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立体几何中的翻折问题 随着自主命题的深入 浙江省数学高考立体几何试题对翻折问题似乎情有独钟 且常考常新 这类试题背景简单 立意深远 对考生的空间想象能力要求很高 能较好地改善学生对立体几何的思维定势 研究翻折问题应注意折前折后各元素相对位置的变化 要理清哪些位置关系和度量关系发生了变化 哪些没有改变 解决翻折问题的关键可以归纳如下 1 找准 基准图 折叠 2 画好 2个图 折叠前的平面图和折叠后的立体图 3 寻找 2个量 哪些量 或关系 发生了变化 哪些量 或关系 没有发生变化 1 对比分析 寻找不变量和不变关系 例1如图 在正 ABC中 D E F分别为对应边的中点 G H I J分别为AF AD BE DE的中点 将 ABC沿DE EF DF折成三棱锥以后 GH与IJ所成角的度数为 A 90 B 60 C 45 D 0 分析 将 ABC沿DE EF DF折成的三棱锥如图3所示 GH和IJ为一对异面直线 由已知可得DF GH IJ AD ADF即为所求的角 即GH与IJ所成角的度数为60 评注 本题解题的关键是抓住其中一些量的不变性 即IJ BD GH DF在翻折前后不变 ADF在翻折前后都为60 等 F 1 对比分析 寻找不变量和不变关系 1 对比分析 寻找不变量和不变关系 2 展成平面 逆向探究求最小值 分析 联结A1B 沿BC 将 CBC1展开与 A1BC1在同一个平面内 如图所示 联结A1C 则A1C的长度就是所求的最小值 通过计算可得 A1C1B 90 且 BC1C 45 于是 A1C1C 135 由余弦定理可求得A1C 评注 立体几何问题平面化 是解决立体几何最值问题的重要思想 也是计算某些线段长度的重要方法 平面化过程要注意变化前后的变与不变性 2 展成平面 逆向探究求最小值 例5 06年江西卷文 3 探寻轨迹 点动成圆用两性质 3 探寻轨迹 点动成圆用两性质 3 探寻轨迹 点动成圆用两性质 3 探寻轨迹 点动成圆用两
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