第1章矩阵理论初步11 数域数是数学的一个最基本概念,它.docx

第1章 矩阵理论初步1.1 数 域数是数学的一个最基本概念,它产生于人类对自然的认识实践并不断拓展其内涵,例如自然数、整数、有理数、实数、复数等.数集是以数为元素的集合,例如偶数集、奇数集、自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C，等等. 关于数、数集、数的简单代数运算及性质已经在中小学的初等代数学课程学习中逐步展现.高等代数学(Advanced Algebra )是研究数集更广泛的代数运算及其性质的代数学,它是数的加、减、乘、除等代数运算性质的延伸与拓展,主要研究工具是矩阵理论. 具有数的加、减、乘、除运算的数集称为数域，基本定义如下.定义1.1 设P是一个数集,其中包括0与1. 如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域.容易验证,有理数集Q、实数集R和复数集C关于数的四则运算都具有上述定义的特性,因此它们都是数域,通常被称为有理数域Q、实数域R和复数域C.容易发现,偶数集、奇数集、自然数集N和整数集Z关于数的四则运算都不具有上述定义的特性.因为两个偶数的商可以是奇数，两个奇数的和一定是偶数，两个自然数的差可以是负整数，两个整数的商可以是非整数的有理数，所以这些数集关于数的四则运算都不构成数域.如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍然在P中,我们就说数集P对这个运算封闭. 有理数域Q、实数域R和复数域C之所以构成数域，是因为它们关于数的四则运算在各自集合内都是运算封闭的；而偶数集、奇数集、自然数集N和整数集Z之所以都不构成数域，是因为它们在各自集合内关于数的四则运算中的某种运算不是封闭的. 可见,四则运算是否封闭是反映数域的本质属性,于是关于数域定义可以描述如下： 定义1.2 设P是包含0,1的数集,如果P关于数的和、差、积、商(除数不为零)是封闭的,那么P就称为一个数域.这样,数域是具有特定含义的数集,它有丰富的自身特性和广泛的应用. 下面通过例题说明数域的构造方法.例1.1 考虑数集x|x=a b2,a,bQ，它关于数的四则运算构成一个数域,通常用Q(2)来表示这个数域.证 显然,数集Q(2)包含0与1. 并且x,yQ(2),有x=a b2, y=c d2, a,b,c,dQ,由于Q是有理数域,所以xy=(a b2)(c d2)=(ac) (bd)2Q(2),xy=(a b2)(c d2)=(ac 2bd) (ad bc)2Q(2),即它对于加、减、乘法都是封闭的. 又若x=a b20,则a-b20,于是yx=c d2a b2=(c d2)(a-b2)(a b2)(a-b2)=ac-2bda2-2b2 ad-bca2-2b22Q(2),即运算对除法( 除数不为零时 )封闭,因此,Q(2)是数域.这个例子说明了某些数域的构造过程，实际上对给定非平方数m0, =m是无理数，则Q()就是一个数域(见习题1). 另外,Q(i)也是一个数域，这里i=-1，是虚数单位.例1.2 复数域C=x|x=a bi,a,bR,其中 i=-1,则C=R(i).例1.3 设是一个给定实数,可以证明： 所有可以表示成形式a0 a1 annb0 b1 bmm (分母不为0)的数的全体关于数的四则运算构成一数域,其中ai,bj(i=0,1,n;j=0,1,m)是整数,n,m为任意非负整数.下列结果给出数域的一个重要性质.定理1.1 所有数域都包含有理数域作为它的一部分,即若P是一个数域,则必然有QP.证 根据数域定义,0,1P. 利用P关于运算的封闭性,有2=1 1P,3=2 1P,n=(n-1) 1P, 即NP,同样,-1=0-1P,-2=0-2P,-n=0-nP, nN,即ZP,从而(0)Q,m,nZ,使得=n/mP,这样有QP.上述重要性质不仅说明有理数域的最小性，同时也说明所有数域必然都是无限数集. 当然,包含有理数域的数集未必都是数域,例如例1.4 考虑数集S=x|x=a b2,aQ,bZ,其中Q是有理数集,Z是整数集,它显然满足QS，容易知道它关于数的乘除运算不封闭，所以不构成数域.习 题 1.11. 对给定非平方数m0,=m是无理数,证明Q()是一个数域.2. 验证例1.3中的数集构成一个数域.3. 对例1.4中的数集,举出乘除运算不封闭的实例.4. 仿数域F=Q(2)的构造,考虑数集F(3)元素的构成，判定F(3)是否是数域?1.2 矩 阵1.2 矩 阵考虑中学代数中的二元线性方程组x-2y=1,3x 4y=0.(1.1)这个方程组中的未知量x,y用什么符号无关紧要,例如用x1,x2替换x,y并不影响解的存在与否. 换言之,确定这个方程组的是它的系数项和常数项. 把它的系数按照位置关系标记为1-23 4, (1.2)称为线性方程组(1.1)的系数矩阵.把它的系数和常数项按照位置关系标记为1-213 40,(1.3)称为线性方程组(1.1)的增广矩阵. (1.2),(1.3)是简单的矩阵形式,它反映了(1.1)所表达的主要信息. 以后将会看到,很多问题尽管性质完全不同，表面上完全没有必然联系,但若归结成矩阵问题却是相同的,这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念.目前,矩阵已经成为代数学的主要研究工具. 为使读者对矩阵的概念和产生背景有基本了解,我们再看从应用实例中所提炼出的矩阵概念,然后建立矩阵的一般概念.1. 解析几何中坐标旋转问题在平面解析几何中,考虑坐标的转轴(反时针方向转轴,为x轴的夹角),则有平面直角坐标变换公式:x=xcos-ysin,y=xsin ycos. (1.4)这里的新坐标(x,y)与旧坐标(x,y)之间的关系可以通过式(1.4)排成的22矩阵cos-sinsin cos(1.5)表示出来.通常,矩阵(1.5)称为坐标变换(1.4)的矩阵. 在空间解析几何中,对保持原点仿射坐标的变换有公式x=a11x a12y a13z,y=a21x a22y a23z,z=a31x a32y a33z.(1.6)同样对应有矩阵a11a12a13a21a22a23a31a32a33, (1.7)这个矩阵就称为坐标变换(1.6)的矩阵.2. 股市中数据表格问题假设某证券公司经营s种业务： g1,g2,gs，有m位客户k1,k2,km在该公司办理买卖业务,考虑某时刻的客户股权拥有量问题. 如果记客户ki拥有业务gj的数量为aij,则有客户股权拥有量数据表:g1g2gsk1a11a12a1sk2a21a22a2skmam1am2ams 这个数据表所揭示的内容是该证券公司经营状况与股权客户的经济信息,可以用a11a12a1sa21a22a2sam1am2ams来表示上述信息,这就归结为代数学中的ms矩阵.3. 国民经济的数学问题假如在某一地区,某一种物资,比如说煤,有s个产地A1,A2,As和n个销地B1,B2,Bn,那么一个调运方案就可以用一个矩阵a11a12a1na21a22a2nas1as2asn来表示,其中aij表示由产地Ai运到销地Bj的数量,这就归结为代数学中sn矩阵问题.现在来给出矩阵定义.定义1.3 给定数域P,正整数m,n,对任意aijP(i=1,2,m;j=1,2,n),构造m行n列格式a11a12a1na21a22a2nam1am2amn, (1.8)称式(1.8)为数域P上的一个mn矩阵. 其中aij称为该矩阵的第i行第j列元素,或(i,j)位置元素. 数aij (i=1,2,m; j=1,2,n）称为式（1.8）所示矩阵的元素,i称为元素aij的行指标,j称为元素aij的列指标.通常,用大写字母A,B,C,或Asn,Bmn,Cms,或(aij)mn,(bij)st,(cij)ms,或(aij),(bij),(cij),符号来简单地表示矩阵.作为特例,数域P上的11矩阵(a11)可以认为就是数域P中元素a11,因此,数域P上的mn矩阵是数域概念的延伸. 而n维行向量(a1,a2,an)也可以看成矩阵的特殊情形,它就是1n矩阵；n维列向量a1a2an(a1,a2,an)T就是n1矩阵. 这表明,数域P上的mn矩阵也是n维向量概念的拓展. 数域P上的mn矩阵通常不再是数,而是由mn个数所构成的特定格式.最后,给出矩阵相等的概念.定义1.4 设A=(aij)mn,B=(aij)lk分别是数域P上的mn矩阵和lk矩阵,如果m=l,n=k,且aij=bij,对i=1,2,m;j=1,2,n都成立,我们就说矩阵A与矩阵B是相等的矩阵,记为A=B.为方便,我们把mn矩阵的行数、列数组成的数组（m,n）称为其类型. 因此，矩阵A,B相等当且仅当A,B满足： (1)A,B具有相同类型； (2)A,B所有对应位置元素相等.如果数域P上的mn矩阵的所有位置元素全为0,就说该矩阵是mn零矩阵(简称零矩阵),并记为0mn或0. 显然,对数域P上同一类型的mn矩阵而言,零矩阵是唯一的.数域P上的nn矩阵称为n阶方矩阵,简称n阶方阵,或方阵. 它是行数、列数相等的矩阵a11a12a1na21a22a2nan1an2ann. (1.9)通常把左上角到右下角位置称为主对角线(简称对角线),右上角到左下角位置称为副对角线(或称次对角线).形如a11a12a1n0a22a2n00ann , a1100a21a220an1an2ann (1.10)的n阶方阵分别称为上三角矩阵、下三角矩阵. 特别地，对角线外元素全为0的n阶方阵称为对角矩阵，即a11000a22000ann. (1.11)通常把式(1.11)简记为diag(a11,a22,ann). 对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵,即a000a000a. (1.12 )对角线上元素全为1的数量矩阵称为单位矩阵,通常记单位矩阵为En或E,即E=100010001. (1.13 )相应地,把数量矩阵 (1.12) 记为 aEn 或 aE. 这些特殊的方矩阵形式简单,以后将会看到它们在矩阵理论中的重要作用.习 题 1.21. 考虑高三学年语文、数学、英语3门课程4次模拟高考成绩,用矩阵方法建立个人成绩档案.2. 用3种不同面值的硬币分别作3,4,6次投掷实验,用数字1表示正面，-1表示反面,用aij表示第i种硬币的第j类实验结果的数字之和，把实验结果写成矩阵(aij)形式.3. 考虑空间解析几何中3个平面P1:2x-y 3z=1, P2:4x 2y 5z=4, P3:2x y 2z=5的交点问题,写出该问题确定的线性方程组以及所对应的系数矩阵、常数项和增广矩阵.4. 对本节股市中数据表格问题中的矩阵,给出一组调研数据,并用矩阵表示出来.1.3 矩阵的运算1.3 矩阵的运算上节给出了矩阵的概念,定义了矩阵的相等,现在来定义矩阵运算,它们可以认为是矩阵之间一些基本的关系运算. 这些运算是矩阵的加法、乘法，矩阵与数的乘法,矩阵的转置以及方矩阵的方幂运算等.为了确定起见,我们取定一数域P,以下所讨论的矩阵全是数域P上的矩阵.1. 矩阵的加法定义1.5 设A=(aij)sn=a11a12a1na21a22a2nas1as2asn, B=(bij)sn=b11b12b1nb21b22b2nbs1bs2bsn是两个sn矩阵,则矩阵 C=(cij)sn=(aij bij)sn=a11 b11a12 b12a1n b1na21 b21a22 b22a2n b2nas1 bs1as2 bs2asn bsn(1.14)称为A与B的和，记为C=A B.而矩阵-a11-a12-a1n-a21-a22-a2n-as1-as2-asn称为矩阵A的负矩阵,记为-A.当然，可以相加的矩阵首先要有相同的类型,即有相同的行数和列数,其次矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加. 由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,不难验证,矩阵的加法运算具有如下性质:(1) 交换律： A B=B A; (2) 结合律： A (B C)=(A B) C; (3) 对所有的A,A 0=A,这里0是与A同类型的零矩阵；(4) 对所有的A,均有A (-A)=0，这里0是与A同类型的零矩阵.显然，对给定的矩阵A，满足A B=0的矩阵B是唯一的,它就是A的负矩阵-A.在定义了矩阵加法和负矩阵后,自然有矩阵的减法定义:A-BA (-B).例1.5 考虑某商业公司下属4个子公司甲、乙、丙、丁，经营3种商品w1,w2,w3的销售量(按各自单位的数量)情况. 假设上、下半年销售量明细表矩阵分别为A=27832612726530012519825613030240080, B=216278200265280355231290165400435110,那么,该公司下属4个子公司全年销售量明细表矩阵C为A与B的和,即C=A B=278 216326 278127 200265 265300 280125 355198 231256 290130 165302 400400 43580 110=494604327530580480429546295702835190; 而下半年比上半年销售增加量的明细表矩阵D为B与A的差,即D=B-A=-62-48730-20230333435983530.2. 矩阵的乘法在给出乘法定义之前，我们先看一个例子.例1.6 仍考虑例1.5中销售量问题,假设各子公司执行统一的进货、销售价格,若上半年度各经营商品的单位销售价格与成本价格表(单位为百元)为矩阵X=1055887.540216110,这里矩阵X的第1列为商品w1,w2,w3的销售价，第2列为商品w1,w2,w3所对应的成本价.则各子公司在上半年度经营商品的销售总额与总成本明细表矩阵为Y=8514743134810754112071270360248399042316.这个结果是由销售量矩阵A和单位销售与成本价格矩阵X所计算出来的,即有278326127265300125198256130302400801055887.5402161108514743134810754112071270360248399042316. (1.15)并且甲公司的销售总额85147是由销售量矩阵A的第1行和单位销售与成本价格矩阵X的第1列对应乘积之和所计算： 278105 32687.5 127216=85147.于是有理由把式(1.15)写成278326127265300125198256130302400801055887.540216110=8514743134810754112071270360248399042316.把上式一般化,就有a11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43x11x12x21x22x31x32=3k=1a1kxk13k=1a1kxk23k=1a2kxk13k=1a2kxk23k=1a3kxk13k=1a3kxk23k=1a4kxk13k=1a4kxk2, (1.16)这样,由43矩阵A=(aij)和32矩阵X=(xij)决定一个42矩阵Y=(yij)，其中yij具有一般计算公式yij=3k=1aikxkj=ai1x1j ai2x2j ai3x3j, i=1,2,3,4;j=1,2. (1.17)我们把矩阵Y称为矩阵A和矩阵X的乘积,并把(1.15)简单记为Y=AX,它的元素由式(1.17)决定.一般地,我们有如下定义.定义1.6 设A=(aik)sn,B=(bkj)nm,那么矩阵C=(cij)sm称为矩阵A与B的乘积,记为C=AB,其中cij=ai1b1j ai2b2j ainbnj=nk=1aikbkj.(1.18) 由矩阵乘法定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素乘积之和. 显然，必须要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等，这是矩阵A,B可乘的前提条件，我们称之为可乘性条件.例1.7 设A=10-12-113005-14, B=03412131-1-121.这里A是34矩阵,B是43矩阵,于是乘积C=AB有意义,且C=AB=10-12-113005-1403412131-1-121=-567102-6-21710.运算结果是33矩阵,其各个元素根据式(1.18)得出.例1.8 考虑1.2节开头中线性方程组式(1.1)，若记(x,y)=(x1,x2),则这个方程组可表示为1-23 4x1x2=10.例1.9 考虑n 1维行向量=(a0,a1,a2,an)和n 1维列向量=1xxn,它们分别作为1(n 1)矩阵和(n 1)1矩阵可以作乘积,得到=a0 a1x a2x2 anxn, (1.19)这是x的n次多项式,通常记为 f(x)=a0 a1x a2x2 anxn. 关于多项式基本理论将在下一章中专门介绍.与矩阵的加法适合结合律一样,可以证明:(1) 矩阵的乘法也适合结合律： (AB)C=A(BC).事实上,设A=(aij)sn, B=(bjk)nm, C=(ckl)mr.令V=AB=(vik)sm, W=BC=(wjl)nr,其中vik=nj=1aijbjk, i=1,2,s;k=1,2,m,wjl=mk=1bjkckl, j=1,2,n;l=1,2,r.因为(AB)C=VC中VC的第i行第l列元素为mk=1vikckl=mk=1nj=1aijbjkckl=mk=1nj=1aijbjkckl,(1.20)而A(BC)=AW 中AW第i行第l列元素为nj=1aijwjl=nj=1aijmk=1bjkckl=nj=1mk=1aijbjkckl.(1.21)由于双重连加号可以交换次序,所以式(1.20)与式(1.21)的结果是一样的,这就证明了结合律.但是,与矩阵加法适合交换律不同的是,矩阵的乘法不适合交换律. 即一般说来,ABBA.这是因为,首先,在乘积中要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数,否则乘积没有意义,所以,当AB有意义时,BA不一定有意义，如例1.6中的矩阵A与X；其次,即使AB与BA都有意义时,它们的类型也不一定相同,因为乘积的行数等于第一个因子的行数,列数等于第二个因子的列数. 如上面例1.7中,AB是一个33矩阵,而BA是一个44矩阵,它们属于不同类型的矩阵,当然ABBA. 再次， 即使相乘的矩阵都是nn矩阵,但是它们也不一定相等, 例如,对A=11-1-1, B=10-10,有AB=11-1-110-10=0000,而BA=10-1011-1-1=11-1-1.也同样有ABBA.这个例子不仅说明矩阵的乘法不适合交换律,并且看到两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵,这是矩阵乘法与普通数的乘法的一个不同点. 由此可以得出结论： 矩阵乘法的消去律不成立. 即当AB=AC时,即使A0也不一定有B=C. 容易由上面的例子类举出这样的例子(见本节习题5).可以证明,矩阵乘法还具有如下性质(证明留给读者): (2) AsnEn=Asn,EsAsn=Asn.(3) 矩阵的乘法对加法还适合左、右分配律,即A(B C)=AB AC; (1.22)(B C)A=BA CA. (1.23) 应该指出,由于矩阵的乘法不适合交换律,所以式(1.22)和式(1.23)是两条不同的规律.定义1.7 设A是n阶方矩阵,k为正整数,矩阵A的方幂定义为A1=A, Ak 1=AkA.换句话说,Ak就是k个A连乘的结果. 不难证明.(4) 矩阵方幂的指数法则: AkAl=Ak l, (Ak)l=Akl,其中k,l为任意正整数.值得注意,因矩阵乘法不适合交换律, 所以(AB)k与AkBk一般不相等.3. 矩阵的数量乘法仍以例1.5中销售量问题来探讨矩阵的数量乘法.例1.10 在例1.5中，我们得到该公司下属4个子公司全年销售量明细表矩阵C为 C=A B=494604327530580480429546295702835190,如果按照每年10%销售量递增,则次年的销售量明细表矩阵Q为Q=(1 10%)C=4941.16041.13271.15301.15801.14801.14291.15461.12951.17021.18351.11901.1.这就是矩阵的数量乘法. 一般地我们给出如下定义.定义1.8 矩阵ka11ka12ka1nka21ka22ka2nkas1kas2kasn称为数k与矩阵A=(aij)sn的数量乘积,记为 kA.换句话说,用数k乘矩阵就是把矩阵的每一个元素都乘上k. 不难验证，数量乘积适合以下性质： (1) 数字1的单位性: 1A=A; (2) 数乘与数的乘法结合性: k(lA)=(kl)A=l(kA); (3) 数乘对数的加法的分配性: (k l)A=kA lA; (4) 数乘对矩阵加法的分配性: k(A B)=kA kB; (5) 数乘对矩阵乘法的结合性: k(AB)=(kA)B=A(kB).我们只证明性质(5),其余留给读者证明. 设A=(aik)sn, B=(bkj)nm,在k(AB),(kA)B,A(kB)中,(i,t)位置元素依次为knj=1aijbjt, nj=1(kaij)bjt=knj=1aijbjt, nj=1aij(kbjt)=knj=1aijbjt.显然它们是一样的,这就证明了性质(5).推论1.1 作为性质(5)的特殊情形,对于数量矩阵kE和n阶方阵A,有kA=(kE)A=A(kE), (kE)(lE)=(kl)E. 这表明，数量矩阵与所有的n阶方阵乘法是可以交换的. 可以证明： 如果一个n阶方阵与所有n阶方阵作乘法是可以交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵(参看本节习题8).4. 矩阵的转置定义1.9 设A=a11a12a1na21a22a2nas1as2asn,所谓A的转置就是指矩阵B=a11a21as1a12a22as2a1na2nasn.A的转置是把A的行列互换所得到的矩阵,显然,sn矩阵的转置是ns矩阵. 通常记A的转置为AT或A(本书均用AT表示A的转置). 矩阵的转置有以下性质： (1) 矩阵的转置的转置等于自身: (AT)T=A; (2) 矩阵和的转置等于转置的和: (A B)T=AT BT; (3) 矩阵数乘的转置等于转置的数乘: (kA)T=kAT; (4) 矩阵积转置等于转置颠倒次序的积: (AB)T=BTAT.很容易验证性质(1)(3)成立，现在验证性质(4). 设A=a11a12a1na21a22a2nas1as2asn, B=b11b12b1mb21b22b2mbn1bn2bnm.则AB中的(i,j)元素为nk=1aikbkj.所以,(AB)T中(i,j)的元素就是nk=1ajkbki, (1.24)其次,BT中(i,k)的元素是bki,AT中(k,j)的元素是ajk,于是,BTAT中(i,j)的元素即为nk=1bkiajk=nk=1ajkbki. (1.25)比较(1.24), (1.25)两式即得性质(4).例1.11 设A=1-12203, B=2-10113421,于是AB=1-122032-10113421=92-11643.AT=12-1023, BT=214-112031,所以BTAT=214-11203112-1023=91624-13=92-11643T=(AB)T.通常,一个矩阵的转置与其自身是不同类型的,只有方矩阵的转置才与其自身同类型，但其转置一般不与原矩阵相等. 下列概念是两类特殊的方矩阵.定义1.10 设A=(aij)nn,如果AT=A,即aij=aji对i,j=1,2,n都成立，则称A为对称矩阵；如果AT=-A，即aij=-aji对i,j=1,2,n都成立,则称A为反对称矩阵.容易看到,对称矩阵是其元素关于对角线对称位置相等的方矩阵；反对称矩阵是其元素关于对角线对称位置互为相反数的方矩阵,并且它的对角线元素全为0. 可以证明，任何n阶方阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和(见本节习题9).5. 矩阵的线性运算在矩阵加法与数乘基础上,可以考虑矩阵的线性运算kA lB,其中A,B是同类型矩阵,k,l是数域P中的数. 例如:例1.12 设A=2-15304,B=102-2-35, 对k=3,l=2,有kA lB=32-15304 2102-2-35=6-3159012 204-4-610=8-3195-622; 对k=5,l=-2,有kA lB=52-15304 (-2)102-2-35=10-52515020 -20-446-10=8-52119610.6. 方矩阵的多项式运算在讨论矩阵乘积时,我们已定义了方矩阵的方幂(见定义1.7)，现在利用矩阵的线性运算来讨论方矩阵的多项式运算.定义1.11 对数域P上n阶方阵A=(aij)nn和类似例1.9的多项式f(x)=a0 a1x a2x2 amxm, 约定,A0=En,则 a0En a1A a2A2 amAm是一个n阶方阵,称为n阶方阵A的多项式矩阵,记为f(A).例1.13 设A=12-30,B=-1020-21321,f(x)=x2-3x 5，求f(A), f(B).解 对A=12-30,有f(A)=12-302-312-30 51001=-52-3-6-36-90 5005=-3-46-1; 对B=-1020-21321,有f(B)=-1020-213212-3-1020-21321 5100010001=74036-10-29-3060-63963 500050005=154-6317-4-9-811.习 题 1.31. 对下列矩阵计算AB,AB-BA.(1) A=123212323, B=2-10132-101; (2) A=111xyzyzx, B=1xyz1xxyz.2. 计算矩阵乘积或方幂.(1) 31-254; (2) 0123-201132; (3) 11012,11013,1101n; (4) 0123-201131-34; (5) 1001002,1001003,100100n; (6) 1, 2, -20123-20113; (7) 4, -2, 10123-20113302; (8) 1, 2, -22-13; (9) 2-131, 2, -2; (10) 111111-1-11-1-111-11-12, 111111-1-11-1-111-11-13, 111111-1-11-1-111-11-1n.3. 计算矩阵多项式f(A).(1) A=3-152, f(x)=x2 2x-3; (2) A=12-30122-21, f(x)=x2-5x 6.4. 证明： 矩阵的乘法对加法适合左、右分配律,即本节式(1.22)、式(1.23)两式成立.5. 矩阵乘法的消去律不成立,即当AB=AC时,即使A0也不一定有B=C成立. 试针对22矩阵举出例子.6. 在下列各题中,求与矩阵A可交换的所有矩阵.(1) A=2302; (2) A=103210121; (3) A=010001100; (4) A=d1000d2000dn,其中 didj(ij).7. 对任意正整数k,给出(AB)k=AkBk的一个充分条件,并加以证明.8. 证明： 如果一个nn矩阵A与所有n阶方阵作乘法都是可以交换的,那么这个矩阵一定是数量矩阵.9. 证明： 任何n阶方阵总可以表示为一