文科高等数学重要知识点汇总.pdf

第一章第一章 函数与极限函数与极限 一 内容提要一 内容提要 1 函数是微积分研究的对象 定义域 对应法则构成其两要素 2 极限分成数列极限与函数极限 是微积分学的基础 以后的内容绝大多数与此紧密相关 3 无穷小与无穷大是两个特殊的变量 为了更精细的研究它们之间的关系 必须讨论它们 之间比较时产生的阶的关系 4 求极限的方法有多种 本章主要有利用极限运算法则及两个极限存在法则方法 并利用 后者得到两个重要极限 5 利用极限来描述连续这种直观现象是用极限对函数研究的第一次应用 并得到了初等函 数的连续性 作为连续函数 当其在闭区间上时具有特殊的性质 二 重要结论二 重要结论 1 的定义为 lim n n aa 0 0 n NnNaa 恒成立 则 f x在 上单调增 a b 加 若 0fx 恒成立 则 f x在 上 是凹的 若 a b 0fx 00 xx x 时 0fx 则在 0 x处函数取极大值 若有 00 xxx 时 0fx 则在 0 x处函数取极 小值 若 0 0 U x 中 fx 不变号 则在 0 x处函数不取极值 f x在 0 x处有二阶导数 且 0 0fx 若 0 0fx 则在 0 x处函数取极小值 若 0 0fx 则在 0 x处函数取极大值 6 若 0 xx 或 0 xx 时 f x 则 0 xx 为函数的垂直渐近线 若 lim x f x a x 且 lim x fxaxb 则yaxb 为函数的斜渐近线 7 弧微分公式 22 dsdxdy 曲率公式 曲线的参数方程 xt yt 3 22 2 tttt K tt 第四章 不定积分第四章 不定积分 一 内容提要一 内容提要 1 求原函数的运算是求导运算的逆运算 即已知函数的导函数来寻找的 运算 这种运算远比求导运算困难得多 xF xf xF 2 的不定积分不是指一个原函数 而是指全体原函数 是 xf dxxf 一个函数族 3 即使存在的话 也未必能用初等函数来表示 即所谓的积不出来 dxxf 4 基本积分公式和不定积分的线性性质是求积的重要工具 5 求积的基本方法有 直接积分法 换元积分法 分部积分法 但具体选择什么方法 常 需要对具体问题进行具体分析 二 重要结论 二 重要结论 1 第一类换元法 若 则 CuFduuf CtFdtttf 2 第二类换元法 若 tx 单调 可导 0 t 且 Ctdtttf 则 有Cxdxxf 1 其 中为 1 x tx 的反函数 3 分部积分公式 vdxuuvdxvu 或 vduuvudv 4 几类可积函数的积分法 有理函数 三角函数有理式及简单无理函数 5 基本积分公式 部分 1 Cxxdx cos lntan 2 Cxxdx sin lncot 3 Cxxxdx tansec lnsec 4 Cxxxdx cotcsc lncsc 5 C a x aax dx arctan 1 22 6 C ax ax aax dx ln 2 1 22 7 C a x xa dx arcsin 22 8 Caxx ax dx ln 22 22 9 Caxx ax dx ln 22 22 10 Caxx a ax x dxax ln 22 22 2 2222 11 Caxx a ax x dxax ln 22 22 2 2222 第五章 定积分第五章 定积分 一 内容提要 一 内容提要 1 定积分作为无穷多个无穷小和的极限问题 其基本思想对以后的重积分 曲线积分 曲 面积分有着重要的指导作用 2 积分上限函数直接引出了微积分基本定理 在积分学部分占有极其重要的地位 3 由于无须变量的回代 定积分的换元法在使用上比不定积分的换元法更为方便 也更为 灵活 4 广义积分作为定积分的推广 实际上描述了定积分的极端情况 二 重要结论二 重要结论 1 定积分的几何意义 表示曲线 b a dxxf bxaxxfyy 0所围图形面积的代 数和 或各曲边梯形面积的代数和 2 定积分的主要性质 1 线性性质 b a b a b a dxxgkdxxfkdxxgkxfk 2121 其中为任意常数 21 k k 2 区间可加性 b a c a b c dxxfdxxfdxxf 3 保号性 设在区间上 ba xgxf 则 b a b a dxxgdxxf 若在上连续 且 xgxf ba xgxfxgxf 则 b a b a dxxgdxxf 特别地 设在区间上 baMxfm 则有 b a abMdxxfabm 4 积分中值定理 设在上连续 则在上至少有一点 xf ba ba 使得 b a abfdxxf 3 微积分基本公式 公式 设在上连续 为在 上的任一原函数 则有 LeibnizNewton xf ba xF xf ba b a b a aFbFxFdxxf 或 设在上连续 令 则有 xf ba x a dttfx baxxfx 4 定积分的换元积分公式 设在上连续 xf ba tx 满足条件 1 t 在 或 上 连续 2 ba 且当 t 或 t 时 bta 则有 b a dtttfdxxf 5 定 积 分 的 分 部 积 分 公 式 设在上 连 续 可 导 则 xvxu ba b a b a b a vdxuuvdxvu 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 一 内容提要一 内容提要 1 元素法是本章的最基本内容 其余都是元素法的具体应用 掌握该方法便可真正掌握本 章的所有公式 而且能灵活应用在其它地方 2 常见的元素法的具体应用 可用于几何中的平面图形面积 体积及平面曲线的弧长等问 题 还有物理中的变力沿直线作功 水压力及引力等问题 二 重要结论二 重要结论 1 若实际问题中所求量为U 使用元素法的条件 1 U是与一个变量x的变化区间 a b有关的量 2 U对于区间 a b具有可加性 3 部分区间上对应的部分量的近似值可表示为 i U ii fx 2 求上述量U的元素法的具体步骤 1 根据问题的具体情况 选取一个变量如x作为积分变量 并确定它的变化区间 a b 2 将分成个小区间 任取其一记为 a b n x xdx 如相应于这个小区间的部分量 可近似表示为 上的一个连续函数在 i U a bx处的值 f x与的乘积 就称dx f x dx为U的元素 记为 dU 3 所求量可由积分得出 b a Uf x d x 3 曲线及直线 0yf xf x xa xbab 与x轴所围成的曲边梯形的 面积公式 b a Af x dx 此处希望同学不要将该公式理解为已学过的定积分的几何意义 而要将 f x dx理解成 一个窄的区间 x xdx 上的矩形面积 是曲边梯形的面积元素 所求面积就是面积元 素在上的积分 以下的公式也希望同学理解为元素法的具体应用 关键是找出描 述元素的表达式 并将所求量理解成元素在 a b a b上的累加 4 曲线 及射线 所围曲边扇形面积公式 21 2 Ad 5 连续曲线 yf x 直线xa xb 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成 的旋转体体积公式 2 b a Vfx dx 6 一立体位于两个分别过点xa xb 且垂直于x轴的平面之间 A x为过点x且垂 直于x轴的截面面积 是连续函数 则该立体体积公式为 此处希望 同学回忆一下 祖亘原理 b a VA x d x 7 光滑曲线弧是可求长的 若曲线弧由参数方程 xt t yt