中考二次函数的综合题.doc

二次函数的综合题1 已知：抛物线： 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标； （2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线的解析式； （3）直线与抛物线、的对称轴分别交于点E、F，设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s, 试用含m的代数式表示s 解：（1）由抛物线C1：得 顶点P的坐标为（-2，-5） -1分点B（1，0）在抛物线C1上， a 抛物线C1的解析式为-2分（2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称 PM过点B，且PBMBPBHMBG -3分MGPH5，BGBH3 顶点M的坐标为（4，5） 抛物线的表达式为 -4分（3）依题意得，E(-2,)，F(4, )，HG=6 当E点的纵坐标小于-5时，PE=，MF= -5分 当E点的纵坐标大于-5且F点的纵坐标小于5时，PE=，MF= -6分 当F点的纵坐标大于5时，PE=，MF= -7分2.已知二次函数（1） 求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3） 将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长解：（1）证明：令y=0,则=, - 1分又， 即0 无论m为任何实数，一元二次方程总有两不等实根该二次函数图象与x轴都有两个交点 -2分（2）解：二次函数的图象经过点（3，6）, .解得 . 二次函数的解析式为. - 3分O（3）解：将向下平移2个单位长度后得到解析式为：. - 4分 解方程组 得 直线与抛物线的交点为 点A关于对称轴的对称点是,点B关于x轴的对称点是. 设过点、的直线解析式为 解得 直线的解析式为.直线与x轴的交点为. - 5分与直线的交点为. - 6分则点、 为所求 过点做，.在Rt中，.所求最短总路径的长为. 3.关于x的一元二次方程.（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点A（，）是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.12344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1解：（1）由题意得， 解得，m 解得， m当m0 k 2分k为非负整数，k=0，1 为一元二次方程k=1 3分(2)把k=1代入方程得x2-5x+4=0, 解得x1=1, x2=4m0，. .而.只有，解得.抛物线的解析式为.7分9.已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值23解：(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等所以，抛物线对称轴，所以，（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0因为，=16-8=80所以，方程有两个不同的实数根，分别是 ，（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为若使抛物线的图象与轴无交点，只需 无实数解即可由=0，得又是正整数，所以得最小值为210.如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.（1）若ED与A相切，试判断GD与A的位置关系，并证明你的结论；（第23题图）（2）在（1）的条件不变的情况下，若GCCD5，求AD的长.结论：与相切.(1分)证明：连接点、在圆上，四边形是平行四边形， .(2分)在和 .(3分)ED与A相切GD与A相切 .(4分)（2）GCCD = 5，四边形ABCD是平行四边形 AB=DC ,， .(5分) .(6分)11. 如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-410-6），且 ，试判断（1）中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.（3）在图10-5中，连结、，且，则= 解：BGDE；BGDE； .1分中得到的结论仍然成立2分证明：BGDE成立；.5分BGDE不成立.6分BE2+DG2=257分12. 已知抛物线C1：的图象如图所示，把C1的图象沿轴翻折，得到抛物线C2的图象，抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3（1）求抛物线C1的顶点A坐标，并画出抛物线C2的图象；（2）若直线与抛物线有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线与抛物线C1相切，求的值；（3）结合图象回答，当直线与图象C3 有两个交点时，的取值范围解：（1）顶点坐标A（1，-1）. 1分 2分（2） 把（1）式代入（2）整理得：.，. 4分（3） 把（1）式代入（2）整理得：.，. 6分 当直线与图象C3 有两个交点时，的取值范围为：. 7分13已知：，平分在图1中，若120，90， （填写“”，“”，“”）在图2中，若120，180，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由在图3中：若60，180，判断与的数量关系，并说明理由；若（0180），180，则_（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明） 图3图2图1 解：(1) ABAD = AC-1分(2) 仍然成立证明：如图2过C作CEAM于E，CFAN于F，则CEA=CFA=90 AC平分MAN，MAN=120， MAC=NAC=60又 AC=AC， AECAFC， AE=AF，CE=CF 在RtCEA中，EAC=60，图2 ECA=30， AC=2AE AE+AF=2AE=AC ED+DA+AF=AC ABCADC180，CDE+ADC=180， CDE=CBF又 CE=CF，CED=CFB， CEDCFB ED=FB， FB+DA+AF=AC AB+AD=AC- 4分(3)AB+AD=AC证明：如图3，方法同(2)可证AGCAHCAG=AHMAN=60，GAC=HAC=30图3AG=AH=ACAG+AH=ACGD+DA+AH=AC方法同(2)可证GDCHBCGD=HB， HB+DA+AH=ACAD+AB=AC-6分ABADAC-7分14.请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以APC=150，而BPC=APC=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图2图3图1解：（1）如图，将BPC绕点B逆时针旋转90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=连结P P，在RtBPP中， BP=BP=，PBP=90， P P=2，BPP=45 2分在APP中， AP=1，P P=2，AP=， ，即AP 2 + PP 2 = AP2 APP是直角三角形，即A P P=90 APB=135 BPC=APB=135 4分（2）过点B作BEAP 交AP 的延长线于点E EP B=45. EP=BE=1. AE=2. 在RtABE中，由勾股定理，得AB= 7分 BPC=135，正方形边长为15关于的一元二次方程有实数根，且为正整数.（1）求的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点. 点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与（2）中的直角梯形只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写出的取值范围.解：（1）关于的一元二次方程有实数根， =. -1分又 为正整数， . - 2分（2） 方程两根均为整数， .-3分又 抛物线与x轴交于A、B两点， . 抛物线的解析式为.-4分 抛物线的对称轴为. 四边形为直角梯形，且， . 点在对称轴上， .-5分（3）或.- 7分（写对一个给1分）16已知抛物线，其中是常数 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式解：（1）依题意，得， 抛物线的顶点坐标为2分（2）抛物线与轴交于整数点，的根是整数是整数，是整数3分是整数的完全平方数， 4分取1，4，当时，； 当时， 的值为2或 抛物线的解析式为或6分17. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=，AD=AB=2,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KMAD于M(1) 当E为AB中点时，求的值；(2) 若, 则的值等于 ； (3) 若（为正整数），则的值等于 （用含的式子表示）（1）连接GEKMAD，KG是DE的垂直平分线KMG=DFG=90GKM=GDF MK=AB=AD,KMG=DAE=90KMGDAE-1分MG = AEE是AB中点，且AB=AD=2AE=MG=1KG是DE的垂直平分线GE=GD -2分设GE=GD=x则AG=2-x在RtAEG中，EAG=90，由勾股定理得（2-x）2+12=x2x= -3分DM=GD-GM=-4分（2） -5分（3） -7分18.直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图3解：（1）= ； - 1分(2) +BCA=180； - 3分(3) 探究结论： EF=BE+AF. - 4分12131证明：1+2+BCA=180, 2+3+CFA=180.又BCA=CFA，1=3. - 5分BEC=CFA=,CB=CA,BECCFA. - 6分 BE=CF , EC=AF.EF=EC+CF=BE+AF. - 7分 19.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）FBACE图3DFBADCEG图2FBADCEG图1解：（1）CG=EG 1分（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点FBADCEGMNN图 2在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG2分在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 3分FBADCE图3G 在矩形AENM中，AM=EN 4分在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG5分 EG=CG 6分（3）（1）中的结论仍然成立7分20.已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是（1）求点坐标及的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向左平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标解：（1）由抛物线C1：得顶点P的坐标为（2，5）.1分点A（1，0）在抛物线C1上.2分（2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G.点P、M关于点A成中心对称, PM过点A，且PAMA.PAHMAG.MGPH5，AGAH3. 顶点M的坐标为（，5）.3分抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式. 4分（3）抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180得到 顶点N、P关于点Q成中心对称. 由（2）得点N的纵坐标为5.设点N坐标为（m，5），作PHx轴于H，作NGx轴于G，作PRNG于R.旋转中心Q在x轴上, EFAB2AH6. EG3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，5）.根据勾股定理，得 当PNE90时，PN2+ NE2PE2， 解得m，N点坐标为（，5）当PEN90时，PE2+ NE2PN2， 解得m，N点坐标为（，5）. PNNR10NE，NPE90 7分综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形8分说明：点N的坐标都求正确给8分，不讨论不扣分21.如图，将腰长为的等腰RtABC（是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限， 使顶点A在y轴上， 顶点B在抛物线上，顶点C在x轴上，坐标为（，0）（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90，到达的位置请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由解：（1）A（0，2）， B（，1）2分（2）解析式为；3分顶点为（）4分（3）如图，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作 轴于点P在RtABM与RtBAN中， AB=AB， ABM=BAN=90-BAM， RtABMRtBAN BM=AN=1，AM=BN=3， B（1，）同理ACPCAO，CP=OA=2，AP=OC=1，可得点C（2，1）；将点B、C的坐标代入，可知点B、C在抛物线上7分（事实上，点P与点N重合）22我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为21请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点为等腰直角三角形的重心，直线过点,过三点分别作直线的垂线，垂足分别为点. (1)当直线与平行时（如图1），请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明；图1 图2 图3 (2) 当直线绕点旋转到与不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，