特征值与特征向量.pptVIP

第五讲特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分 它们不只在数学的各分支 如微分方程 差分方程等中有重要应用 而且在其他科学技术领域也有广泛的应用 如工程技术中的振动问题和稳定性问题等 本章将介绍特征值与特征向量 相似矩阵 实向量的内积与正交矩阵等概念 讨论方阵相似于对角矩阵的问题 知识脉络图解 特征值和特征向量 定义 计算 应用 性质 求特征值 求特征向量 方阵的相似对角化 计算 化二次型为标准型 对应不同特征值的特征向量线性无关 对应于不同特征值的特征向量正交 重点 难点解读 首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向量与相似对角化问题之间的关系 理解两个矩阵相似的定义和必要条件 熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求一个正交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤 对于方阵的对角化问题 应掌握以下几个基本结论 阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量 方阵未必总是可以对角化的 但实对称矩阵一定可以相似对角化 而且可以正交相似对角化 一 求具体矩阵的特征值与特征向量 1 矩阵的特征值与特征向量 设A是数域F上的一个阶方阵 如果存在数和数域F上的维非零向量 使得 则称为A的特征值 为A的对应特征值的特征向量 称为A的特征矩阵 称为A的特征多项式 称为A的特征方程 2 求具体矩阵的特征值与特征向量的步骤 第一步由特征方程求得A的个特征值 设是A的互异特征值 其重数分别为 则 第二步求解齐次线性方程组 其基础解系 就是A对应特征值的线性无关特征向量 而A对应特征值的全部特征向量为 3 矩阵运算的特征值与特征向量 4 特征值的重要性质 设的个特征值为 则 例1设矩阵 求的特征值与特征向量 解法1经计算可得 从而 故的特征值为9 9 3 当时 对应的线性无关特征向量可取为 所以对应于特征值9的全部特征向量为 是不全为零的任意常数 当时 对应的特征向量可取为 所以对应于特征值3的全部特征向量为 是不全为零的任意常数 法2设A的特征值为 对应的特征向量为 即 由于 所以 又因为 则 因此 为的特征值 对应的特征向量为 由于 故A的特征值为 当时 对应的线性无关特征向量可取为 当时 对应的特征向量可取为 由 得 故的特征值为9 9 3 所以对应于特征值9的全部特征向量为 是不全为零的任意常数 对应于特征值3的全部特征向量为 是不全为零的任意常数 二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 对于元素没有具体给出的抽象矩阵 要根据题设条件 利用特征值与特征向量的定义 即满足 的和为A的特征值和相应的特征向量 或利用特征方程 满足特征方程的即为A的特征值 或利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值 即 由于 所以 故的一个特征值为 证由题设知 例2证明 若A为阶降秩矩阵 则A的伴随矩阵的个特征值至少有个为零 且另一个非零特征值 如果存在 等于 1 当时 所以的特征值为0 0 0 结论成立 2 当时 这时有个特征值为0 设的特征值为 且则 例3设A是阶实对称矩阵 P是阶可逆矩阵 已知是属于A的特征值的特征向量 则矩阵属于特征值的特征向量是 因为 所以 选B 例4已知3阶矩阵A的特征值为1 1 2 设矩阵 1 求矩阵B的特征值 2 计算行列式及 解 1 由 知 故 因而为B的特征值 将A的特征值代入中 得到B的所有特征值 4 6 12 2 因 所以 由 得 2 另解因A的特征值为1 1 2 故 三 方阵可对角化的判定 计算及应用 1 相似矩阵的概念 设A B为数域F上的两个阶矩阵 如果存在数域F上阶可逆矩阵X 使得 则称A相似于B 记为A B 并称由A到B的变换称为相似变换 称矩阵X为相似变换矩阵 2 相似矩阵的性质 设阶矩阵A与B相似 则 1 2 3 5 若是数域F上任一多项式 则 6 方阵的相似关系是等价关系 3 可对角化矩阵的概念 如果数域F上阶矩阵A可相似于对角矩阵 则称A可对角化 4 可对角化矩阵的条件 1 充分必要条件 A有个线性无关的特征向量 2 充分条件 A有个互异的特征值 3 充分必要条件 A的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数 4 充分条件 A是实对称矩阵 5 方阵可对角化矩阵的判定与计算 对于阶方阵A 判断A可否对角化 并在可对角化的情形下求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵的基本步骤如下 第一步求A的全部特征值 若A有个互异的特征值 则A可对角化 第二步对每一个特征值 解方程组得对应的线性无关特征向量 即齐次线性方程组的基础解系 若某个 即对应的线性无关特征向量的个数小于的重数 则A不可对角化 若 则A可对角化 第三步当A可对角化时 令 则 例1下列矩阵中取何值时 A可对角化 解由 知A的特征值为1 2重 和2 2重 为使A可对角化 则只需对应的线性无关的特征向量均有两个 也即 由于 例2设向量且 令 证明A可对角化 证由题设知 设 即为A的特征值 为对应的特征向量 则由得 即 也即 由知 所以A的互异特征值为或 又因为 所以为A的单特征值 为A的重特征值 为证A可对角化 只需证对应于的线性无关特征向量的个数为 即齐次线性方程组的基础解系含有个解向量 也即即可 由 知不全为零 于是 且 故 因此 A的对应于特征值的线性无关特征向量的个数为 所以A可对角化 解由题设知 A对应于的线性无关的特征向量有两个 故 由于 也可由推出 解得 矩阵A的特征多项式为 由此得特征值 可求得对应于的线性无关特征向量为 而对应于的特征向量为 故可逆矩阵 使得 解A的特征多项式为 若是特征方程的二重根 则有 若不是特征方程的二重根 则为完全平方 从而 解得 当时 A的特征值为2 4 4 例5设A为三阶矩阵 为线性无关的三维列向量 且满足 1 求矩阵B 使得 2 求矩阵A的特征值 3 求可逆矩阵P 使得为对角矩阵 解 1 由题设条件 有 可知 由此可知A与B有相同的特征值 且由 得矩阵B的特征值 也即矩阵A的特征值 得基础解系 对应于解齐次线性方程组 故可逆矩阵 使得 即P即为所求的可逆矩阵 四 由特征值或特征向量反求矩阵中的参数 若已知条件中给出特征向量 由定义式可以求出矩阵A中的参数和特征向量对应的特征值 若只给出特征值而没有给出特征向量 一般用特征方程求解 利用有关性质 如 1 若A与B相似 则 2 相似矩阵有相同的特征值 3 若的个特征值为 则 等也可确定矩阵中的参数 例1已知是矩阵的一个特征向量 1 试确定参数及特征向量所对应的特征值 2 问A能否相似于对角阵 说明理由 解 1 由 得 即 解得 特征向量对应的特征值 2 由知是A的三重特征值 又 所以 从而3重特征值 1对应的线性无关特征向量只有1个 故A不能相似于对角矩阵 解设是所属的特征值 则 即 于是 由此得 解得 于是或1时 是的特征值 解法1因为A与B相似 所以 得 比较两边同次幂的系数 得 解得 法2因为A相似于B 而B为对角阵 故知A的特征值为0 1 4 可求得 分别令得 解得 法3利用 并注意A的特征值为0 1 4 得 解得 五 由特征值或特征向量反求矩阵 提供了矩阵A的特征值与特征向量的足够多信息 确定A的元素 即为反求矩阵的问题 在这类问题中 矩阵A一般是可对角化的 分析这是已知全部特征值与部分特征向量 反求另一部分特征向量及矩阵A的问题 这类问题一般是对实对称矩阵来讨论的 主要是利用实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交的性质 解由于A是实对称矩阵 故有 解得 从而 设是A对应特征值的特征向量 它与都正交 于是 解得其基础解系为 于是 令 则 故 例2设三阶实对称矩阵A的秩为2 是A的二重特征值 若都是A的属于特征值6的特征向量 1 求A的另一个特征值和对应的特征向量 2 求矩阵A 解因为是A的二重特征值 故A属于特征值6的线性无关的特征向量有2个 由题设可得的一个极大无关组为 故是A属于特征值6的线性无关的特征向量 由可知 所以A的另一个特征值 设所对应的特征向量为 则有 即 解此方程组的基础解系为 即A属于特征值的特征向量为 为不为零的任意常数 2 令矩阵 则由 六 有关特征值与特征向量的证明 涉及矩阵A的特征值与特征向量的证明问题 往往是由定义出发 经恒等变形推证有关结论 例1设A和B均是阶非零方阵 且满足 证明 1 0和1必是A和B的特征值 2 若是A的属于特征值1的特征向量 则必是B的属于特征值0的特征向量 证 1 由 得 又 所以有非零解 从而 即必是 A的特征值 又因为且 从而有非 零解 即 故也必是A的特征值 同理可证 0和1必是B的特征值 2 由题设 则有 例2设是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量分别为 则线性无关的充分必要条件是 分析设 整理得 由于是矩阵A的两个不同的特征值 所以对应的特征向量线性无关 从而 上述方程组只有惟一零解的充分必要条件是 这即是线性无关的充分必要条件 应选 B 可见是A的属于1的特征向量时 也是B的属于0的特征向量 例3设阶方阵A可与对角阵相似 是A的一个特征值 是A属于特征值的特征向量 试证 元线性方程组无解 证用反证法若线性方程组有解 设为 即 根据题设 存在可逆矩阵 使得 由于T可逆 所以线性无关 从而它们为的一组基 故 于是 这与线性无关矛盾 故不存在使 七 相似矩阵的判断与证明 已知两个具体的阶矩阵A和B 判断A与B是否相似常采用如下方法 方法1当 或 或 有一个不成立时 A与B不相似 因为上述条件均为A与B相似的必要条件 方法2当A与B都相似于同一个对角矩阵时 A与B相似 所给的条件仅是充分的 对于抽象矩阵A与B是否相似 常用定义判定 1 记 求3阶方阵B 使 2 计算行列式 解 1 矩阵B满足 即 由于 所以 2 证由于 所以 必要性获证 下证充分性 设 则 八 正交矩阵的判断与证明 1 正交矩阵的概念 阶矩阵A为正交矩阵 2 正交矩阵的性质 1 如果A是正交矩阵 则 2 如果A是正交矩阵 则均为正交矩阵 而是正交矩阵的充分必要条件是 3 如果A B是阶正交矩阵 则AB也是正交矩阵 4 阶实矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是 A的列 行 向量组是规范正交向量组 判定一个实方阵A是否为正交矩阵往往用定义 也可验证A的列 行 向量组是否是规范正交向量组 当已知A是正交矩阵求证其他结论时 要用到正交矩阵的定义及有关性质 证一因为A满足和 所以 证二由得 所以 例2求证 不存在正交矩阵A B 使 证用反证法若存在阶正交矩阵A B 使 式右乘得 式变形为 再左乘得 由于A B是正交矩阵 从而是正交矩阵 此即A B是正交矩阵 类似可知也是正交矩阵 故有 两式相加得 矛盾 即知结论 九 实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算 1 实对称矩阵的性质 1 实对称矩阵的特征值皆为实数 2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交 3 实对称矩阵可正交相似于对角矩阵 即对于任意一个阶实对称矩阵A 都存在一个阶正交矩阵使为对角矩阵 2 实对称矩阵正交相似于对角阵的计算步骤 化实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤如下 第一步求A的特征值和