 圆方程 圆方程 方程方程 圆心坐标圆心坐标 O O 半径半径 r r 标准标准 方程方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 a b r 一般一般 方程方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 D 2 E 2 r D2 E2 4F 2 2 2 直线与圆 直线与圆 Ax By C 0 x a 2 y b 2 r2 位置关系位置关系 圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d d 联立消元 求联立消元 求 相离相离 d r 0 相切相切 d r 0 相交相交 d 0 注意 过圆外点做圆的切线 一定是两条 若只能求出一条直线的 K 值 说明另一条直线 K 值不存在 8 68 6 圆锥曲线圆锥曲线 焦点在 x 轴 椭圆椭圆 双曲线双曲线 抛物线抛物线 几何条件几何条件 与两定点距离的和等于常数 与两定点距离差的绝对值等于常数 与定点和定直线的距离相等 标准方程标准方程 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 y2 2px p 0 图形图形 顶点坐标顶点坐标 a 0 0 b a 0 0 0 对称轴对称轴 x 轴 长轴长 2a y 轴 短轴长 2b x 轴 实轴长 2a y 轴 虚轴长 2b x轴 焦点坐标焦点坐标 c 0 a2 b2 c2 c 0 c2 a2 b2 p 2 0 离心率离心率 e c a 0 e 1 e 1 准线方程准线方程 x a2 c x a2 c x p 2 渐近线方程渐近线方程 y b a x 面积公式面积公式 S F1PF2 b2 tan 2 b2 cot 2 注意 等轴双曲线 1 x2 y2 2 e 2 3 渐近线 y x 4 实轴 a b 虚轴 8 78 7 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 1 联立消元联立消元 交点个数交点个数 联立消元联立消元 无交点无交点 0 2 特殊弦特殊弦 特殊弦特殊弦 定义定义 公式公式 弦长弦长 两交点间的线段长 AB 1 k2 x2 x1 AB 1 1 k2 y2 y1 11 山东春考数学于文军 焦弦焦弦 过焦点的弦 AB x1 x2 p 抛物线 AB y1 y2 p 抛物线 焦半径焦半径 焦点分焦弦所得 通径通径 垂直焦点所在轴的焦弦 AB 2b2 a 椭圆 双曲线 AB 2p 抛物线 8 88 8 综合题综合题 解题思路解题思路 1 第一问 一般比较简单 主要考察基本概念 一般可能求离心率 e 或圆锥曲线标准方程等等 1 定义 a b c 间的关系 2 几何关系 a b c 间的关系 3 离心率 e a b c 间的关系 2 第二问 主要考察综合知识应用 有时需要结合拓展公式解题 1求直线 1 设直线时 尽量少的引入未知数 2 利用 a b c 间的关系 减少圆锥曲线方程与直线方程的未知数个数 3 根据题意 列出含有所求未知数的方程 4 求出所需未知数 即求出所需直线方程 5 特殊条件可以用点差法求出直线斜率 从而得到直线 注意 点差法必须知道直线中点坐标 6 验证直线斜率不存在情况下的直线是否成立 2求面积 一般三角形有一边过焦点 1 求 F1PF2的面积 求出圆锥曲线方程 利用面积公式求 F1PF2的面积 2 直线与圆锥曲线联立消元 使用弦长公式求出底 a 利用点到直线的距离公式求出高 h S 1 2ah 3 求 F1AB AB过F2 的面积 利用公式S F1AB c y2 y1 求出三角形面积 3求最短距离 1 由已知直线 L 设出平行与I且与圆锥曲线相切的直线L1 2 由L1与圆锥曲线相切 即 0 解出未知数 从而的到L1方程 3 利用两直线间距离公式 算出 L 与L1的距离 即直线与圆锥曲线最短距离 4求证垂直 1 结合向量知识 列出向量坐标 2 求证x1x2 y1y2 0 得出垂直结论 注意 1凡使用韦达定理 必须保证联立消元后的方程 判别式 0 2所求出的直线 需带入圆锥曲线方程 验证是否与圆锥曲线有两个交点 3求直线时 有两种情况 直线斜率 K 存在和直线斜率 K 不存在 都需要考虑一边 二者缺一不可 第九章第九章 立体几何立体几何 9 19 1 空间几何体空间几何体 1 多面体多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 1棱 两个面相交所形成的公共边 2顶点 棱与棱相交所形成的公共点 2 棱柱 棱锥棱柱 棱锥 棱台 棱台 图形 结构特征 棱柱 棱柱 两个面互相平行 其余每相邻两个面的交线也互相平行的 多面体 底面 两个互相平行的平面 侧面 其余各面 侧棱 两个侧面的公共边 顶点 侧面与底的公共顶 对角线 不在同一个面上的两个顶点的连线 高 两个底面的距离 棱锥 棱锥 有一个面是多边形 底 其余各面都是有一个公共顶点 顶点 的三角形 侧面 围成的多面体 侧棱 侧面相交形成的线 高 顶点到底面的垂直距离 字母表示 如棱锥 S ABCDE 或者棱锥 S AC 棱台 棱台 棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分 底 棱台有两个面互相平行 为上底和下底 侧面 其余各面都是梯形 侧棱 侧面相交形成侧棱 所有侧棱的延长线交于一点 分类 1 三棱锥 四棱锥 五棱锥 等截得的棱台 为三棱 台 四棱台 五棱台 等 2 正棱锥截得的棱台叫做正棱台 正三棱台 正四棱台 正五棱台 等 3 棱柱分类棱柱分类 1棱与底面 不垂直 斜棱柱 垂直 直棱柱 2底面形状 三 四 五 棱柱 正多面形 不正多边形 3正三 四 五 棱柱 棱垂直底面 正多边形 4四棱柱四棱柱 底平行四边形 平行六面体平行六面体 侧棱垂直底面 直平行六面体直平行六面体 底面矩形 长方体长方体 底面边长相等 正四棱柱正四棱柱 侧棱与地面边长相等 正方体正方体 正方体正方体 正四棱柱正四棱柱 长方体长方体 直平行六面体直平行六面体 平行六面体平行六面体 四棱柱四棱柱 4 棱锥分类棱锥分类 1底面形状 三 四 五 棱锥 2正棱锥 底面为正多边形 顶点射影在底面中心 特点 侧面为全等等腰三角形 等腰三角形高为斜高 5 旋转体旋转体 几何图像绕其一条定直线旋转一周所形成的空间几何体 图形 结构特征 12 山东春考数学于文军 圆柱 矩形转转体 上下底互相平行 全等 母线 有无数条等长母线 高GA 侧面展开为矩形 圆锥 直角三角形绕直角边 旋转成体 底面是圆面 母线为顶点到底边 无数条且长相等 高位顶点到底面距离 过轴的截面是全等的等腰三 角形 圆台 直角梯形绕直角边 旋转成体 上下底面为平行圆且不相等 母线的 延长线交于一点 平行于底面的截面是与两底面都不相等的圆 过轴 的截面是全等的等腰梯形 球 半圆绕直径 旋转成体 球心到球面距离为半径 平面截球成大圆 过 球心 和小圆 不过球心 过球心的截面是大小相等的圆 9 29 2 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 1 1 多面体多面体表面积表面积 1 直棱柱表面积 直棱柱侧 2 底 直棱柱侧 侧面展开为矩形 矩形的长 底面周长 c 宽 直棱柱高 h 直棱柱侧 ch 底 2 2 正棱锥的表面积 正棱锥侧 底 正棱锥侧 侧面为等腰三角形 底 a 底面边长 高 h 顶点到底边中点 正棱锥侧 1 2 h 底 2 母线 高 底半径满足勾股定理 2 2 旋转体旋转体表面积表面积 圆柱 底面半径 r 母线l 圆锥 底面半径 r 母 线l 圆台 上 下底半径 r 母 线l 球 半径 r 侧 面 展 开图 底面积 底 2 底 2 上底 2 下底 2 侧面积 侧 2 侧 1 2 侧 表面积 表 2 表 表 2 2 表 4 2 3 柱体 椎体 台体柱体 椎体 台体体积体积 9 39 3 平面的基本性质及空间两直线位置关系平面的基本性质及空间两直线位置关系 1 空间单位空间单位 空间单位 点 空间基本单位 1两点间线段最短 2两点确定一条直线 线 直线 曲线 按一定次序排列的点 构成直线 春考只研究直线 面 平面 曲面 按一定次序排列的线 构成面 春考只研究平面 面的特点 平面是平的 无限延伸的 没有边界的 面表示 用平面内的平行四边形表示 平面 或平面 AC 平面 BD 等 空间单位关系 点 直线 点在直线上 点在直线外 点 平面 点在平面内 点在平面外 两条直线 平行 距离 公垂线段 相交 垂直 斜交 异面 异面夹角 直线 平面 直线在平面内 直线和平面相交 垂直与斜交 直线和平面平行 距离为公垂线段 两平面 相交 二面角 平行 距离 公垂线段 2 立体几何符号语言立体几何符号语言 位置关系 自然语言 符号语言 位置关系 自然语言 符号语言 点 P 在直线 AB 上 P AB 直线 AB 与直线 BC 交与点 B AB BC B 点 C 不在直线 AB 上 C AB 直线 AB 在平面 CD 内 AB 平面 CD 点 M 在平面 AC 内 M 面 AC 直线 EF 不在平面 CD 内 EF 平面 CD 点 A 不在平面 AC 内 A 面AC 平面 与平面 相交与直线 AB AB 3 空间图形公理空间图形公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 几何体 体积 为底面面积 为底面半径 为高 柱体 柱体 圆柱 2 锥体 锥体 1 3 圆柱 1 3 2 台体 台体 1 3 圆台 1 3 2 2 球 球 4 3 3 13 山东春考数学于文军 公理 1 如果一条直线上的两点 在一个平面内 那么这条 直线上所有的点都在这 个平面内 即两点确定一条直线 若A l B l A B 则l 判断直线在平面内的 依据 证明点在平面内的依 据 公理 2 经过不在同一条直线上 的三个点 有且只有一个 平面 即不共线三点可 以确定一个平面 若 A B C 三点不 共线 则有且只有一 个平面 使 A B C 确定一个平面的依据 判断两个平面重合的 依据 证明点 线 面共面 的依据 公理 3 如果两个不重合的平面 有一个公共点 那么它们 有且只有一条过该点的 公共直线 P 且 P l P l 判断两个平面相交的 依据 证明点共线的依据 证明线共点的依据 公理 4 平行于同一条直线的两 条直线平行 若a b b c 则 a c 证明线线平行 4 公理公理 2 2 推论推论 推论 1 经过一条直线和直线外一点 有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 5 空间直线位置关系空间直线位置关系 6 异面直线异面直线 1定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2特点 既不平行 也不相交 3 异面直线夹角 直线a b是异面直线 经过空间一点 O 分别引直线 A a B b 相交直线 A B 所成的锐 角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 角可取的范围在00 21 4 判定方法 a 定义法 定义判定两直线永远不可能在同一平面内 b 定 理 经平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不经过该点的直线 是异面直线 5异面直线夹角计算 a 平移其中一条或两条使其相交 b 连接端点 在三角形中计算夹角 或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中 c 计算三条边长 用余弦定理计算余弦值 若余弦值为负 则取其相反数 7 空间四边形空间四边形 顺次连接空间不共面的四个点所构成的图形 边 AB BC CD DA 对角线 AC BD 9 49 4 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线在平面内 无数个 a 直线与平面相交 一个 A A 直线与平面平行 0 个 a 注意 直线在平面外包括直线与平面相交或平行两种情况 用符号表示为 a 2 空间直线与平面位置关系的主要概念和定理空间直线与平面位置关系的主要概念和定理 形式 内容 符号表示 直线 与平 面平 行 定义 如果一条直线和一个平面没有交点 称这 条直线和这个平面平行 a 判定 定理 如果平面外的一条直线和此平面内的一 条直线平行 那么这条直线和这个平面平 行 a b a b a 性质 定理 如果一条直平行于一个平面 经过这条直 线的平面和面相交 那么这条直线和交线 平行 l l m l m 内容 图形 符号表示 直 线 与 平 定义 如果一条直线和一个平面内 的任意一条直线垂直 那么这条 直线和这个平面垂直 a 垂足为 A 位置 关系 共面情况 公共点个数 相交 在同一平面内 有且只有一个 平行 在同一平面内 零个 异面 不同在任何一个平面内 零个 14 山东春考数学于文军 面 垂 直 判 定 定理 1 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线垂直 那么这条 直线垂直于这个平面 l a l b a b A a b l 推论 如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面 那么另一条也垂 直与这个平面 a b a b 性 质 定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 a b a b 点 到 平 面 的 距 离 从平面外一点引一个平面的垂 线 这点到垂足间的距离叫做这 点到这个平面的距离 直 线 到 平 面 的 距离 一条直线和一个平面平行 这条 直线上的点到平面的垂直距离 叫做这条直线到这个平面的距 离 平 面 的 斜 线 一条直线和一个平面相交 但不 垂直 这条直线叫做这个平面的 斜线 直 线 和 平 面所成角 平面的一条斜线和它平面上的 射影所成的夹角叫做这条直线 和这个平面所成的角 一条直线 垂直于平面 它所成的角是90 如果一条直线和平面平行或在 平面内 他们所成的角是0 9 59 5 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 1 两个平面的位置关系两个平面的位置关系 两个平面 两个平面重合 两个平面不重合 平行 两平面没有公共点 相交 两平面有且只有一条公共直线 2 两个平面平行两个平面平行 内容 图形 符号表示 定义 如果两个平面没有公共点则 称这两个平面平行 两个平 面平行 判定定理 1 如果一个平面内的两条相交 直线都平行另一个平面 那么 这两个平面平行 推论 如果一个平面内两条相交直 线直线分别平行于另一个平 面内的两条相交直线 那么这 两个平面平行 a a b b a b a b a b P a b 性质定理 1 如果两个平行平面同时与第 三个平面相交 则他们的交线 平行 a b a b 3 两平面间的计算两平面间的计算 两 个 平 行 平 面公垂线 与两个平行平面都垂直的直线称为这两个 平行平面的公垂线 两 个 平 行 平 面间的距离 夹在两个平行平面之间的公垂线段 图中 的线段 AB 叫做两个平面之间的距离 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角 二 面 角 的 平 面角的定义 以两个面的交线上的一个点为顶点在两个 半平面内分别作两条射线 这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角 直二面角 平面角是90 的二面角叫做直二面角 两 平 面 垂 直 定义 两个平面相交 如果所成的二面角是直角 则称这两个平面互相垂直 同上 COD 90 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线 那 么这两个平面互相垂直 l l 性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂 直于交线的直线垂直于另一个平面 l m l m l 第十章第十章 概率与统计初步概率与统计初步 10 110 1 计数的基本原理计数的基本原理 1 分类 加法 计数原理分类 加法 计数原理 15 山东春考数学于文军 做一件事情 完成它有n类方法 在第一类方法中有m1种不同方法 在第二类方法中有m2种不同方法 在第n类方法中有mn种不同方法 无论哪一类的哪一种方法 都可以完成这件事 那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同方法 注意 如果是分类 加法 计数原理 则类与类之间相互独立 每一 类都可以单独把事情做完 即 一步完成 2 分步 乘法 计数原理分步 乘法 计数原理 如果完成一件事 需分成n个步骤 做第一步有m1种不同方法 做第二部有m2种不同方法 做第n步 有mn种不同方法 必须经过每一步骤才能完成这件事 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同方 法 注意 如果是分步 乘法 计数原理 则步与步之间相互关联 缺少其中的任何一步 这件事都无法完 成 即 多步才能完成 10 210 2 排列与排列数公式排列与排列数公式 1 排列的概念排列的概念 从n个不同的元素中 任取m m n 个元素 按照一定顺序排成一列 叫做从 n 个不同元 素中取 m 个元素的一个排列 2 排列数排列数 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数叫做排列数 用符号An m表示 注意 1 如果m n这样的排列叫做选排列 记做An m 2 如果m n这样的排列叫做全排列 记做Ann 3 公式公式 1 An m n n m n n 1 n 2 n m 1 2 An n n n n 1 n 2 2 1 3 0 1 4 An 0 1 10 310 3 组合与组合数公式组合与组合数公式 1 组合的概念组合的概念 从n个不同的元素中 任取m m n 个元素并成一组 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合 2 组合数组合数 从n个不同的元素中取出 m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的组合数 用符号Cn m表示 注意 1 不同元素 2 只取不排 无序性 3 相同组合 元素相同 公式 1 Cn m n n n m n m N 且 m n 或Cnm An m Am m n n 1 n 2 n m 1 m 2 Cn m Cn n m 3 Cnm Cn m 1 Cn 1 m 1 4 Cn0 1 10 410 4 二项式定理二项式定理 1 二项式定理二项式定理 a b n Cn 0anb0 Cn 1an 1b1 Cn man mbm Cn na0bn n N m N 1 项 展开式中的每一个单项式 2 常数项 不含未知数的项 3 项的系数 项中除未知数部分 4 二项式系数 Cn m 0 m n n N m N 5 通项公式 Tm 1 Cn man mbn 0 m n n N m N 2 二项式系数的性质二项式系数的性质 1 在二项式展开式中 与首末两端 等距离 项的二项式系数相等 即 Cn m Cn n m 2 二 项式系数最值 注意 A 如果二项式的幂指数是偶数 中间一项的二项式系数最大 即 第n 2 1项 B 如果二项式的幂指数是奇数 中间两项的二项式系数相等且最大 即 第n 1 2 项与第n 1 2 1项系数相等最 大 C 所有二项式系数的和为2n 即Cn 0 Cn 1 cn 2 Cn n 1 Cn n 2n D 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和 即 Cn 1 Cn 3 cn 5 Cn 0 Cn 2 cn 4 10 510 5 概率初步概率初步 1 随机事件随机事件 1 随机试验 试验结果不可能预测 但一切可能出现的结果确是可以知道的 我们称这样的试验为随机试验 简称试验 2 基本事件 一次随机试验每一个可能出现的结果称为基本事件 通常用小写希腊字母 表示 3 样本空间 一个随机试验的一切可能可能构成的集合叫做这个试验的样本空间 通常用大写希腊字母 表 示 4 随机事件 样本空间的任意子集 称作随机事件 简称事件 用 A B C 等表示 5 必然事件 在一定条件下必然发生的时事件 就是一个必然事件 6 不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件 用 表示 注意 1 随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件 简称简单事件 2 不能再分的随机事件简称基本事件 3 全体基本事件构成的集合 4 必然事件和不可能事件是随机事件的特殊情况 2 随机事件的概率随机事件的概率 在大量重复进行同一试验时 事件 A 发生的频率总是接近某一个常数 并且在他附近摆动 这时就把这常数 叫做事件 A 的概率 记做 P A 注意 1 随机事件概率 0 P A 1 2 必然事件 P 1 3 不可能事件 P 0 4 频率可以通过试验来测量 概率是频率的一个近似值 3 古典概型古典概型 古典概型 如果试验的基本事件的总数为 n 随机事件 A 所包含的基本事件数为 m 则称m n为事件 A 发生的 概率 记做 P A 即 P A m n m n 显然事件 A 的概率满足0 P A 1 10 610 6 随机抽样随机抽样 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽 样 1 等概率抽样 2 不放回抽样 从总体中逐个抽取 最基础抽样工具 总体中个数较少 系统抽样 将总体均分成几部分 按 事先确定的规则分别在 各部分中抽取 在起始部分抽样 时采用简