第一+二节(复数项级数+幂级数).ppt

重点 1 求幂级数收敛半径的方法 2 复变函数Taylor展开条件与展开方法 3 复变函数Laurant展开条件与展开方法 4 解析延拓的方法 5 奇点的的分类以及极点阶的确定 3 1复数项级数 一 复数项级数定义及其收敛判据 复数项级数定义 每一项均为复数 实数项级数是复数项级数的特例 一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论 说明 2 复数项级数的收敛判据 Cauchy收敛判据 由 二 绝对收敛与一致收敛的概念及性质 1 绝对收敛及其性质 绝对收敛定义 或写为 a 如果级数 是绝对收敛的 则该级数收敛 常用级数绝对收敛来判断级数的收敛 性质 c 改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变 和相同 2 一致收敛及其性质 一致收敛定义 如果级数是定义在区域B 或境界线L 上 则在区域B 或L 上的各点z 对于给定的小正数 存在与z无关的正整数N 使得n N时 对于任意的自然数p恒有 成立 则称级数为一致收敛 说明 c 复数项级数是B的解析函数 其级数和一定是B上的收敛函数 d 若 而收敛则该级数是绝对一致收敛的 b 一致收敛是对区域B或L而言 a 一致收敛中N与z无关 2 性质 连续性 可积性 解析性 几个定理 3 2幂级数 一 幂级数表示 其中z0 a0 a1 a2 都是复常数 这样的级数叫做以z0为中心的幂级数 二 幂级数的收敛半径及其求法 1 d Alembert法 比值判别法 则求级数收敛半径 如果 1 收敛半径R 绝对收敛 否则发散 收敛半径为 如果 则级数 1 绝对收敛 如果 则后项与前项的模之比的极限 即对级数 1 来说 后面项的模越来越大 必然是发散级数 即 级数 1 发散 以z0为圆心 作半径为R的圆周Ck 则幂级数在圆的内部绝对收敛 在圆外发散 这个圆称为幂级数的收敛圆 半径叫做收敛半径 至于收敛圆周上的各点 幂级数收敛或发散需要具体分析 半径R1稍微小于R的圆周 在所围的闭圆域上 幂级数 1 的各项的模 圆的内部指的是比这个圆稍微小一些的闭区域 以z0为圆心作一 对正的常数项级数 应用比值判别法 此常数项级数收敛 由此 幂级数 1 在收敛圆的内部不仅绝对而且一致收敛 1绝对收敛 若 1发散 R 收敛半径为 对同一级数而言 两种方法给出的收敛半径相同 证略 2 Cauchy法 根值判别法 求收敛半径 例1 求幂级数 的收敛圆 t为复变数 解 所有的系数ak 1 则收敛半径为 因此收敛圆是以t 0为圆心而半径为1 收敛圆的内部可以表示 为 t 1 这是一个几何级数 公比为t 所以前n 1项的和 若 t 1 则有 在收敛圆内 幂级数的和为1 1 t 例2 求幂级数 的收敛圆 z为复变数 解 记z2 t 则本例的级数即 系数交替为1和 1 则t平面上的收敛半径为 由此z平面上的收敛半径为 收敛圆内部表示为 本例也是几何级数 公比为 z2在 条件下 求出和为 所求结果为 三 幂级数性质 1 级数在收敛圆内绝对且一致收敛 证明 收敛圆半径为R 做比收敛圆稍微缩小的圆周 半径为R1 则有 1 收敛 则级数 绝对且一致收敛 2 级数在收敛圆内部是解析函数 无奇点 证明 两边乘以 两边积分 并应用Cauchy公式 把级数的和记作 即级数可用连续函数的回路积分来表示 且连续函数的回路积分可在积分号下求任意多次导数 说明该级数是一个解析函数 3 级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次 证明略 例2的幂级数和为1 1 z2 具有孤立奇点z 士i 而士i正好在收敛圆周 z 1上 如果限制在实数域里边 则1 x2 x4 1 1 x2 x 1 即x 士1 并不是奇点 条件 x 1就不那么容易理解了 如果用有界函数 遍乘 可得 沿回路逐项积分