第一节矩阵的概念.docx

第二章 矩阵代数基础学习目的与要求 1、了解矩阵概念产生的背景； 2、了解矩阵对研究线性方程组的重要作用以及在实际生产和和社会生活中的广泛应用； 3、掌握矩阵的定义以及与行列式的区别和联系； 4、掌握矩阵运算的定义和运算性质，特别是矩阵的乘法的特殊性，以及与经济活动的关联；5、掌握方阵的方幂、方阵的行列式、矩阵的转置、分块矩阵等概念及运算；6、掌握方程组的矩阵表示；7、掌握可逆矩阵的概念、性质，掌握矩阵可逆的充分别要条件以及求可逆矩阵初等变换法；8、掌握特殊矩阵向量的线性相关性的概念和用定义判断线性相关性的方法，了解向量组的极大无关组和秩的概念。内容介绍矩阵在线性代数中具有重要地位，而且是代数研究的重要对象和工具，同时，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面都具有广泛的应用.本章概要介绍矩阵代数的基本概念和方法。第一节 矩阵的概念问题提出案例1、某工厂生产三种产品，它们的成本分为三类.以下给出生产单个产品时，估计需要每一类成本的量，同时给出每个季度每种产品生产数量的估计.具体由表1和表2给出.上面两个报表，在明确它们的具体内容的情况下，可以简单表示为如下数表形式 案例2、以下是三位同学期中和期末三门课程的成绩表 期中成绩表学科 成绩张凡李丽王风数学 908568语文788674外语947982 期末成绩表学科 成绩张凡李丽王风数学 918078语文888784外语978782这两个成绩表也可以简单的表示为以下数表形式 和案例3、给定三元一次线性方程组 它的未知量也可以用x,y,z或其它什么符号来表示，即决定此方程组的只是未知数的系数和常数项。我们可以把这些系数和常数项单列出来，并保持它们原来的相对位置，就得到一个数表， 它可以决定此方程组。问题研究：对于这些不同问题中的数表，我们将统一引进矩阵概念。一、矩阵的定义定义1 由个数排成的行列的数表称为行列矩阵, 简称矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为 这个数称为矩阵的元素, 称为矩阵的第行第列元素. 一个矩阵也可简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明).所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为O.若矩阵的行数与列数都等于n，则称为阶方阵, 记为.三、几种特殊矩阵1、向量 一行的矩阵称为行向量.一列的矩阵称列向量，它们统称为向量。2、对角矩阵和数值矩阵 阶方阵称为阶对角矩阵,对角矩阵也记为.特别地，若均相等，即矩阵 .称为数值矩阵。 3、单位矩阵 阶方阵称为阶单位矩阵, 阶单位矩阵也记为 （或 ）。四、矩阵概念的一些应用举例矩阵在许多实际问题中都有应用，下面给出利用矩阵表达实际问题的的一些例子。 例1 某农场今年交售粮食800吨，肉类22吨，水果14吨，这些数据可以用一个行向量 （800 22 14）来表示。 例2、对于某家电商场存有电视机的数量。如不考虑品牌和规格，存货量可以用一个数值来描述。比如109台。如果要区分规格，比如21吋、25吋、29吋等几种规格，且各规格台数为30、30、49.此时可以用一个行向量 （30 30 49）表示。 进一步，若还要指明电视机的品牌，比如，该商店现有松下、长虹、三星、海尔等几种品牌，则此商店各种品牌的各种规格的存货量，要用一个的矩阵才能明确表达 此矩阵各行表示各个品牌，各列表示各种规格，位于行列相交处的数字就是某品牌、某种规格电视机的存货。比如，第2行第3列的数字表示长虹29吋电视机存货11台。例3 生产n种产品，需要消耗m种原材料，以表示生产一个单位第j种产品需要消耗第i种原材料的数量，则这些消耗量构成一个矩阵 例4、任何国家的经济，都可以划分若干不同的部门。每个部门即生产产品也消耗产品，即每个部门既是生产部门又是同时也是一个消耗部门。如农业生产要用电、钢铁、化肥等，钢铁生产要用粮食、电、焦炭等等。若以表示某个期间内第j 部门生产中消耗第i部门的产品数量，则在此期间内各部门之间的产品消耗数量可以表示为一个n阶方阵 例5、一般的线性方程组 的系数可以用一个矩阵 来表示，称为方程组的系数矩阵，常数项可以表示为列向量 ，系数矩阵第n列后加上一列常数项构成的矩阵称为方程组的增广矩阵。第二节 矩阵的代数运算问题提出：案例1、以下是三位同学期中和期末三门课程的成绩表 期中成绩表学科 成绩张凡李丽王风数学 908568语文788674外语947982期末成绩表学科 成绩张凡李丽王风数学 918078语文888784外语978782这两个成绩表均可以简单的表示为三阶方阵的形式 和确定这三位同学三门课程期中期末的平均成绩。解：事实上三阶方阵 可以表达这三位同学三门课程期中期末的平均成绩。案例2、某工厂生产三种产品，它们的成本分为三类.以下表1和表2分别给出了生产单个产品时，需要每一类成本的量和每个季度每种产品生产数量的估计.上面两个报表，在明确它们的具体内容的情况下，可以简单表示为如下矩阵形式 该公司希望在股东会议上用表格展示出每一季度三类产品成本：原料费、工资和管理费用的数量.解: 容易看出，各季节的各种成本，可以如下计算夏季的成本.原料费： 工资： 管理费及其他：秋季的成本.原料费： 工资： 管理费及其他：同样的方法可以求出春季和冬季的三类成本，如果我们把四个季节的三类成本分别作为一个矩阵的4列元素，可以得到如下矩阵的元素展示出每一季度三类产品成本：原料费、工资和管理费用的数量.如1870表示夏季使用原材费的数量等。问题研究：将矩阵作为代数研究对象，建立矩阵的加减、数乘和乘法以及矩阵的逆等运算和某些应用。一、矩阵的线性运算 首先给出以下定义定义1 若两个矩阵，满足（1）行、列数相同，即 m=p ,n=q；（2）对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B.例1 设已知，求解 定义2 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 只有两个同行同列的矩阵才可以相加。定义3 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.设矩阵记,我们规定矩阵的减法为矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它们满足下列运算规律:设都是同阶矩阵, 是常数, 则(1) (2) ;(3) (4) (5) (6) (7) (8) 例2、上述案例1中如果记 则 为这三位同学三门课程期中期末的平均成绩矩阵。例3、已知, 求解 例4、已知 且求解 二、矩阵的乘法 从案例2可以看出，矩阵行数为矩阵的行数，列数为矩阵P的列数，且它的位于第i行第j列的元素，可以由的第i行的元素与P的第j列元素，对应相乘再相加得到，比如，3490位于的第2行第2列，我们，我们把称为矩阵与P的乘积，注意到，此时相乘的矩阵的列数等于矩阵P的行数，下面我们给出矩阵乘积的定义。定义4 设是一个矩阵，是一个矩阵，则称矩阵，其中为与的乘积，记为，即。注：:1、如此定义矩阵的乘法，不仅有实际意义，在数学上也是可行的。 2、只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算；3、乘积矩阵的行、列数分别等于左边矩阵行数、右边矩阵的列数。例5、设 求和与.解：因为的列数不等于的行数，所以无意义。其次， 因此，单位矩阵对于矩阵乘法有数1的功能，所以称为单位矩阵。例6 设,. 是一个矩阵, 是矩阵, 因此有意义, 也有意义,.例7、设 求和。解：从例7可以看出: 两个矩阵的乘积不满足交换律，而且非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出 例如, 设则 但 但是我们可以证明矩阵的乘法满足以下运算律（1）结合律：（2）右分配律：（3）左分配律：（4）一般的矩阵没有方幂的概念，对于方阵我们有定义5 设方阵, 规定称为的次幂.方阵的幂满足以下运算规律： (1) (2) 注: 一般地, 为自然数命题 设均为n阶矩阵， 则有 为自然数，反之不成立。三、矩阵的分块及分块矩阵的运算当矩阵行数和列数很大时，矩阵之间进行运算比较复杂。为此我们通过对矩阵进行分块，简化矩阵的运算。在一个矩阵行和列之间加一些虚线，将矩阵分成一些小的矩阵，称这些小的矩阵为子块，以这些子块为元素，并保持这些子块的相对位置，构成原矩阵的分块矩阵。对于不同的分法，可以得到矩阵不同的分块矩阵形式。例如矩阵 按照如下方式在它的行列之间加线得到A的一个分块 如果记 则可以表示为 这是的一个2行2列的分块矩阵。 仍然是上述矩阵，如果记 则可以表示为 也是的一个分块矩阵。又如在下面矩阵的行列之间加一些线 如果记 ，而所有元素均为零的子块记为O 则 为矩阵的一个分块矩阵。 一般地，我们称分块矩阵 为分块对角矩阵，这里主对角线以外的子块均为零矩阵。分块矩阵也可以建立加、减、数乘和乘法运算等且与数字矩阵的运算规则相似.也就是说，进行运算的两个分块矩阵，分块前就应该能够进行相应的运算，分块后以子块为元素的矩阵的行、列数也满足运算要求，并且子块作为元素也可以进行相应运算，即内、外都能运算.以下我们给出分块矩阵的加、减、数乘和乘法运算规则。1. 设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若其中与的行数、列数相同, 则2.设为常数, 则3设为矩阵, 为矩阵, 分块成其中的列数分别等于的行数, 则其中 下面仅对分块矩阵的乘法给出一个例子。例7、设求解：首先易见作为数字矩阵，是有意义的，将做如下分块 分块矩阵为1行3列，为3行1列，因此按照分块矩阵乘法法则作为分块矩阵可以相乘，同时，容易看出此时分块矩阵按照乘法法则各子块作为元素也可以相乘，于是我们有 关于分块矩阵的更多的内容本书不再涉及，有兴趣的读者可参阅其它线性代数教材。四、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2)其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解向量; 反之, 如果列向量是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式成立, 则 即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.五、矩阵的转置定义6 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则.矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):(1) (2) (3) (4) 利用转置矩阵的概念，我们可以定义定义7 设为阶方阵, 如果 即则称为对称矩阵. 显然，对称矩阵的元素关于主对角线对称. 例如 , 均为对称矩阵.如果则称为反对称矩阵.定理 每一个方阵总可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。六、方阵的行列式定义8 由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式,记作或注: 方阵与行列式是两个不同的概念,方阵是个数按一定方式排成的数表,而它的行列式是一个数值（实数或复数）.方阵的行列式满足以下运算规律(设为阶方阵, 为常数):(1) (2) (3) 课堂练习1、设矩阵求。 2、在某个城市中，每年有30%的已婚女性，20%的单身女性结婚.现在假设城镇中有80位已婚女性和2000位单身女性，并假设所有女性的总数为常数，1年后，有多少已婚女性和单身女性呢？2年后呢？ .3、设用分块矩阵求第三节 可逆矩阵问题提出：对于实数，如果存在实数满足则称有逆（或存在倒数）且为的逆（或倒数）；实数存在倒数的充分必要条件为；的倒数是唯一的，记为.若有倒数，且,则称为与的商，即.问题研究：在矩阵乘法的基础上，类似可以给出可逆矩阵的概念。一、可逆矩阵 定义1 对于方阵，如果存在方阵使得，则称方阵可逆，而把称为矩阵的逆. 首先我们易知，单位矩阵总是可逆的，且逆矩阵是它本身。 命题1、可逆矩阵的逆是唯一的。 证明：设矩阵可逆，而均为的逆矩阵，于是有 从而 故逆矩阵唯一，我们通常将可逆矩阵的唯一逆矩阵记为. 可以证明，可逆矩阵具有下面一些性质。 命题2、若矩阵,可逆，k为非零常数，则 1、 2、 3、 4、 5、下面给出矩阵可逆的充要条件，首先引入伴随矩阵的概念。 定义2、设n阶方阵的行列式中元素的代数余子式，矩阵 称为的伴随矩阵，记为.例1 矩阵求矩阵的伴随矩阵.解 按定义，因为 定理1、n阶方阵可逆的充分表要条件是.证明：必要性：由定义显然可证。 充分性：设.利用等式 容易证明 故可逆，且.例2 设问是否可逆？若可逆，求解 因为所以可逆.又 所以 利用伴随矩阵求可逆矩阵的逆，有时计算量是十分巨大的，下面我们给出求逆矩阵的初等变换法，为此我们首先讨论初等矩阵和初等变换的概念。二、初等矩阵与矩阵的初等变换求逆矩阵的初等变换法下面我们给出初等矩阵和初等变换的概念以及它们之间的关系。并给出用线性变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法。定义3 对单位矩阵. (1) 的第行(列)互换得到的矩阵(2) 的第行(列)乘以非零数得到的矩阵(3) 的第行乘以数加到第行上,或的第列乘以数加到第列上得到的矩阵统称为初等矩阵。命题1 关于初等矩阵有下列性质：(1) ; (2) 定理2 设是一个矩阵, 在左边（或右边）乘初等矩阵，则的第i行与第j行（或第i列与第j列）被交换；在左边(或右边)乘初等矩阵，则的第i行（或第i列）元素乘k；在左边或右边乘初等矩阵则的第i行乘上数k加到了第j行（或第i列乘上数k加到了第j列）.定义4、矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等变换:(1) 交换矩阵的两行或列;(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行或列;(3) 把矩阵的某一行或列的倍加到另一行或列.分别称为行变换和列变换。交换两行,记作，第行乘数记作，第行乘加到行,记为，相应记号中把换成，即为列变换的记号.矩阵经过一次初等变换变成另一个矩阵要用箭头连接，并在箭头上方标出何种变换的记号。对矩阵实施上述初等变换，可以简化矩阵的元素构成。首先我们给出一种常用的简化矩阵形式。称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的最下方;(2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）.下面矩阵均为行阶梯形矩阵 特别地，称满足下列条件的行阶梯形矩阵为最简行阶梯形矩阵：(1) 各非零行的首非零元都是1；(2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零.下面矩阵为最简行阶梯形矩阵 我们不加证明的给出下面结果。定理3、任一矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为最简行阶梯形矩阵.以下通过一个实例来说明这个定理。例3、矩阵 用行变换化为最简行阶梯形矩阵。解： 。根据定理3可以证明推论 如果为n阶可逆矩阵, 则矩阵经过有限次行初等变换可化为单位矩阵E.证明：由定理3，可以用行初等变换化为最简行阶梯形矩阵，由于可逆，所以，而对做行初等变换过程中，每一步得到的矩阵的行列式与的行列式最多相差一个非零常数，于是由化成的最简行阶梯形矩阵的行列式不为零，因此，它必为单位矩阵。设矩阵可逆，经过s次行初等变换可以化为单位矩阵，初等矩阵对应于这s个初等变换，因此由定理2有 等式两边右乘A的逆，得 这两个式子表明，把对的做的初等行变换，依次作用于同阶的单位矩阵，当化为单位矩阵时，同时化为，利用此法可以较为有效地求出可逆矩阵的逆，称为求逆矩阵的初等变换法。在实际使用初等变换法求逆矩阵时，为方便起见，可做如下矩阵 对它进行行初等变换，将化为单位矩阵，此时就化为。矩阵的初等变换不仅对求逆矩阵具有重要作用，同时，在下章研究线性方程组时，也起到核心作用。例4、 设 求.解 例5、求矩阵, 使, 其中解 由可逆，则，做矩阵，类似求逆矩阵的初等变换法，对其进行行初等变换，将化为单位矩阵，就化为(证明略)。即 ，所以，课堂练习1、求矩阵 的逆。2、求解矩阵方程 其中第四节 向量的线性相关性问题提出：向量，当且仅当时，；而向量却满足。问题研究：对这两种种类型的向量组进行研究，提出向量组的线性相关和线性无关。前面我们曾在介绍过几类特殊矩阵时，给出了一类矩阵向量，本节我们研究向量的线性相关性，这对于讨论线性方程组解的结构是重要的。一、向量组的线性相关性定义1我们把（或）矩阵称为n元行向量（列向量），统称n元向量或n维向量，以下我们用等表示n元向量。容易看出，n元向量与矩阵具有相同的线性运算和性质。若干个n元向量可以构成一个n元向量组，简称向量组，以下如不特别声明，所给向量组均指n元向量组。定义2 给定向量组，对于任何一组实数, 表达式称为向量组的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数.定义3 给定向量组和向量, 若存在一组数使则称向量是向量组的线性组合, 又称向量能由向量组线性表示. 例1、证明:向量是向量的线性组合并将用表示出来. 证明： 先假定其中为待定常数，则由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组: 于是可以表示为的线性组合，它的表示式为定义4 给定向量组 如果存在不全为零的数 使 (1)则称此向量组线性相关, 否则称为线性无关. 注: （1） 当且仅当时，(1)式成立, 向量组线性无关; （2） 包含零向量的任何向量组是线性相关的; （3） 向量组只含有一个向量时，则（a）的充分必要条件是线性无关；（b）的充分必要条件是线性相关； （4） 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.例2、证明：若向量组线性无关, 则向量组亦线性无关.证明： 令的线性组合为零，证明仅当时才成立即可。设 （1）整理得 由线性无关，故 （2）因为故方程组（2）仅有零解.即只有时（1）式才成立.因而向量组线性无关.注：从定义出发判断一个向量组的线性相关性，可以令它的线性组合为零，如果可以说明系数必须全为零，则此向量组线性无关；否则线性相关。下面给出一个向量组线性相关的充要条件。定理1 向量组线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证明：充分性：不妨设=，于是 由于-1不为零，所以线性相关。必要性：假设线性相关，于是存在不全为零的使 不妨设，我们有所以，可以由其它向量线性表示。例3 设有3个向量 判断它们的线性相关性。解：不难验证 因此由定理1知是3个线性相关的向量. 线性相关和线性无关的向量组，满足如下一些重要性质。定理2 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.推论 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理3 若向量组线性相关, 而向量组线性无关, 则向量可由线性表示且表示法唯一.定理4 、若向量组线性无关，且向量组中每个向量都可以由线性表示，则.二、向量组的极大无关组和秩 由上述定理2的推论，向量组如果线性无关，则它的任意部分组必线性无关；但是，如果一个向量组线性相关，它的任一部分组会是什么情况呢？看一个例子，给定向量组，由于所以，线性相关，但是容易看出这里部分组，线性相关；而部分组，线性无关。也就是说如果一个向量组线性相关