（7年真题推荐）山东省高考数学 真题分类汇编 立体几何.doc

立体几何（一）选择题1.（08山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(a)9（b）10(c)11 (d)12答案：d2. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).a. b. c. d. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,2 2 2 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:c【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地俯视图 计算出.几何体的体积.3. (2009山东卷理)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件. 答案:b.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.4. (2009山东卷文)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .答案:b.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.5、（2010山东数）在空间，下列命题正确的是a.平行直线的平行投影重合b.平行于同一直线的两个平面平行c.垂直于同一平面的两个平面平行d.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】d【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。6、（2011山东11）11右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图其中真命题的个数是a3 b2 c1 d0答案：a7、 (2012山东卷文(13)如图，正方体的棱长为1，e为线段上的一点，则三棱锥的体积为. 答案：8、（2013山东理）4已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为(a) (b) (c) (d)答案：4b9、（2013山东文）4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是(a) (b) (c) (d) 8,8答案：4.b（二）解答题1、（08山东卷20)(本小题满分12分)如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa平面abcd，,e，f分别是bc, pc的中点.（）证明：aepd; （）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为，求二面角eafc的余弦值.（）证明：由四边形abcd为菱形，abc=60，可得abc为正三角形.因为 e为bc的中点，所以aebc. 又 bcad，因此aead.因为pa平面abcd，ae平面abcd，所以paae.而 pa平面pad，ad平面pad 且paad=a，所以 ae平面pad，又pd平面pad.所以 aepd.（）解：设ab=2，h为pd上任意一点，连接ah，eh.由（）知 ae平面pad，则eha为eh与平面pad所成的角.在rteah中，ae=，所以 当ah最短时，eha最大，即 当ahpd时，eha最大.此时 taneha=因此 ah=.又ad=2，所以adh=45，所以 pa=2.解法一：因为 pa平面abcd，pa平面pac， 所以 平面pac平面abcd. 过e作eoac于o，则eo平面pac， 过o作osaf于s，连接es，则eso为二面角e-af-c的平面角， 在rtaoe中，eo=aesin30=，ao=aecos30=, 又f是pc的中点，在rtaso中，so=aosin45=, 又 在rteso中，coseso= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e、f分别为bc、pc的中点，所以e、f分别为bc、pc的中点，所以a（0，0，0），b（，-1，0），c（c，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），所以 设平面aef的一法向量为则 因此取因为 bdac，bdpa，paac=a，所以 bd平面afc，故 为平面afc的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因为 二面角e-af-c为锐角，所以所求二面角的余弦值为2.(2009山东卷理)（本小题满分12分）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 如图，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd为等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分别是棱ad、aa、ab的中点。（1） 证明：直线ee/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中点f1，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 连接a1d，c1f1，cf1，因为ab=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd为平行四边形，所以cf1/a1d，又因为e、e分别是棱ad、aa的中点，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因为平面fcc，平面fcc，所以直线ee/平面fcc.（2）因为ab=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中点,所以bf=bc=cf,bcf为正三角形,取cf的中点o,则obcf,又因为直四棱柱abcd-abcd中,cc1平面abcd,所以cc1bo,所以ob平面cc1f,过o在平面cc1f内作opc1f,垂足为p,连接bp,则opb为二面角b-fc-c的一个平面角, 在bcf为正三角形中,在rtcc1f中, opfcc1f, 在rtopf中,所以二面角b-fc-c的余弦值为.e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 解法二:（1）因为ab=4, bc=cd=2, f是棱ab的中点,所以bf=bc=cf,bcf为正三角形, 因为abcd为等腰梯形,所以bac=abc=60,取af的中点m,连接dm,则dmab,所以dmcd,以dm为x轴,dc为y轴,dd1为z轴建立空间直角坐标系,则d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,0）,e1（,-1,1）,所以,设平面cc1f的法向量为则所以取,则,所以,所以直线ee/平面fcc. （2）,设平面bfc1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角b-fc-c为锐角,所以二面角b-fc-c的余弦值为. 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.3、（2010山东文数）（20）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.（i）求证：平面平面；（ii）求三棱锥与四棱锥的体积 之比.4、（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥pabcde中，pa平面abcde，abcd，aced，aebc， abc=45，ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形（）求证：平面pcd平面pac；（）求直线pb与平面pcd所成角的大小；（）求四棱锥pacde的体积【解析】（）证明：因为abc=45，ab=2，bc=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又pa平面abcde，所以pa，又pa，所以，又abcd，所以，又因为，所以平面pcd平面pac；（）由（）知平面pcd平面pac，所以在平面pac内，过点a作于h，则，又abcd，ab平面内，所以ab平行于平面，所以点a到平面的距离等于点b到平面的距离，过点b作bo平面于点o，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线pb与平面pcd所成角的大小为；（）由（）知，所以，又aced，所以四边形acde是直角梯形，又容易求得，ac=，所以四边形acde的面积为，所以四棱锥pacde的体积为=。5、（2011山东理数19）在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb=，平面，ef，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小答案：（i）证法一：因为ef/ab，fg/bc，eg/ac，所以由于ab=2ef，因此，bc=2fc，连接af，由于fg/bc，在中，m是线段ad的中点，则am/bc，且因此fg/am且fg=am，所以四边形afgm为平行四边形，因此gm/fa。又平面abfe，平面abfe，所以gm/平面ab。证法二：因为ef/ab，fg/bc，eg/ac，所以由于ab=2ef，因此，bc=2fc，取bc的中点n，连接gn，因此四边形bngf为平行四边形，所以gn/fb，在中，m是线段ad的中点，连接mn，则mn/ab，因为所以平面gmn/平面abfe。又平面gmn，所以gm/平面abfe。 （ii）解法一：因为，又平面abcd，所以ac，ad，ae两两垂直，分别以ac，ad，ae所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法的空间直角坐标系，不妨设则由题意得a（0，0，0，），b（2，-2，0），c（2，0，0，），e（0，0，1），所以又所以设平面bfc的法向量为则所以取所以设平面abf的法向量为，则所以则，所以因此二面角abfc的大小为解法二：由题意知，平面平面abcd，取ab的中点h，连接ch，因为ac=bc，所以，则平面abfe，过h向bf引垂线交bf于r，连接cr，则所以为二面角abfc的平面角。由题意，不妨设ac=bc=2ae=2。在直角梯形abfe中，连接fh，则，又所以因此在中，由于所以在中，因此二面角abfc的大小为6、（2011山东文数19）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60（）证明：；（）证明：答案：（i）证法一：因为平面abcd，且平面abcd，所以，又因为ab=2ad，在中，由余弦定理得，所以，因此，又所以又平面add1a1，故证法二：因为平面abcd，且平面abcd，所以取ab的中点g，连接dg，在中，由ab=2ad得ag=ad，又，所以为等边三角形。因此gd=gb，故，又所以平面add1a1，又平面add1a1，故 （ii）连接ac，a1c1，设，连接ea1因为四边形abcd为平行四边形，所以由棱台定义及ab=2ad=2a1b1知a1c1/ec且a1c1=ec，所以边四形a1ecc1为平行四边形，因此cc1/ea1，又因为ea平面a1bd，平面a1bd，所以cc1/平面a1bd。7、 (2012山东卷文(19) (本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证：；()若，m为线段ae的中点，求证：平面.(19)(i)设中点为o，连接oc，oe，则由知，又已知，所以平面oce.所以，即oe是bd的垂直平分线，所以.(ii)取ab中点n，连接，m是ae的中点，是等边三角形，.由bcd120知，cbd30，所以abc60+3090，即，所以ndbc，所以平面mnd平面bec，故dm平面bec.8、（2013山东理）18（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，平面， 分别是的中点，,与交于点，与交于点，连接.（）求证：； （）求二面角的余弦值。答案：18解：（）证明：因为 分别是的中点，所以,，所以，又平面，平面，所以平面，又平面,平面平